二阶偏微分方程的解

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二阶偏微分方程的分类

标签:文库时间:2024-08-26
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§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程;这里a1,a2,…,an是某

些参数,且有特征方程,即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向;如果一个(n)维曲面,其每点的法线方向都是特征方向,则称此曲面为特征曲面;过一点的(n)维平面,如其法线方向为特征方向,则称这个平面为特征平面,在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn ),根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号,可将方程分为四类:

(i) 特征根同号,都不为零,称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零,有n个具有同一种符号 ,余下一个符号相反,称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零,有点P为超双曲型

二阶偏微分方程的分类

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§3 二阶偏微分方程的分类

一、 二阶偏微分方程的分类、标准形式与特征方程 考虑二阶偏微分方程

(1) 式中aij(x)=aij(x1,x2,…,xn)为x1,x2,…,xn的已知函数.

[特征方程·特征方向·特征曲面·特征平面·特征锥面] 代数方程

称为二阶方程(1)的特征方程;这里a1,a2,…,an是某

些参数,且有特征方程,即

.如果点x =(x1 ,x2 ,…,xn )满足

则过x 的平面的法线方向

l:(a1,a2,…,an)称为二阶方程的特征方向;如果一个(n)维曲面,其每点的法线方向都是特征方向,则称此曲面为特征曲面;过一点的(n)维平面,如其法线方向为特征方向,则称这个平面为特征平面,在一点由特征平面的包络组成的锥面称为特征锥面. [n个自变量方程的分类与标准形式] 在点P(x1 ,x2 ,…,xn ),根据二次型

(ai为参量)

的特征根的符号,可将方程分为四类:

(i) 特征根同号,都不为零,称方程在点P为椭圆型.

(ii) 特征根都不为零,有n个具有同一种符号 ,余下一个符号相反,称方程在点P为双曲型.

(iii) 特征根都不为零,有点P为超双曲型

偏微分方程数值解

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数学与计算科学学院

实 验 报 告

实验项目名称 用Eular方法求解一阶常微分方程数值解 所属课程名称 偏微分方程数值解 实 验 类 型 验证性 实 验 日 期 2015-3-26

班 级 信计12-2班 学 号 201253100215 姓 名 张洪清 成 绩

一、实验概述: 【实验目的】 学会使用显性Eular方法和隐形Eular方法 应用显性Eular方法和隐形Eular方法求解一般一阶常微分方程的近似数值解。 学会用MATLAB解决数学问题。 【实验原理】 1、Eular方法: 一阶线性微分方程初值问题 ?y'?f(x,y),a?x?b??y(

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)

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二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

《微分方程数值解法》期中作业实验报告

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

姓名: 学号: 班级:

2013年11月19

二阶椭圆偏微分方程实例求解(附matlab代码)用的是五点差分法。

二阶椭圆偏微分方程第一边值问题

摘要

对于解二阶椭圆偏微分方程第一边值问题,课本上已经给出了相应的差分方程。而留给我的难题就是把差分方程组表示成系数矩阵的形式,以及对系数进行赋值。解决完这个问题之后,我在利用matlab解线性方程组时,又出现“out of memory”的问题。因为99*99阶的矩阵太大,超出了分配给matlab的使用内存。退而求其次,当n=10,h=1/10或n=70,h=1/70时,我都得出了很好的计算结果。然而在解线性方程组时,无论是LU分解法或高斯消去法,还是gauseidel迭代法,都能达到很高的精度。

关键字:二阶椭圆偏微分方程差分方程out of memory LU分解高斯消去法gauseidel迭代法

一、题目重述

解微分方程:

(eyux(x,y))x (exuy(x,y))y (x y)ux(x,y) (x y)uy(x,y) u(x,y) ye xe e y x 1 e

偏微分方程数值解(试题)

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偏微分方程数值解试题

1、考虑一维的抛物型方程:

?u?2u??2, x?[0,?], 0?t?T?t?x u(x,t)x?0?u0, u(x,t)x???u?u(x,0)??(x)(1)导出时间离散是一阶向前Euler格式,空间离散是二阶精度的差分格式;

(2)讨论(1)中导出的格式的稳定性; (3)若时间离散为二阶精度的蛙跳格式,

?uun?1?un?1 ??tt?tn2?t空间离散是二阶精度的中心差分,问所导出的格式稳定吗?为什么?

2、考虑Poission方程

??2u(x,y)?1, (x,y)???u ?0, in AB and AD?nu(x,y)?0, in BC and CD其中Ω是图1中的梯形。

图1 梯形

使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性,可以考虑梯形的一半,如图2,

图2 从物理空间到计算区域的几何变换

?,然后在??上使用差分为了求解本问题,采用如下方法:将Ω的一半投影到正方形区域??上用N?N个网格点,空间步长为方法来离散该方程。在计算区域???????1/N(?1) 。

?(带有坐标?,?)(1)引入一个映射T将原区域

偏微分方程实验模板

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实 验 报 告

课程名称:偏微分方程数值解院 系:专业班级:学 号:学生姓名:指导教师:开课时间: 数学科学系 信计1101 1131120140 张军 沈 林 2013至2014学年第二学期

一、学生撰写要求

按照实验课程培养方案的要求,每门实验课程中的每一个实验项目完成后,每位参加实验的学生均须在实验教师规定的时间内独立完成一份实验报告,不得抄袭,不得缺交。

学生撰写实验报告时应严格按照本实验报告规定的内容和要求填写。字迹工整,文字简练,数据齐全,图表规范,计算正确,分析充分、具体、定量。

二、教师评阅与装订要求

1.实验报告批改要深入细致,批改过程中要发现和纠正学生实验报告中的问题,给出评语和实验报告成绩,签名并注明批改日期。实验报告批改完成后,应采用适当的形式将学生实验报告中存在的问题及时反馈给学生。

2.实验报告成绩用百分制评定,并给出成绩评定的依据或评分标准(附于实验报告成绩登记表后)。对迟交实验报告的学生要酌情扣分,对缺交和抄袭实验报告的学生应及时批评教育,并对该次实验报告的分数以零

偏微分方程数值解期末试题及答案

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偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一(10分)、设矩阵A对称,定义J(x)?1(Ax,x)?(b,x)(x?Rn),2?(?)?J(x0??x).若?'(0)?0,则称称x0是J(x)的驻点(或稳定点).矩阵A对

称(不必正定),求证x0是J(x)的驻点的充要条件是:x0是方程组 Ax?b的解 解: 设x0?Rn是J(x)的驻点,对于任意的x?Rn,令

?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)??22(Ax,x), (3分)

?'(0)?0,即对于任意的x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有

(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b. (3分) 反

,若

x0?Rn满足

Ax0?b,则对于任意的

1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分)

2评分标准:?(?)的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

ddu??Lu??(p)?qu?f二(10分)、 对于两点边值问题:?dxdx'??u(a)?0,u(b)?0x?[a,b]x?(a,b)

其中p?C1([a,b]),

偏微分方程数值解期末试题及答案

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偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一(10分)、设矩阵A对称,定义J(x)?1(Ax,x)?(b,x)(x?Rn),2?(?)?J(x0??x).若?'(0)?0,则称称x0是J(x)的驻点(或稳定点).矩阵A对

称(不必正定),求证x0是J(x)的驻点的充要条件是:x0是方程组 Ax?b的解 解: 设x0?Rn是J(x)的驻点,对于任意的x?Rn,令

?(?)?J(x0??x)?J(x0)??(Ax0?b,x)??22(Ax,x), (3分)

?'(0)?0,即对于任意的x?Rn,(Ax0?b,x)?0,特别取x?Ax0?b,则有

(Ax0?b,Ax0?b)?||Ax0?b||2?0,得到Ax0?b. (3分) 反

,若

x0?Rn满足

Ax0?b,则对于任意的

1x,J(x0?x)??(1)??(0)?(Ax,x)?J(x0),因此x0是J(x)的最小值点. (4分)

2评分标准:?(?)的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

ddu??Lu??(p)?qu?f二(10分)、 对于两点边值问题:?dxdx'??u(a)?0,u(b)?0x?[a,b]x?(a,b)

其中p?C1([a,b]),

第二十章 偏微分方程的数值解

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第二十章 偏微分方程的数值解

自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程,称之为偏微分方程。

方程中出现的未知函数偏导数的最高阶数称为偏微分方程的阶。如果方程中对于未知函数和它的所有偏导数都是线性的,这样的方程称为线性偏微分方程,否则称它为非线性偏微分方程。

初始条件和边界条件称为定解条件,未附加定解条件的偏微分方程称为泛定方程。对于一个具体的问题,定解条件与泛定方程总是同时提出。定解条件与泛定方程作为一个整体,称为定解问题。

§1 偏微分方程的定解问题

各种物理性质的定常(即不随时间变化)过程,都可用椭圆型方程来描述。其最典型、最简单的形式是泊松(Poisson)方程

?2u?2u ?u? ??f(x,y) (1)

?x2?y2特别地,当f(x,y)?0时,即为拉普拉斯(Laplace)方程,又称为调和方程

?2u?2u ?u?2?2?0 (2)

?x?y带有稳定热源

第七章-7.2一阶线性偏微分方程

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第二节

一阶线性偏微分方程的解法

一、线性偏微分方程 1、线性算子 算子是一种数学法则,把它作用在一个函数上便产 生了另外一个函数。 2 2 3 2 例如,L 3 及M 2 x 2 2 x x y y x y都是偏微分算子。 u 2u 3u 将其作用于函数u便有:L[u ] 3 x x y y2 2u u 2 M [u ] x 2015/10/13 x 2 y 2

u 2u 3u 于是偏微分方程 3 f ( x, y)便可简单 x x y y记为L[u ] f 或Lu f .

算子L若满足:L[au bv] aL[u] bL[v] 其中,a, b为常数;u, v为函数,则称L为线性算子。

2015/10/13

2.线性微分方程解的叠加原理

定理1:若u1 , u2 ,..., un是某个线性齐次微分方程L[u ]=0 的解,则 ci u i 也为此方程的解。(ci 为任意常数)i 1 n

定理2:若ui 是L[u ] fi (i 1, 2,...)的解,且 ciui收敛,i 1

则u ci ui 是L[