三重积分三种计算方法

三重积分的计算方法种种

摘要：三重积分的计算一直是教学中的重点和难点，本文根据三重积分的被积函数的不同性质，总结了三重积分计算的不同的处理方法，有的方法是选择合适的坐标系；有的方法是利用公式，做变量代换；还有的方法是利用被积函数在积分区域中的特殊性质。这些方法可以简化三重积分的计算。 关键词：三重积分 变量代换 对称性

Several Methods of Calculation of Triple Integral

Abstract: Calculation of triple integral is a important and difficult part in teaching work, in this paper,

according to the different character of integrand of triple integral, we give different calculation methods of triple integral, by choosing suitable coordinate system, and the variable replacement formula, the

方法

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分

z2

f(x,y,z)dz

，再做二重积分

D

F(x,y)d

，就是“投

z1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。

z2

f(x,y,z)dv

[

D

z1

f(x,y,z)dz]d

如果先做二重积分

Dz

f(x,y,z)d

再做定积分 F(z)dz，就是“截面

c1

c2

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面z即z [c

1

c1与z c2

之间，

z

,c2]，过

z作平行于xoy面的平面截 ，截面D。区域D的边

z

z

界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分

Dz

f(x,y,z)d

，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分 F(z)dz，完成“后

c1

c2

c2

一”这一步。

f(x,y,z)dv

[

c1

Dz

f(x,y,z)d ]dz

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积 (z)

z

容易求出时，“截面法”尤

方法

三重积分的计算方法介绍：

三重积分的计算是化为三次积分进行的。其实质是计算一个定积分（一重积分）和一个二重积分。从顺序看：

如果先做定积分

z2

f(x,y,z)dz

，再做二重积分

D

F(x,y)d

，就是“投

z1

影法”，也即“先一后二”。步骤为：找 及在xoy面投影域D。多D上一点（x,y）“穿线”确定z的积分限，完成了“先一”这一步（定积分）；进而按二重积分的计算步骤计算投影域D上的二重积分，完成“后二”这一步。

z2

f(x,y,z)dv

[

D

z1

f(x,y,z)dz]d

如果先做二重积分

Dz

f(x,y,z)d

再做定积分 F(z)dz，就是“截面

c1

c2

法”，也即“先二后一”。步骤为：确定 位于平面z即z [c

1

c1与z c2

之间，

z

,c2]，过

z作平行于xoy面的平面截 ，截面D。区域D的边

z

z

界曲面都是z的函数。计算区域D上的二重积分

Dz

f(x,y,z)d

，完成

了“先二”这一步（二重积分）；进而计算定积分 F(z)dz，完成“后

c1

c2

c2

一”这一步。

f(x,y,z)dv

[

c1

Dz

f(x,y,z)d ]dz

当被积函数f（z）仅为z的函数（与x,y无关），且D的面积 (z)

z

容易求出时，“截面法”尤

人类寿命三种计算方法

有专家说，人体的自然性命有三种计算方法：一种是按性成熟期的8至10倍计算，人体的性成熟期是14至15岁，寿命该是112至150岁；第二是按生长期的5至7倍计算，人的生长期一般是20至25年，寿命该是100至175岁；三是按细胞分裂乘50至55次来计算，细胞每2.4年分裂一次，寿命该是120至132岁。按上述计算，人人都应活过百岁，但百岁老人仍是今来稀。世界上迄今活过200岁的有两人：男的是英国人卡恩，活209岁；女的是南美的玛卡兰殊，活203岁。

影响寿命的因素有14项。第一是遗传，长寿父母与短寿父母基因的影响可延寿或折寿达20年。第二是生态环境，空气清新、气候宜人与空气污浊、噪音超标的生活环境也可延寿和折寿20年。第三，家庭美满与否也可加减寿命10年。第四，烟瘾大，常酗酒，折寿20年。第五，饮食与运动，合理饮食与适当运动延寿20年，反之，折寿16年。第六，心胸开朗，豁达大度，延寿10年；心情恶劣，好发脾气，折寿10年。第七，睡眠良好与否，增减8年。第八，性生活适度，延寿5年，荒淫无度，折寿10年。

这些数字分析，当然颇有道理，也算是老生常谈。但有一项谈及性别的，说男性应减2年，女性则增4年，大概是基于世界上长寿女性往往比男性

权重的计算方法举例

权重：反映指标在指标体系中重要性程度的数量。 研究问题：择偶指标体系权重集计算 1.外貌（身高、体重、长相魅力）

2.性格（情绪稳定性、性格匹配性、性格魅力） 3.成就（才华、财富） 4.潜力（升值空间） 一、定量统计法

假定随机抽取50名男大学生，50名女大学生，填写一份调查问卷，结果如表1所示：

表1 100名大学生对择偶指标体系重要性的评价结果

指标 1.外貌 2.性格 3.成就 4.潜力 权重 0.266 0.234 0.226 0.274 重要性评价（%） 不重要 0 0 0 0 有点重要 10 20 20 10 重要 40 30 40 30 非常重要 30 40 30 40 极为重要 20 10 10 20 重要及以上（%） 90 80 80 90 第一步：以67%（2/3）为界限，若选择“重要”、“非常重要”、“极为重要”的比例合计小于67%，则删除该指标。由表1知，4个指标累计比例均大于67%，均应保留。

第二步：把不重要赋值1，有点重要赋值2，重要赋值3，非常重要赋值4，极为重要赋值5，若仅选择重要及以上数据进入统计，则这三种选项的权重分别为：3/（3+4+5）=0.25；4/（3+4+5）=0.33；

§5.三重积分

数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:x2?y2?z2?a2?a?0?表示以原点为球心，半径为a的球面。

2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

?f(x,y)?0一般地，方程f(x,y)?0表示以曲线C:?为准线，母线平行于z轴的柱面。

z?0?类似可以写出方程f(y,z)?0和f(z,x)?0表示的曲面。 注：当准线是直线时，柱面退化为平面。

几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）

x2y2（1）2?2?1表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当a?b时，它表示母线平行

ab于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。

（2）y2?2px?p?0?表示母线平行于z轴的抛物柱面。

x2z2（3）-2?2?1表示母线平行y轴的双曲柱面。

ab

3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。

例如平面曲线C:??f(y,z)?0,绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为

?x?0f(?x2?y2,z)?0。

记忆口诀：绕

VaR度量的三种经典方法

1.正态分布法

正态分布法计算组合VaR有三种计算方法：

A．假设债券组合的对数日收益率服从均值为u，标准差为的正态分布。则由独立同分布随机变量和的特征知，持有期内组合的对数收益率服从均值为，方差为的正态分布。通过计算债券组合的收益率分布，估计分布参数，直接计算债券组合的VaR。若将债券组合看作单一债券，则此种方法也适用于单个债券的VaR计算。具体步骤为：

1、根据成分债券的价格矩阵和对应持仓量矩阵计算债券组合的价格序列，这里价格使用债券的盯市价格（以持仓量计算权重）；

2、根据债券组合的价格序列计算对数日收益率；

3、根据成分债券的当前价格和当前持仓量计算债券组合的当前价格（以持仓量计算权重）；

4、由债券组合的对数收益率序列计算其标准差，作为收益率的波动率；

5、计算置信度对应的标准正态分布的分位数；

6、计算组合的在置信度下的最大损失金额VaR为：，也称为相对VaR，是指以组合的当前价格为基点考察持有期内组合的价指变化。其中为持有期；

在该置信度下，债券组合绝对VaR为：，是指以持有期内组合的预期收益率为基点考察持有期内组合的变化，其中u为债券组合的收益率均值。

B．假设债券组合中各成分债券的对数收益率服从多元正态分布，均值为向量U

§5.三重积分

数学分析中常用的曲面和它对应的方程（温馨提示：请大家务必记住常用结论！） 1.球面:x2?y2?z2?a2?a?0?表示以原点为球心，半径为a的球面。

2.柱面：平行于定直线L并沿定曲线C移动的动直线所形成的曲面叫做柱面。定曲线C叫做柱面的准线，动直线叫做柱面的母线。

?f(x,y)?0一般地，方程f(x,y)?0表示以曲线C:?为准线，母线平行于z轴的柱面。

z?0?类似可以写出方程f(y,z)?0和f(z,x)?0表示的曲面。 注：当准线是直线时，柱面退化为平面。

几种常用的柱面（柱面名称与准线名称相对应）

x2y2（1）2?2?1表示母线平行于z轴的椭圆柱面。特别地，当a?b时，它表示母线平行

ab于z轴的圆柱面。这里的定直线L就是z轴。

（2）y2?2px?p?0?表示母线平行于z轴的抛物柱面。

x2z2（3）-2?2?1表示母线平行y轴的双曲柱面。

ab

3.旋转曲面：平面曲线C绕该平面上一条定直线L旋转而形成的曲面，叫做旋转曲面。 其中平面曲线C叫做旋转曲面的母线，定直线L叫做旋转曲面的轴。

例如平面曲线C:??f(y,z)?0,绕z轴旋转一周所得到的旋转曲面的方程为

?x?0f(?x2?y2,z)?0。

记忆口诀：绕

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy

根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间,化三重积分为三次积分。

科技信息

高校理科研究

关孑求船三重积分帕方法襄樊学院数计学院陶爽卢方芳[摘要]根据给出的封闭曲面的形式判断积分区间，化三重积分为三次积分。 [关键词】积分区域最大投影柱坐标球面坐标 1出的曲形如 z f x )=, .给面=1,, x ) ( yz Y令￡ )如 y, y= )得到一个关于 xy,的方程，是封闭曲面围成的区域在 X Y平面上的最大投影，也是 x满足的范围，然后根据所得到的 xy O, y, 的关系判断 f 2 l的大小。, f 例 1化三重积分 f,z xy z ( Y ) dd为三次积分， x,d积分区域 Q是由曲面 z x 22 z2 X围成的闭区域。= Z y及=一2+ 解根据 x 2 2 x有 x 1因为得到的是最大投影，以 xy 2 y一 y,+所，满足的是 x y≤1 22,+根据该式可知≤2 X则一2,,

故闭区域在平面上的最大投影区域 D (, I+2】据 y得=(y x y≤1根 x)z, 2≤1出、 =[≥z z 2≥x y而根据所给的曲面方程形式，+,可以使用柱坐标变换，

令{p S 0 p+ f C≤<∞ X O= f ≥≥ 22~== z xy