物理力学极值问题

在动力学中临界极值问题的处理

物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。

一．解决动力学中临界极值问题的基本思路

所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、

1临界点是一个特殊的转换状态，牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○是物理过2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动程发生变化的转折点，在

高中物理中的临界与极值问题

宝鸡文理学院附中 何治博

一、临界与极值概念 所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的

高中物理中的临界与极值问题

宝鸡文理学院附中 何治博

一、临界与极值概念 所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现

高中物理中的临界与极值问题

宝鸡文理学院附中 何治博

一、临界与极值概念 所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。

高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现

高考物理解题方法指导之极值问题

综述 求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值．数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值．一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高．

多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节．

互动探究 例1、如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F的最小值和方向角θ．

例1

例2、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20s，前进了50m，求这过程中汽车达到的最大速度．

例3、已知直角三角形底边长恒为b，当斜边与底边所成

一．运用二次函数求极值（顶点坐标法，配方法，判别式法）三种方法等效，适用于有二次函数的式子。

顶点坐标法对于典型的一元二次函数y?ax2?bx?c,

b4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极小值，为ymin?；

2a4ab4ac?b2若a?0,则当x??时,y有极大值，为ymax?；

2a4a例1．一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/s的加速度开始行驶。恰在这时一辆自行车以6m/s的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？

解：经过时间t后，自行车做匀速运动，其位移为S1?Vt， 汽车做匀加速运动，其位移为：S2?12at 22

1232?S?S?S?Vt?at?6t?t 两车相距为：1222这是一个关于t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。 当t???Sm?b?6??2(s)时，?S有最大值 2a2?(?3/2)4ac?b24a?0?624?(?3/2)?6(m)

二．利用三角函数求极值

如果所求物理量表达式中含有三角函数，可利用三角函数的极值求解。若所求物理量表达式可化为“y=Asin?cos?”的形式，则y=Asin2α，在?=45o时，y有极值

1．物理小组自制一个可以改变电功率的电热器。他们用三

根阻值不相等的电阻丝R1、R2和R3按图21连接起来，接入220V电源。已知R1＜R2＜R3，闭合电源开关S，通过S1R3 R1 S1 R2 S和S2的开关控制，可以得到四种不同的电功率，知道最大的电功率是最小电功率的11倍，只闭合S1时流过电路的电流是2.2A，此时电功率是只闭合S2时电功率的2倍。求三根电阻丝的阻值。（5分）

2．育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模

型。为了分析接入电路的电阻对电热器的电功率的影

响，他们将电表接入电路中，其电路图如图18所示。电源两端电压不变，R1=10?。开关S1、S2都断开或都闭合所形成的两个电路状态中，电压表示数之比为1∶6；R2消耗的最大功率和最小功率之比为4∶1；R3的最小功率为0.8W。 求：⑴电阻R2的值； ⑵电源两端的电压；

（3）这个电热器可能有多少个档位，分别是多少瓦。

S2 220V 图21 3．育兴学校科技小组的同学们制作了一个多档位电热器模型。为了分析接入电路的电阻对

电热器的电功率的影响，他们将电表接入电路中，其电路图如图24所示。当只闭合开关S1时，电压表的示数为U1，电阻R3消耗的电功率为P3；当只闭合开关S2

板块模型的临界极值问题

1【经典模型】 如图甲所示，M、m两物块叠放在光滑的水平面上，两物块间的动摩擦因数为μ，一个恒力F作用在物块M上．

(1)F至少为多大，可以使M、m之间产生相对滑动？

(2)如图乙所示，假如恒力F作用在m上，则F至少为多大，可以使M、m之间产生相对滑动？

练1、如图所示，物体A、B的质量分别为2kg和1kg，A置于光滑的水平地面上，B叠加在A

上。已知A、B间的动摩擦因数为0.4，水平向右的拉力F作用在B上，A、B一起相对静止开始做匀加速运动。加速度为1.5m/s。（g2 ?10m/s2）求：

（1）力F的大小。

（2）A受到的摩擦力大小和方向。

（3）A、B之间的最大静摩擦力？A能获得的最大加速度？ （4）要想A、B一起加速（相对静止），力F应满足什么条件？ （5）要想A、B分离，力F应满足什么条件？

练2、物体A放在物体B上，物体B放在光滑的水平面上，已知mA?6kg，mB?2kg，A、B间动摩擦因数??0.2，如图所示。现用一水平向右的拉力F作用于物体A上，则下列说法中正确的是（g?10m/s2）（） A．当拉力F<12N时，A静止不动

B．当拉力F=16N时，A对B的摩擦力等于4N C．当拉力F>16N时，A一定相对B滑动 D．无论拉力F

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2019年高三物理一轮达标训练--动力学两

类基本问题和临界极值问题

牛顿运动定律的综合应用

一、选择题(1～5题为单项选择题，6～10题为多项选择题)

1．如图1甲所示，小物块从足够长的光滑斜面顶端由静止自由滑下。下滑位移x时的速度为v，其x－v2图象如图乙所示，取g＝10/s2，则斜面倾角θ为( ) 图1

A．30°B．45°c．60°D．75°

解析 由x－v2图象可知小物块的加速度a＝5/s2，根据牛顿第二定律得，小物块的加速度a＝gsinθ，所以θ＝30°，A对，B、c、D错。 答案 A

2．(2017?郑州质量预测)甲、乙两球质量分别为1、2，从同一地点(足够高)同时由静止释放。两球下落过程所受空气阻力大小f仅与球的速率v成正比，与球的质量无关，即f＝kv(k为正的常量)。两球的v－t图象如图2所示。落地前，经时间t0两球的速度都已达到各自的稳定值v1、v2。则下

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列判断正确的是( ) 图2

A．释放瞬间甲球加速度较

临界和极值问题

典例1：（运动学中的极值问题）飞机处于2000m 高空匀速飞行，时隔1s 先后掉下两小球

A 、

B ，求两球在下落过程中彼此在竖直方向上相距最远的距离.(g 取10m/s 2，空气阻力不计)答案195m

解析如取地面为参考系，则小球做抛体运动，研究起来无疑比较复杂，我们取刚离开飞机的B 球为参照系，A 球以10m/s 的速度匀速向下降落，设A 球从2000m 高空降落做自由落体运动的时间为t ，则

h ＝12

gt 2，即t ＝2h g

＝20s B 球刚离开飞机，A 球已下落1s ，此时A 、B 相距为s ＝12

×10×12m ＝5m A 相对B 匀速运动19s 后着地，此19s 内A 相对B 运动190m.因此，两球在竖直方向上相距最远的距离为195m.

典例2：（平衡中的临界）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具（如图）。设拖把头的质量为m ，拖杆质量可以忽略；拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加速度为g ，某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向的夹角为θ。

（1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小。

（2）设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖

把的正压力的比值为λ。已知