数学选修矩阵与变换

选修4－2 矩阵与变换

第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法(对应学生用书(理)185～187页)

掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义．

?x＋2yx＋3y??3

1. 已知A＝??，B＝?

?a ?x－yx＋y?

x＋2y＝3，

4?

掌握恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换等常见的线性变换的几何表示及其几何意义，并能应用这几种常见的线性变换进行解题．

b?

?，若A＝B，求ax＋by的值．

??x＋3y＝4，

解：∵ A＝B，∴ ?∴ x＝1，y＝1，a＝0，b＝2，则ax＋by＝0＋2＝2.

x－y＝a，??x＋y＝b，

2. 点(－1，k)在伸压变换矩阵?值．

解：?

?－m＝－2，?m＝2，??m0??－1?＝?－2?，?

?? 解得 ?????

?01?? k??－4???k＝－4.k＝－4.??

?m0?之下的对应点的坐标为(－2，－4)，求m、k的

?

?01?

3. 已知变换T是将平面内图形投影到直线y＝2x上的变换，求它所对应的矩阵． 解：将平面内图形投影到直线y＝2x上，即是将图形上任意一点(x，y)通过矩阵M作

?a＝1，?a0??x?＝?x?

b11 (1)行矩阵[a11 a12]与列矩阵 b 的乘法规则： 21

b11 [a11 a12] b21 a11a12 x0 的乘法规则： (2)二阶矩阵 与列向量 a21a22 y0

a11 a12 x0 ＝ a11×x0＋a12×y0 . a21a22 y0 a21×x0＋a22×y0

(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：

a11 a12 b11 b12 ＝ a21a22 b21b22

a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22 a21×b11＋a22×b21 a21×b12＋a22×b22

(4)(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.

一般地两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算．

2．常见的平面变换 恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、投影变换、切变变换六个变换．

3．逆变换与逆矩阵

(1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称AB称为A

(2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB

§2.1矩阵表示的变换

教学目标:

一、知识与技能：

了解数学实验研究方法，理解切变换的几何意义；初步运用矩阵所表示的变换研究问题。 二、方法与过程

回顾上一章五种特殊的线性变换×历欣赏、画图、观察、动手操作、验证等过程，发现矩阵所表示变换的几何性质。

三、情感、态度与价值观

形成解决问题的策略和方法，体会一他人合作的重要性，获得解决问题的经验，体验探索 的乐趣。

教学重点:矩阵所表示变换的几何性质探究 教学难点：矩阵所表示变换的几何性质的理论证明 教学过程 一、复习引入： 1、基本概念

（1）二阶矩阵：由四个数a，b，c，d排成的正方形

数表???ab??00????称为二阶矩阵。特别地，称二阶矩阵为零????cd??00??10??记为E2。 ?为二阶单位矩阵，01???x??y?矩阵，简记为0。称二阶矩阵??（2）向量：向量（x,y）是一对有序数对，x,y叫做它的两个分量，且称????为列向量，（x,y）为行向量。同时，向量、点以及有序实数对三者不加区别。 2、败类特殊线性变换及其二阶矩阵 （1）线性变换

?x`?ax?by在平面直角坐标系中，把形如?`（其中a，b，c，d为常数）的几何变换叫

y?cx?dy?做线性变换。

（2）旋转

1 ?1．已知A＝??6

5?2?

?，求A的特征值．

?λ－1 －5?

解 A的特征多项式f(λ)＝??

? －6 λ－2?

＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 故A的特征值为7和－4.

?1 －1?1 2－2?，求矩阵AB. －2?，矩阵B的逆矩阵B1＝?2．(2016·江苏)已知矩阵A＝?0?????0 2?

1

1

221

4 －－

解 B＝(B1)1＝22＝.

1

010

2 22

????????????????1 2?

∴AB＝??·

?0 －2??

3．已知矩阵M＝?

5???1

＝?4?. ???1

?0 －1?0 ?2?1

14

?1 ?3 ?1?，β＝? 0?，求M(2α＋4β)． ，α＝?????

?2?4??－3?

2?

?2?? 0?＝? 2?，

解 2α＋4β＝??＋????

?4??－12??－8?

M(2α＋4β)＝?

?1 ?3

2?? 2??－14????＝??. 4??－8??－26?

1??4．已知矩阵A将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是??，求矩阵A. ?1?

解 设A＝?

?a ?c

d?

b?

?，由?

?a ?c ?2?， ＝?????

线性变换及其矩阵

§1.2 线性变换及其矩阵

在讲线性空间之前我们说：“空间”是定义一些结构的能够容纳运动的对象集合，而变换则规定了对应空间的运动。由于变换的存在使得线性空间研究由静态的量的研究转化为了动态的元素之间关系的研究。那么，线性空间中的变换是如何定义的呢？它的实质又是什么呢？在本节中，我们将主要解决这一问题。

在开始定义线性变换之前，我们首先来回顾一下线性系统的定义： 线性系统的一个基本特征就是其模型方程具有线性属性即满足叠加原理。叠加原理是说：若线性系统的数学描述T（T看作是信号空间上的变换）,则对任意两个输入信号x和y以及任意两个非零常数c1和c2，下述关系式满足：

部请勿

一、 线性变换

资

下面，我们给出一般线性空间上的线性变换的定义

料

T(c1x+c2y)=c1Tx+c2Ty

1. 线性变换及其性质

内

设V是数域K上的线性空间, T是V上的变换，若T满足：对

x,y∈V, k,l∈K，T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)，则称T是V上的线性变换。

那么线性变换具有什么性质呢？我们来看一下。 线性变换的性质：

(1) Tθ=T(0x+0y)=0(Tx)+0(Ty)=θ

(2) T( x)=T(( 1)x+0y)=( 1)(Tx)+0(T

2020年全国高考理科数学试题分类汇编

19：变换与矩阵、极限

一、选择题

1 ．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）展开式

为ad-bc

的行列式

是

（

） A ．

a b

d c

B ．

a c

b d

C ．

a d

b c

D ．

b a d c

【答案】B 二、填空题

2 ．（2013年高考上海卷（理））若2

21

1x

x x y y y

=--,则______x y +=

【答案】0x y +=.

三、解答题（每题10分，共30分）

3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）

试题（纯WORD 版））矩阵与变换

已知直线:1l ax y +=在矩阵

1201A ??=????对应的变换作用下

变为直线':1l x by +=. (Ⅰ)求实数,a b 的值;

(Ⅱ)若点00(,)p x y 在直线上,且00

00x x A y y ????= ? ?????

,求点p 的坐标. 【答案】解:(Ⅰ)设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''

由12201x x x y y y y '+????????== ? ??? ?'????????,得2x x y y y '=+??'=?

又点(,)M x y ''

第3章

线性方程组

一、高斯—若尔当消元法 二、向量组的线性相关性 三、向量组的秩 四、线性方程组解的判定 五、线性方程组解的结构首页 上 页 下 页 尾 页

第一节 高斯—若尔当消元法

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方程组 AX b a11 a21 其中 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 ,X , b x b amn n m

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 就是 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 首页 上 页 下 页 尾 页

齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零) x1 x2 X x n

为AX = b的解： AX =

石家庄经济学院本科生毕业论文

摘 要

在数学中矩阵最早来源于方程组的系数及常数所构成的方阵，现在矩阵是线性代数最基本也是最重要的概念之一。在线性代数及其许多的问题中都能看到矩阵的身影，它能把抽象的问题用矩阵表示出来，通过对矩阵进行计算得出结果。作为矩阵的基础及核心，矩阵的初等变换及应用是非常重要的，它能够把各种复杂的矩阵转化成我们需要的矩阵形式，从而使计算变得更加的简便。

本文总结了线性变换在线性代数、初等数论、通信、经济、生物遗传等方面的应用。

关键词：矩阵；初等变换；标准型；逆矩阵；标准型；秩；方程组

ABSTRACT

Matrix derived from the first phalanx of the coefficients and constants of the equations in mathematics, now matrix is the most fundamental and important concepts of linear algebra, in linear algebra and many other questions can be seen the figure of the matri

第3章

线性方程组

一、高斯—若尔当消元法 二、向量组的线性相关性 三、向量组的秩 四、线性方程组解的判定 五、线性方程组解的结构首页 上 页 下 页 尾 页

第一节 高斯—若尔当消元法

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方程组 AX b a11 a21 其中 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 ,X , b x b amn n m

a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 就是 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 首页 上 页 下 页 尾 页

齐次方程组：AX = 0; 非齐次方程组：AX = b, b 0 (b中至少有一分量不为零) x1 x2 X x n

为AX = b的解： AX =

矩阵的初等变换及其应用
王丹




矩阵的初等变换及其应用

摘 要
矩阵的初等变换是研究矩阵的一种重要手段，是线性代数中应用的核心。本文简单介绍了与矩阵相关的一些概念和性质，以此为基础，求矩阵的秩、判断矩阵是否可逆后求逆矩阵、求方程组的基础解系、求特征值和特征向量、化二次型为标准形等等，并举例说明矩阵的初等变换在以上的应用中是如何发挥作用的。
关键词：矩阵，初等变换，应用
































The elementary transformation of matrix and its applications


Abstract
Elementary transformation matrix is an important means of Matrix is the core linear algebra applications. This article briefly describes some of the concepts and properties associated with the matrix as a basis, the rank of a matrix to determine whether a matrix is reversible after