概统分布函数

一元二次方程根的分布专题

一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。

一．一元二次方程根的基本分布——零分布

所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。

设一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的两个不等实根为x1，x2

????b2??①方程有两个不等正根 x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0②方程两根一正一负 ：x1?0?x2，则ca?0

????b2??③方程有两个不等负根：x1?0,x2?0 ?x1?x2???x1x2???4ac?0??caba?0

?0即时应用：

(1)若一元二次方程(m?1)x?2(m?1)x?m?0有两个不等正根，求m

2(2)k在何范围内取值，一元二次方程kx?3kx?k?3?0有一

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

供热系统分布式混水连接方式的选优

清华大学 石兆玉

摘 要：为节能（电）的需要，我国采用混水连接方式的供热系统已成为行业关

注的新热点。为使设计方案更加科学合理，本文就混水连接的管网特性、 方案的最优组成以及节能（电）计算进行了探讨。

关键词：供热系统 混水连接方式 管网特性 节能 优选

一、分布式混水连接系统的优势

混水连接方式是供热系统直接连接的一种传统的有效的方式。多采用喷射泵和混水泵实现。近年来，由于节能、节电的需求以及变频调速水泵的广泛应用，混水泵的连接方式，呈现出明显优势，因此，成为新近一个时期，业内人员普遍关注的热点。

作者在“供热系统分布式变频循环水泵的设计”一文中[1]，就分布式变频混水泵的节电优势，做过详细的分析论证：一般分布式变频循环水泵的供热系统，其水泵装机容量与传统设计方案相比，节电1/3；而分布式混水泵供热系统，其装机节电量为2/3。若在运行期间，采用变频变流量调节，则全系统节电85%左右，优势更为显著。

分析分布式混水泵节电原因，主要是能更多的消除管网在热媒输送过程中的无效电耗，进而提高了管网的输送效率。采用分布式混水泵系统，最大的特点是减少了一次网的设计循环流量（增大了供、回水温

供热系统分布式变频循环水泵的设计

清华大学 石兆玉

摘 要：本文详细阐述了供热系统分布式变频循环水泵最优方案的确定过程，并

对其设计、运行的基本方法进行了介绍。

关键词：供热系统 循环水泵 分布式变频

作者在2004年的供热技术交流会议上曾作过“供热系统循环水泵传统设计思想亟待更新”[1]的学术论文报告。文章对六种新的设计方案与传统的循环水泵的设计方案进行了比较，并指出：新的设计方案比传统设计方案，其循环水泵的装机电容量可节约1/3~2/3。但文章没有明确给出新的最优设计方案是什么？也没有阐述新的设计方案如何进行具体设计与运行？经过近二年的进一步研究，作者在这次论文中，即“供热系统分布式变频循环水泵的设计”中试图就上述问题作出明确回答，以期在同行中进行讨论。

一、最优方案的确定

在“供热系统循环水泵传统设计思想亟待更新”（以下简称“更新”）一文中指出：在传统的热源单循环水泵的设计中，存在过多的无效电耗。为防止无效电耗的发生，本文在“更新”一文的六种方案的基础上，重新提出了三种设计方案与传统方案进行比较。

为叙述方便，仍沿用“更新”一文中的供热系统：该系统共10个热用户（或10个热力站），供回水设计温度85/70℃，各

供热系统分布式混水连接方式的选优

清华大学 石兆玉

摘 要：为节能（电）的需要，我国采用混水连接方式的供热系统已成为行业关

注的新热点。为使设计方案更加科学合理，本文就混水连接的管网特性、 方案的最优组成以及节能（电）计算进行了探讨。

关键词：供热系统 混水连接方式 管网特性 节能 优选

一、分布式混水连接系统的优势

混水连接方式是供热系统直接连接的一种传统的有效的方式。多采用喷射泵和混水泵实现。近年来，由于节能、节电的需求以及变频调速水泵的广泛应用，混水泵的连接方式，呈现出明显优势，因此，成为新近一个时期，业内人员普遍关注的热点。

作者在“供热系统分布式变频循环水泵的设计”一文中[1]，就分布式变频混水泵的节电优势，做过详细的分析论证：一般分布式变频循环水泵的供热系统，其水泵装机容量与传统设计方案相比，节电1/3；而分布式混水泵供热系统，其装机节电量为2/3。若在运行期间，采用变频变流量调节，则全系统节电85%左右，优势更为显著。

分析分布式混水泵节电原因，主要是能更多的消除管网在热媒输送过程中的无效电耗，进而提高了管网的输送效率。采用分布式混水泵系统，最大的特点是减少了一次网的设计循环流量（增大了供、回水温

一、基本概念1. 统计量的定义设 X 1 , X 2 ,L, X n 是来自总体 X 的一个样本 ,g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是 X 1 , X 2 ,L, X n 的函数 , 若 g中

不含未知参数 , 则称 g ( X 1 , X 2 ,L, X n ) 是一个统计量. 设 x1 , x2 ,L, xn 是相应于样本 X 1 , X 2 ,L, X n 的样本值 , 则称 g ( x1 , x2 ,L, xn ) 是 g ( X 1 , X 2 ,L, X n )

的观察值 .

实例1 实例 设 X 1 , X 2 , X 3 是来自总体 N ( µ ,σ 2 )的一个

样本 , 其中µ 为已知, σ 2 为未知, 判断下列各式哪 些是统计量 , 哪些不是 ? T1 = X 1 ,T2 = X 1 + X 2e ,X3

1 T3 = ( X 1 + X 2 + X 3 ), 3 T4 = max( X 1 , X 2 , X 3 ),

是

T5 = X 1 + X 2 2 µ ,不是

1 2 2 2 T6 = 2 ( X 1 + X 2 + X 3 ). σ

2. 几个常用统计量的定义设 X 1 ,

2.1 随机变量及其

分布函数一、随机变量 二、分布函数

一、随机变量例1 抛一枚硬币,观察正面 1,反面 2出 现的情况: 样本空间 ={ 1, 2} 引入一个定义在 上的函数 X : 1, 1 X X ( ) 0, 2

由于试验结果的出现是随机的,因此 X( )的取值也是随机的

例2 从包含两件次品(a1,a2)和三件正品 (b1,b2,b3)的五件产品中任意取出两件:样本空间为: ={{a1,a2},{a1,b1},{a1,b2},{a1,b3},{a2,b1}, {a2,b2},{a2,b3},{b1,b2},{b1,b3},{b2,b3}}

以X表示抽取的两件产品中包含的 次品个数,则X是定义在 上的一个函数 即 X=X( ),

具体写出这个函数如下: 0 , ( b 1 , b 2 ), ( b 1 , b 3 ), ( b 2 , b 3 ) 1 , ( a 1 , b 1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 1 , b 3 ) X X ( ) ( a 2 , b 1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 2 , b 3 ) 2,

各能级被电子占据的数目服从特定的统计规律这个规律就是费米-狄拉克分布规律。

一般而言，电子占据各个能级的几率是不等的。占据低能级的电子多而占据高能级的电子少。统计物理学指出，电子占据能级的几率遵循费米的统计规律：在热平衡．．．

状态下，能量为E 的能级被一个电子占据的几率为： f(E) 称为电子的费米(费米-狄拉克)分布函数，k 、T 分别为波耳兹曼常数和绝对

温度。E fermi 称为费米能级，它与物质的特性有关。

只要知道了费米能级E fermi 的数值，在一定温度下，电子在各量子态上的统计分布就完全确定了。

费米分布函数的一些特性: 【根据f(E)公式来理解】

第一， 费米能级E fermi 是一种用来描述电子的能级填充水平的假想能级．．．．

， E f 越大，表示处于高能级的电子越多； E f 越小，则表示高能级的电子越少。(E f 反映了整体平均水平) 第二，假定费米能级E f 为已知，则f(E)是能量E 与温度T 的函数。根据f(E)式可画出 f(E) 的曲线如图所示，但要注意 因变量f(E)不像普通习惯画在纵轴，而是破天荒的画在横轴。

第三，费米能级E f 在能级图中的位置与材料掺杂情况有关。对于本征半导体，E f 处于禁带

第三节 二维随机变量函数的分布

在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示这个人的血压，并且已知Z与X，Y的函数关系式

Z?g(X,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.

在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Z?X?Y;

(ii) Z?max{X,Y}和Z?min{X,Y}，其中X与Y相互独立.

注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.

内容分布图示

★ 引言

★ 离散型随机向量的函数的分布

★ 例1 ★ 例2

★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 正态随机变量的线性组合

★ 例8 ★ 例9 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 最大、最小

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第三节

随机变量的分布函数

一、分布函数的概念 二、分布函数的性质 三、例题讲解 四、小结

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一、分布函数的概念1.概念的引入对于随机变量X, 我们不仅要知道X 取哪些值, 要知道 X 取这些值的概率 ; 而且更重要的是想知 道 X 在任意有限区间(a,b)内取值的概率. 例如 求随机变量 X 落在区间 ( x1 , x2 ] 内的概率P{ x1 X x2 } P{ X x2 } P{ X x1 }

?

F ( x2 ) P{ x1 X x2 } F ( x2 ) F ( x1 ).

F ( x1 ) 分布 函数

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2.分布函数的定义定义 设 X 是一个随机变量, x 是任意实数,函数 F ( x ) P{ X x } 称为X的分布函数.

说明 (1) 分布函数主要研究随机变量在某一区间内取值 的概率情况.( 2)分布函数 F ( x ) 是 x 的一个普通实函数.

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实例

抛掷均匀硬币, 令 1, X 0, 出正面, 出反面.

求随机变量 X 的分