空间向量证明线面平行
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线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容,必有一个证明题;重点考察:平行与垂直(线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等),我们现在对线面平行这一方面作如下探讨:
方法一:中位线型:找平行线。
例1、如图⑴,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中,点E是PD的中点.求证:PB//平面AEC
方法二:构造平行四边形,找平行线
AE//平面DCF.
分析:过点E作EG//AD交FC于G, DG就是平面AEGD
与平面DCF的交线,那么只要证明AE//DG即可。
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交,BE//CF,求证:
方法三:作辅助面使两个平面是平行, 即:作平行平面,使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷,在四棱锥O ABCD中,底面ABCD为菱形, M为OA的中点,N为BC的中点,证明:直线MN‖平面OCD
分析::取OB中点E,连接ME,NE,只需证平面MEN平面OCD。 方法四:利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上,且AM=FN. 求证:MN‖平面BCE.
如图⑷
线面平行证明的常用方法
线面平行证明的常用方法 张磊
立体几何在高考解答题中每年是必考内容,必有一个证明题;重点考察:平行与垂直(线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等),我们现在对线面平行这一方面作如下探讨:
方法一:中位线型:找平行线。
例1、如图⑴,在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中,点E是PD的中点.求证:PB//平面AEC
方法二:构造平行四边形,找平行线
AE//平面DCF.
分析:过点E作EG//AD交FC于G, DG就是平面AEGD
与平面DCF的交线,那么只要证明AE//DG即可。
例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交,BE//CF,求证:
方法三:作辅助面使两个平面是平行, 即:作平行平面,使得过所证直线作与已
知平面平行的平面
例3、如图⑷,在四棱锥O ABCD中,底面ABCD为菱形, M为OA的中点,N为BC的中点,证明:直线MN‖平面OCD
分析::取OB中点E,连接ME,NE,只需证平面MEN平面OCD。 方法四:利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。
例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上,且AM=FN. 求证:MN‖平面BCE.
如图⑷
空间几何平行与垂直证明 - 图文
空间几何平行与垂直证明 线面平行
方法一:中点模型法
例:1.已知在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形, E为PC的中点. 求证:PA//平面BDE P D A
练习:
1.三棱锥P_ABC中,PA?AB?AC,?BAC?120?,PA?平面ABC, 点E、F 分别为线段PC、BC的中点,
(1)判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由; (2)求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B
ECBPEAFC2.如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD.DB平分∠ADC,E为PC的中点,AD=CD.
(1)证明:PA∥平面BDE; (2)证明:AC⊥平面PBD.
3.已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为
A AB,BC,CD,DA的中点.
求证:AC//平面EFG. HE
DG
B FC
4.已知空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证:EF //平面BGH. A
H E
D G BF
方法二:平行四边形法
例:1.已知在四棱锥P-ABCD中,ABCD为平行四边形,E为P
空间几何—平行垂直证明(高一)
空间几何平行垂直证明专题训练
? 知识点讲解
一、“平行关系”常见证明方法 (一)直线与直线平行的证明
1) 利用某些平面图形的特性:如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质
3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b
平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理:
如果一条直线与一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。
a∥?a??β
a b
?a∥bα
????b5)利用平面与平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
6)利用直线与平面垂直的性质定理: 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。
a?? b???a∥b7)利用平面内直线与直线垂直的性质:
a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8)利用定义:在同一个平面内且两条直线没有公共点
(二)直线与平面平行的证明
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1) 利用直线与平
空间向量与平行关系练习题
课时作业(十八)
[学业水平层次]
一、选择题
1.l1的方向向量为v1=(1,2,3),l2的方向向量v2=(λ,4,6),若l1∥l2,则λ=( )
A.1 B.2 C.3 D.4 12
【解析】 ∵l1∥l2,∴v1∥v2,则λ=4,∴λ=2. 【答案】 B
→→→
2.若AB=λCD+μCE,则直线AB与平面CDE的位置关系是
( )
A.相交 C.在平面内
B.平行
D.平行或在平面内
→→→→→→
【解析】 ∵AB=λCD+μCE,∴AB、CD、CE共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.
【答案】 D
3.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是( )
A.(1,-1,1) 3??
C.?1,-3,2?
?
?
?
3??
??1,3,B.2? ?3??
D.?-1,3,-2?
?
?
?
→?1?
??-1,4,-【解析】 对于B,AP=2,
→1??
?-1,4,-?=0, 则n·AP=(3,1,2)·2
?
?
→3??
∴n⊥AP,则点P?1,3,2?在平面α内.
?
?
【答案】 B
4.已知直线l的方向向量是a=(3,2,1),平面α的法向量
线面平行与面面平行(教案)
线面平行与面面平行(教案)
§50. 线面平行与面面平行(教案)
一、复习目标
1、掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理,并能运用这些知识进行论证或解题.
2、理解线线平行,线面平行,面面平行之间的关系,能进行三者之间的转化.
二、课前预习
1、若直线l∥平面 ,则下列命题中,正确的是( )
A、l平行于 内的所有直线 B、l平行于过l的平面与 的交线
C、l平行于 内的任意直线 D、l平行于 内的唯一确定的直线 解:B
2、 、 表示平面,a、b表示直线,则a∥ 的充分条件是( )
A、 ⊥ ,且a⊥ B、 ∩ =b,且a∥b C、a∥b,且b∥ D、 ∥ ,且a 解:D
3、已知a、b为异面直线,且a⊥ ,b⊥ ,则平面 与平面 的位置关系是
A、 ∥ B、 与 相交 C、 与 重合 D、 与 关系不确定 解:B
4、已知直线a、b,平面α、β、γ,有下面四个命题
①若a⊥α,a⊥β,则α∥β.②若a∥α,b∥β,a∥β,a∥b,则α∥β. ③若α∥γ,β∥γ,则α∥β④若α∩γ=a.β∩γ=b且a∥b,则α∥β. 其中正确的命题是 ( )
A、①与② B、①与
线面平行与面面平行(教案)
线面平行与面面平行(教案)
§50. 线面平行与面面平行(教案)
一、复习目标
1、掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理,并能运用这些知识进行论证或解题.
2、理解线线平行,线面平行,面面平行之间的关系,能进行三者之间的转化.
二、课前预习
1、若直线l∥平面 ,则下列命题中,正确的是( )
A、l平行于 内的所有直线 B、l平行于过l的平面与 的交线
C、l平行于 内的任意直线 D、l平行于 内的唯一确定的直线 解:B
2、 、 表示平面,a、b表示直线,则a∥ 的充分条件是( )
A、 ⊥ ,且a⊥ B、 ∩ =b,且a∥b C、a∥b,且b∥ D、 ∥ ,且a 解:D
3、已知a、b为异面直线,且a⊥ ,b⊥ ,则平面 与平面 的位置关系是
A、 ∥ B、 与 相交 C、 与 重合 D、 与 关系不确定 解:B
4、已知直线a、b,平面α、β、γ,有下面四个命题
①若a⊥α,a⊥β,则α∥β.②若a∥α,b∥β,a∥β,a∥b,则α∥β. ③若α∥γ,β∥γ,则α∥β④若α∩γ=a.β∩γ=b且a∥b,则α∥β. 其中正确的命题是 ( )
A、①与② B、①与
怎样证明线段成比例
怎样证明线段成比例
【知识要点】
本章节中,所要介绍的线段成比例的证明方法,主要有以下几种:
(1)利用相似三角形的对应边成比例法证。思路是:把待证的四条线段视为两个三角形的边,从而把问题转化为证两个三角形相似。
(2)用等线代换法证:若所要证的比例式中的线段不是两个三角形的边,可把比例式中的线段换成与它相等的线段,这四条线段都在两个三角形中,证这两个三角形相似。 (3)用等比代换法去证:若a,b,c,d是四条线段,欲证
ab?cd,可先证得
ab?ef(e,f是两条线段)然后证
ef?cd,这里把
ef叫做中间比。
【典型例题】
例1 如图,在?ABC中,D是BC的中点,E是AC上一点,连DE并延长交BA延长线于F,且ED=FE,AD∥FD交BC于G,DH∥BA交AC于H,求证:GD:CD=DH:FB。
A 3
E 2 H 1 C
F
B G D
例2 如图,已知Rt?ABC中,?ACB?90?,CD?AB于D,E是BC的中点,连结ED并延长交CA的延长线于F,求证:
A 1 2 F E 3 B
P D
4 C
C ACDF?BCCF。
B E 2 1 D 3 A F 例3 已知,如图,在?ABC中,AB=AC,AD是中线,
人教版立体几何线面平行
第1题. 已知 a, m, b,且m// ,求证:a//b.
答案:证明:
答案:证明:连结AF并延长交BC于M.连结PM,
m
m// m//a a//b.
a 同理 m//b
BFMFPEBFPEMF
,又由已知,∴.
FDFAEAFDEAFA
由平面几何知识可得EF//PM,又EF PBC,PM 平面PBC, ∴EF//平面PBC.
∵AD//BC,∴
第4题. 如图,长方体ABCD A1B1C1D1中,E1F1是平面A1C1上的线段,求证:E1F1//平面AC.
答案:证明:如图,分别在AB和上截取AE A1E1,DF D1F1,连接EE1,FF1,EF.
第2题. 已知: b,a// ,a// ,则a与b的位置关系是(
A.a//b B.a b C.a,b相交但不垂直 D.a,b异面
答案:A.
第3题. 如图,已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点,E,F分别是PA,BD上的点且
∴A1E1平行且等于AE,D1F1平行且等于DF,
故四边形AEE1A1,DFF1D1为平行四边形.
∴EE1平行且等于AA1,FF1平行且等于DD1. ∵AA1平行且等于DD1,∴EE1平行且等于FF1,
四边形
线面平行的常用判断法
线面平行的常用判断法
空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容,也是高考考查的重点,下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下:
一、反证法
例1求证:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.(直线与平面平行的判定定理)
已知:a??,b??,a∥b,如图1. 求证:a∥?.
分析:要证明直线与平面平行,可以从直线与平面平行的定义入手,但从定义来看,必须说明直线与平面无公共点,这一点直接说明是困难的,但我们可以借助反正法来证明.
证明:假设直线a与平面?不平行,又∵a??,∴a下面只要说明a??A.
a
??A不可能即可.
∵a∥b,∴a,b可确定一平面,设为?. 又a??A, ∴A?a,A??.
b
A
?
图1
又b??,A??,
∴平面?与平面?中含有相同的元素直线b,以及不在直线b上的点A, 由公理2的推论知,平面?与平面?重合. ∴a??,这与已知a??相矛盾. ∴a二、判定定理法
例2 正方体AC1中,E、G分别为BC、C1D1的中点,求证:EG∥平面B1BDD1 分析:要证明EG∥平面B1BDD1,根据线面平行的判定定理,需在平面B1BDD1内找到一条与EG平行的直线,充分借助E、G为中点的