概率论与数理统计第一章选择题

第一讲 概率的定义及性质

Ⅰ 授课题目

§1.0 概率论研究的对象 §1.1 随机试验

§1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率，概率的性质

Ⅱ 教学目的与要求

1、理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念 2、理解样本空间、样本点的概念,会用集合表示样本空间和事件 3、掌握事件的基本关系与运算 4、掌握概率的性质 Ⅲ 教学重点与难点

重点：事件的基本关系与运算，概率的性质 难点：用集合表示样本空间和事件 Ⅳ 讲授内容：

§1.0 概率论研究的对象

一 两类现象---确定现象与不确定现象

先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象. 例1 水在一个大气压力下,加热到100℃就沸腾. 例2 向上抛掷一个五分硬币,往下掉. 例3 太阳从东方升起. 例4 一个大气压力下,20℃的水结冰.

例1,例2,例3是必然发生的,而例4是必然不发生的.

个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现

象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类现象先看下面实例.

例5 用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中. 例6

第五节一、条件概率 二、乘法定理

条件概率

三、全概率公式与贝叶斯公式

四、小结

一、条件概率1. 引例 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”, 事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事 件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率.S { HH T 为反面. 分析 设 H 为正面 , HT , TH , TT }.

2 1 . 4 2 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1 1 4 P ( AB) P (B ). P ( B A), 则 P ( B A) 3 34 P ( A)A { HH , HT , TH }, B { HH , TT }, P ( B )

2. 定义设 A, B 是两个事件, 且 P ( A) 0, 称 P ( AB ) P ( B A) P ( A) 为在事件 A 发生的条件下事件B 发生的条件概率.

同理可得

P ( AB) P( A B) P( B)

为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率.

3. 性质(1) 非负性 : P ( B A) 0; (2) 规范性 : P ( S B) 1, P ( B)

习题一

1. 用三个事件

,,A B C 的运算表示下列事件： （1）

,,A B C 中至少有一个发生；（2）,,A B C 中只有A 发生； （3）

,,A B C 中恰好有两个发生；4）,,A B C 中至少有两个发生； （5）,,A B C 中至少有一个不发生；（6）

,,A B C 中不多于一个发生. 解：（1）A B C （2）ABC (3) ABC ABC CAB (4) AB BC CA (5) A B C (6) AB BC C A 2. 在区间[0,2]上任取一数x ， 记

1{|1},2A x x =<≤ 13{|}42B x x =≤≤，求下列事件的表达式： （1）AB ； （2）AB ； (3) A B .

解：（1）

{|1412132}x x x ≤≤<≤或 （2）?

（3）{|014121x x x ≤<<≤或

3. 已知

()0.4,()0.2,()0.1P A P BA P CAB ===，求()P A B C . 解：0.2()()P A P AB =-,

0.1()(())()()()()()()P C AB P C A

B P

C P CA CB P C P CA P CB P ABC -=-=-=--+ ()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P BC P CA

概率论与数理统计补充习题

第一章 随机事件与概率

一、思考题

1、概率研究的对象是什么？

2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？ 3、概率是刻画什么的指标？ 4、概率的公理化定义的意义是什么？ 5、第一章的主要内容是什么？

二、填空题

1、填出下列事件的关系

（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 . （2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 . （3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 . 2、某人用步枪射击目标5次，Ai=（第i次击中目标 ），Bi=（5次射击中击中目标i次）（i=0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系. （1）、

5?A为 . ii?1?Bi?15i?155i为 . 5?A与?Bii?1i的关系为

概率论与数理统计习题第一章

习题1-1（P 7）

1．解：（1）}18,4,3{，?=Ω

（2）}1|),{22<+=Ωy x y x （

(3) {=Ωt |ｔ},10N t ∈≥

（本题答案由经济1101班童婷婷提供）

２．ＡＢ 表示只有一件次品，-A 表示没有次品，-

B 表示至少有

一件次品。 （本题答案由经济1101班童婷婷提供）

3．解：（1）A 1∪A 2=“前两次至少有一次击中目标”;

（2）2A =“第二次未击中目标”;

（3）A 1A 2A 3=“前三次均击中目标”;

（4）A 1?A 2?A 3=“前三次射击中至少有一次击中目标”;

（5）A 3-A 2=“第三次击中但第二次未击中”;

（6）A 32A =“第三次击中但第二次未击中”;

（7）12A A =“前两次均未击中”;

（8）12A A =“前两次均未击中”; （9）(A 1A 2)?(A 2A 3)?(A 3A 1)=“三次射击中至少有两次击中目标”.

（本题答案由陈丽娜同学提供）

４.解： (1)ABC

(2)ABC

(3) ABC

(4) A B C

(5) ABC (6) AB BC AC (7) A B C (8) (AB)(AC)(BC) （本题答案由丁汉同学提供）

５.解： (1)A=

一、填空题

1、关于事件的关系运算

（1）已知P(A)?0.4，P(B)?0.4，P(A?B)?0.5，则P(A?B)? 0.7

（AB）（2）已知P(A)?0.6,P(B)?0.8,P(BA)?0.2,P= 0.9

(3)已知P(A) = 0.5 ，P(A - B) = 0.2，则P (B|A) = 0.6

（B）（4）设A与B是独立，已知：P(A?B)?c,P(A)?a?1，则P=

(c-a)/(1-a)

（5）已知A,B为随机事件，P(A)?0.3，P(B)?0.4，P(A?B)?0.5，则0.1 P(AB)?______2、关于6个常用分布 （1）若Xf(x)?12?e?x2?6x?94，则X服从的分布是 N(-3,2)

（2）若随机变量X～?(?)；Y～e(?)，且EX?2，则DY =__1/4___ （3）若随机变量X～U(-1， 1)(均匀分布)；Y～N(0，1)，且X与Y独立，则(X，Y)的联合密度函数为（4）设随机变量X服从参数为?的泊松分布，则E?2X?1?= 2?+1 （5）在3重贝努里实验中，已知4次实验至少成功一次的概率为：175/256，则一次成功的概率p= 0

概率论与数理统计 张帼奋 第一章答案

第一章 概率论的基本概念

1解:该试验的结果有9个:(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)。所以,

（1）试验的样本空间共有9个样本点。

（2）事件A 包含3个结果:不吸烟的身体健康者,少量吸烟的身体健康者,吸烟较多的身体健康者。即A 所包含的样本点为(0,a),(1,a),(2,a)。

（3）事件B 包含3个结果:不吸烟的身体健康者,不吸烟的身体一般者,不吸烟的身体有病者。即B 所包含的样本点为(0,a),(0,b),(0,c)。

2、解 (1)AB BC AC U U 或ABC ABC ABC ABC U U U ;(2)AB BC AC U U (提示:题目等价于A ,B ,C 至少有2个发生,与(1)相似); (3)ABC ABC ABC U U ;(4)A B C U U 或ABC ;

(提示:A ,B ,C 至少有一个发生,或者A B C ，，不同时发生);

3(1)错。依题得()()()()0=-+=B A p B p A p AB p Y ,但空集≠B A I ,故A 、B 可能相容。

（2）错。举反例

（3）错。举反例

(4)对。证明:由(

概率论与数理统计课程第一章练习题

一、判断题（在每题后的括号中 对的打“√”错的打“×” ） 1、若P(A)?1，则A与任一事件B一定独立。（ ）

2、概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。（ ） 3、样本空间是随机现象的数学模型。（ ）

4、每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。（ ） 5、样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。（ ）

6、实际推断原理是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。（ ）

7、若S为试验E的样本空间，B1,B2,称B1,B2,,Bn为E的一组两两互不相容的事件，则

（ ） ,Bn为样本空间S的一个划分。

8、若事件A的发生对事件B的发生的概率没有影响，即P(BA)?P(B)，称事件

A、B独立。（ ）

9、若事件B1,B2,独立的。（ ） 10、若事件B1,B2,,Bn(n?2)相互独立，则其中任意k(2?k?n)个事件也是相互

,Bn(n?2)相互独立，则将B1,B2,,Bn中任意多个事件换成

它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。（ ）

二、单选题

1．设事件A和B相互独立，则P(AB)?（

《概率论与数理统计》习题及答案

选 择 题

单项选择题

1．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ ）. （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”； （C）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； （D）“甲种产品滞销”.

解：设B?‘甲种产品畅销’，C?‘乙种产品滞销’，A?BC A?BC?B?C?‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C. 2．设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）. （A）(A?B)?B?A?B; （B）(A?B)?B?A;

（C）(A?B)?AB?AB?AB; （D）(A?B)?C?(A?C)?(B?C).

解：(A?B)?B?AB?B?(A?B)?(B?B)?A?B ?A对. (A?B)?B?(A?B)B?AB?BB?AB?A?B?A B不对 (A?B)?AB?(A?B)?(B?A)?AB?AB. C对 ?选B. 同理D也对.

3．若当事件A,B同时发生时，事件C必发生，则（

《概率论与数理统计》习题及答案

选 择 题

单项选择题

1．以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为（ ）. （A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”； （B）“甲、乙两种产品均畅销”； （C）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”； （D）“甲种产品滞销”.

解：设B?‘甲种产品畅销’，C?‘乙种产品滞销’，A?BC A?BC?B?C?‘甲种产品滞销或乙种产品畅销’. 选C. 2．设A,B,C是三个事件，在下列各式中，不成立的是（ ）. （A）(A?B)?B?A?B; （B）(A?B)?B?A;

（C）(A?B)?AB?AB?AB; （D）(A?B)?C?(A?C)?(B?C).

解：(A?B)?B?AB?B?(A?B)?(B?B)?A?B ?A对. (A?B)?B?(A?B)B?AB?BB?AB?A?B?A B不对 (A?B)?AB?(A?B)?(B?A)?AB?AB. C对 ?选B. 同理D也对.

3．若当事件A,B同时发生时，事件C必发生，则（