对数与指数函数的互化

§3.2.3 指数函数与对数函数的关系课前预习案

一、认真阅读课本，填写以下内容： 1.反函数的定义：

当一个函数是 时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 ，而把这个函数的自变量作为新的函数的 ，我们称这两个函数互为 .

2.对数函数y?logax与 互为反函数，它们的图象关于直线 对称.

3.函数f(x)的反函数通常用 表示. 二、预习自测：

1. 求下列函数的反函数（不必写定义域）.

（1）y?ex； （2）y?lgx； （3）y?log2(x?1).

2.函数f(x)?log2x?2，则f?1(x)的定义域是（ ）

A.R B.[?2,??) C. [1,??) D.(0,1) 3.函数f(x)?log2(x?1)?1，则f?1(1)等于（ ）

A. 1 B. 2 C. 3

分模块讲了高中 对数和指数非常常见的题型及解法

中小学1对1课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义

讲义编号

分模块讲了高中 对数和指数非常常见的题型及解法

中小学 1 对 1 课外辅导专家

4. 重要公式： log a 1 = 0 , log a a = 1 。对数恒等式 a5. 对数的运算法则

log a N

=N。

如果 a > 0, a ≠ 1, N > 0, M > 0 ,有log a ( MN ) = log a M + log a Nlog a M = log a M log a N N m log a M n

log a n M m =

6. 对数换底公式：

log a N =

log m N log m a

( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 。

7. 两个常用的推论：

① log a b log b a = 1 , log a b log b c log c a = 1 。log a m b n = n log a b m ( a,b > 0 且均不为 1) 。

②

8. 对数函数的性质： a>1 0<a<1

y图 象

yx

o

1

o

1

x

(1)定义域： 0,+

指数函数与对数函数复习课

指数函数与对数函数复习课

复习目标：

1．整理指数函数和对数函数的概念，图象和性质

2．能够运用指数函数和对数函数的性质解决一些简单问题自主复习

请在下面空白地方填写自己整理的指数函数和对数函数的知识点和题型

知识归纳

1．概念

________________________________________叫做指数函数。

_____________________________________对数，记作_____________，其中a叫做对数的________，N叫做___________。

______________________________叫做常用对数，记为__________。

______________________________叫做自然对数，记为__________,e=________。 ________________________________________叫做对数函数。

指数函数与对数函数复习课

①ax N x logaN(a 0,a 1) 指数运算与对数运算互为逆运算

②指数函数y ax(a 0,a 1)与对数函数y logax(a 0,a 1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称

题型讲解

1 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质

（一）指数与指数函数

1．根式

（1）根式的概念

（2）．两个重要公式

①??

??????<-≥==)0()0(||a a a a a a a n n ；

②a a n n =)(（注意a 必须使n a 有意义）。 2．有理数指数幂

（1）幂的有关概念

①正数的正分数指数幂:0,,1)m

n a a m n N n *=>∈>、且;

②正数的负分数指数幂: 1

0,,1)m

n m

n a a m n N n a -*==>∈>、且

③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

注：分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的运算。

（2）有理数指数幂的性质

①a r a s =a r+s (a>0,r 、s ∈Q );

②(a r )s =a rs (a>0,r 、s ∈Q );

③(ab)r =a r b s (a>0,b>0,r ∈Q );.

3．指数函数的图象与性质

n 为奇数 n 为偶数

2

注：如图所示，是指数函数（1）y=a x ,（2）y=b x,（3）,y=c x （4）,y=d x 的图象，如何确定底数a,b,c,d 与1之

同底指数函数与对数函数的交点问题

x函数y?a与y?logax图像的交点问题解答如下： x一、a?1时方程a?logax的解

xx先求如图3所示曲线y?a与y?logax相切时a的值。设曲线y?a与y?logax相切

于点M（x0,x0），由于曲线y?a在点M处的切线斜率为1，

x0x???a?x0,?a0?x0,即?x?x0(a)'|?1??x?x0?alna?1 所以?x

?ax0?x0,11?则alna??1lna?x0?lna所以? 1e?,所以a?ee,此时x0?elna即。

以上说明，当a1?ee1x时，两条曲线y?a与y?logax相切于点M(e,e)。

因此有以下结论： ①当a1?ee,方程(*)无解（见图1所示）；

②当1?a?1ee，方程（*）有且只有两解（见图2所示）；

③当a1?ee，方程（*）有且只有一解（见图3所示）。

用计算器可算得

x二、0?a?1时方程a?logax的解

x先求如图5所示曲线y?a与y?logax相切时a的值。

x设曲线y?a与y?logax相切于点P，由对称性知，点P在直线y?x上，设P(x0,y0)。 x由于曲线y?logax(或y?a)在点P处切线的斜为?1， x0??a?x0,?(log

指数函数、对数函数图像交点问题

反函数是函数中一个重要的概念，它是从研究两个函数关系的角度产生的，函数的反函数，本身也是一个函数。在实际教学过程中，我们除了从定义的角度把反函数讲解清晰之外，譬如：从映射的角度可知,函数y=f(x)是定义域集合A到值域C的映射,它的反函数y=f-1（x）是集合C到集合A的映射，再结合函数的定义可知，只有一一映射的函数才存在反函数。我们还应该把握从抽象到直观，再从直观到抽象相结合的传授知识的基本原则，给学生的一个形象、直观的认识。正是基于这个原因，中学数学教材中引进了作为一种重要的函数和互为反函数的典型例子的指数函数、对数函数。

一、分析反函数的定义可知，原函数与反函数图像如果有交点，它们必然关于y=x对称；若原函数与直线y=x有交点，则反函数图像也必与y=x相交且交点重合。

为了验证上面的结论，我分别给了学生以下几个例子 （1）函数y(1,1)，且在y=x?2x?1与它的反函数y?12x?12图像只有一个交点

上。

1（2）函数

y?x3与它的反函数

y?x3的图像有三个交点

(?1,?1)、(0,0)、(1,1)，且都在y=x上。

（3）函数y?1x的反函数是它自身，故反比例函数与它的反函数

图像有无数个交点，其中有两

指数函数和对数函数·换底公式·例题

例1-6-38 log34·log48为

[ ]

·

log8m=log416

，

则

m

解 B 由已知有

[ ]

A．b＞a＞1 B．1＞a＞b＞0 C．a＞b＞1 D．1＞b＞a＞0 解 A 由已知不等式得

故选A．

[ ]

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故选A．

[ ]

A．[1，+∞] B．(-∞，1] C．(0，2) D．[1，

2)

2x-x2＞0得0＜x＜2．又t=2x-x2=-(x-1)2+1在[1，+∞)上是减函数，

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[ ]

A．m＞p＞n＞q B．n＞p＞m＞q C．m＞n＞p＞q D．m＞q＞p＞

n

例1-6-43 (1)若logac+logbc=0(c≠0)，则ab+c-abc=____； (2)log89=a，log35=b，则log102=____(用a，b表示)．

但c≠1，所以lga+lgb=0，所以ab=1，所以ab+c-abc=1．

例1-6-44 函数y=f(x)的定义域为[0，1]，则函数f[lg(x2-1)]的定义域是___

关于 高中基本函数 的教学讲义

预计课时：2 学生姓名： 指导教师：

（一）指数函数

指数：

(1) 规定：

① a0＝ (a≠0)； ② a-p＝ ； ③ a? n a m ( a ? 0 , m . (2) 运算性质：

rsr?sa① a?a? a ( ? 0 , (a>0, r、s?Q) rsr?sa)?,② ( a ( a ? 0 (a>0, r、s?Q) rrra?b)?bb?0,r、s?Q) ③ ( a ? ( a ? 0 , (a>0, r

mn注：上述性质对r、s?R均适用.

2．指数函数：

① 定义：函数y=a（a>0,a≠0）称为指数函数 1) 函数的定义域为 ； 2) 函数的值域为 ；

3) 当________时函数为x增大y减小，当_______时为x增大y增大函数.

② 函数图像：

a>1 0

4433221111-4-20-1246-4-2 0-1246 定义域 R 值域y＞0 在R上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都

指数函数与对数函数检测题

一、选择题： 1、已知

a?5或a?2 3?a?4

A、7、计算

B、

2?a?3或3?a?5

C、

2?a?5

D、

f(10x)?x，则f(5)?（ ）

5?lg2?2??lg5??2lg2?lg5等于（ ）

2A、0 B、1 C、2 D、3

A、10 B、5 C、lg10 D、lg5 2、对于a?0,a?1，下列说法中，正确的是（ ） ①若M108、已知a?log32，那么log38?2log36用a表示是（ ）

A、5a?2 B、a?2 C、3a?(1?a) D、3a?a22?N则logaM?logaN； ②若logaM?logaN则M?N则loga；

?1

③若logaM2?logaN2则M?N； ④若M?NM2?logaN2。

A、①②③④ B、①③ C、②④ D、② 3、设集合（ ）

A、? B、T C、S D、有限集 4、函数

?25，则10?x等于（ ） 1111A、 B、? C、 D、

55625502x10、若函数y?(a?5a?5)?a是指数函数，则有

对数函数与指数函数的导数(一)61教案示例

对数函数与指数函数的导数(一)·教案示例

目的要求

1．掌握函数lnx、logax的导数公式．

2．能用公式求对数函数的导数． 内容分析

1．教科书直接给出对数函数的导数公式，目的在于减轻学生理解上的负担，注重了知识的直观性，而降低了理论的严谨性．接着通过几道例题，介绍了对数函数求导公式的应用．

2．对于公式(logax)′＝

1x

logae，我们将它改为证明题，理由如下：

1x

为根据，

首先，可复习对数换底公式．其次，可用前一公式(lnx)′＝

这就成了熟悉和使用前一公式的一次机会．再次，这一公式有一个常数

因子logae即

．通过证明，可以加深对此公式的理解和记忆，学生lnalnx1

由logax＝这一步运算看到了的来历．这样对公式的结构特征

lnalna就加深了印象，于是先入为主，可以避免与公式(a)′＝alna及

x

x

1

a

x

dx

a

x

C中的“lna”的位置相混淆．

lna

3．本节重点是结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求导法则，应用对数函数

的求导公式，使学生能求简单的初等函数的导数．

给出对数函数的导数公式后，安排了两道例题，都是求对数函数的复合函数的导数．例1比较简单，不仅可让学生说出中间变量u＝2x2＋