空间向量证明线面平行

线面平行证明的常用方法 张磊

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC

方法二：构造平行四边形，找平行线

AE//平面DCF.

分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已

知平面平行的平面

例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD

分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上，且AM=FN. 求证：MN‖平面BCE.

如图⑷

线面平行证明的常用方法 张磊

立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：

方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，点E是PD的中点.求证：PB//平面AEC

方法二：构造平行四边形，找平行线

AE//平面DCF.

分析：过点E作EG//AD交FC于G， DG就是平面AEGD

与平面DCF的交线，那么只要证明AE//DG即可。

例2、如图⑵, 平行四边形ABCD和梯形BEFC所在平面相交，BE//CF，求证：

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已

知平面平行的平面

例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD中，底面ABCD为菱形， M为OA的中点，N为BC的中点，证明：直线MN‖平面OCD

分析：：取OB中点E，连接ME，NE，只需证平面MEN平面OCD。 方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD和正方形ABEFAC和BF上，且AM=FN. 求证：MN‖平面BCE.

如图⑷

空间几何平行与垂直证明 线面平行

方法一：中点模型法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形， E为PC的中点. 求证：PA//平面BDE P D A

练习：

1.三棱锥P_ABC中，PA?AB?AC，?BAC?120?，PA?平面ABC， 点E、F 分别为线段PC、BC的中点，

（1）判断PB与平面AEF的位置关系并说明理由； （2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值。 B

ECBPEAFC2．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD.DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD＝CD.

(1)证明：PA∥平面BDE； (2)证明：AC⊥平面PBD.

3.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为

A AB,BC,CD,DA的中点.

求证：AC//平面EFG. HE

DG

B FC

4.已知空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点. 求证：EF //平面BGH. A

H E

D G BF

方法二：平行四边形法

例：1.已知在四棱锥P-ABCD中，ABCD为平行四边形，E为P

空间几何平行垂直证明专题训练

? 知识点讲解

一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明

1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质

3) 利用空间平行线的传递性:m//a,m//b?a//b

平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。

a∥?a??β

a b

?a∥bα

????b5）利用平面与平面平行的性质定理：

如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．

6）利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。

a?? b???a∥b7）利用平面内直线与直线垂直的性质：

a?//???????a??a//b????b??b?在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8）利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点

（二）直线与平面平行的证明

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1) 利用直线与平

课时作业(十八)

[学业水平层次]

一、选择题

1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4 12

【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则λ＝4，∴λ＝2. 【答案】 B

→→→

2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是

( )

A．相交 C．在平面内

B．平行

D．平行或在平面内

→→→→→→

【解析】 ∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．

【答案】 D

3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )

A．(1，－1,1) 3??

C.?1，－3，2?

?

?

?

3??

??1，3，B.2? ?3??

D.?－1，3，－2?

?

?

?

→?1?

??－1，4，－【解析】 对于B，AP＝2，

→1??

?－1，4，－?＝0， 则n·AP＝(3,1,2)·2

?

?

→3??

∴n⊥AP，则点P?1，3，2?在平面α内．

?

?

【答案】 B

4．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量

线面平行与面面平行(教案)

§50. 线面平行与面面平行（教案）

一、复习目标

1、掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题.

2、理解线线平行，线面平行，面面平行之间的关系，能进行三者之间的转化.

二、课前预习

1、若直线l∥平面 ，则下列命题中，正确的是（ ）

A、l平行于 内的所有直线 B、l平行于过l的平面与 的交线

C、l平行于 内的任意直线 D、l平行于 内的唯一确定的直线 解：B

2、 、 表示平面，a、b表示直线，则a∥ 的充分条件是（ ）

A、 ⊥ ，且a⊥ B、 ∩ =b，且a∥b C、a∥b，且b∥ D、 ∥ ，且a 解：D

3、已知a、b为异面直线，且a⊥ ,b⊥ ,则平面 与平面 的位置关系是

A、 ∥ B、 与 相交 C、 与 重合 D、 与 关系不确定 解：B

4、已知直线a、b，平面α、β、γ，有下面四个命题

①若a⊥α，a⊥β，则α∥β.②若a∥α，b∥β，a∥β，a∥b，则α∥β． ③若α∥γ，β∥γ，则α∥β④若α∩γ=a.β∩γ=b且a∥b，则α∥β． 其中正确的命题是 （ ）

A、①与② B、①与

线面平行与面面平行(教案)

§50. 线面平行与面面平行（教案）

一、复习目标

1、掌握直线与平面、平面与平面平行的定义、判定定理、性质定理，并能运用这些知识进行论证或解题.

2、理解线线平行，线面平行，面面平行之间的关系，能进行三者之间的转化.

二、课前预习

1、若直线l∥平面 ，则下列命题中，正确的是（ ）

A、l平行于 内的所有直线 B、l平行于过l的平面与 的交线

C、l平行于 内的任意直线 D、l平行于 内的唯一确定的直线 解：B

2、 、 表示平面，a、b表示直线，则a∥ 的充分条件是（ ）

A、 ⊥ ，且a⊥ B、 ∩ =b，且a∥b C、a∥b，且b∥ D、 ∥ ，且a 解：D

3、已知a、b为异面直线，且a⊥ ,b⊥ ,则平面 与平面 的位置关系是

A、 ∥ B、 与 相交 C、 与 重合 D、 与 关系不确定 解：B

4、已知直线a、b，平面α、β、γ，有下面四个命题

①若a⊥α，a⊥β，则α∥β.②若a∥α，b∥β，a∥β，a∥b，则α∥β． ③若α∥γ，β∥γ，则α∥β④若α∩γ=a.β∩γ=b且a∥b，则α∥β． 其中正确的命题是 （ ）

A、①与② B、①与

怎样证明线段成比例

【知识要点】

本章节中，所要介绍的线段成比例的证明方法，主要有以下几种：

（1）利用相似三角形的对应边成比例法证。思路是：把待证的四条线段视为两个三角形的边，从而把问题转化为证两个三角形相似。

（2）用等线代换法证：若所要证的比例式中的线段不是两个三角形的边，可把比例式中的线段换成与它相等的线段，这四条线段都在两个三角形中，证这两个三角形相似。 （3）用等比代换法去证：若a,b,c,d是四条线段，欲证

ab?cd，可先证得

ab?ef（e,f是两条线段）然后证

ef?cd，这里把

ef叫做中间比。

【典型例题】

例1 如图，在?ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，连DE并延长交BA延长线于F，且ED=FE，AD∥FD交BC于G，DH∥BA交AC于H，求证：GD:CD=DH:FB。

A 3

E 2 H 1 C

F

B G D

例2 如图，已知Rt?ABC中，?ACB?90?,CD?AB于D，E是BC的中点，连结ED并延长交CA的延长线于F，求证：

A 1 2 F E 3 B

P D

4 C

C ACDF?BCCF。

B E 2 1 D 3 A F 例3 已知，如图，在?ABC中，AB=AC，AD是中线，

第1题. 已知 a， m， b，且m// ，求证：a//b．

答案：证明：

答案：证明：连结AF并延长交BC于M．连结PM，

m

m// m//a a//b．

a 同理 m//b

BFMFPEBFPEMF

，又由已知，∴．

FDFAEAFDEAFA

由平面几何知识可得EF//PM，又EF PBC，PM 平面PBC， ∴EF//平面PBC．

∵AD//BC，∴

第4题. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E1F1是平面A1C1上的线段，求证：E1F1//平面AC．

答案：证明：如图，分别在AB和上截取AE A1E1，DF D1F1，连接EE1，FF1，EF．

第2题. 已知： b，a// ，a// ，则a与b的位置关系是（

Ａ．a//b Ｂ．a b Ｃ．a，b相交但不垂直 Ｄ．a，b异面

答案：Ａ．

第3题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且

∴A1E1平行且等于AE，D1F1平行且等于DF，

故四边形AEE1A1，DFF1D1为平行四边形．

∴EE1平行且等于AA1，FF1平行且等于DD1． ∵AA1平行且等于DD1，∴EE1平行且等于FF1，

四边形

线面平行的常用判断法

空间直线与平面平行问题是立体几何的一个重要内容，也是高考考查的重点，下面就常见的线面平行的判定方法介绍如下：

一、反证法

例１求证：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．（直线与平面平行的判定定理）

已知：a??,b??,a∥b，如图１． 求证：a∥?．

分析：要证明直线与平面平行，可以从直线与平面平行的定义入手，但从定义来看，必须说明直线与平面无公共点，这一点直接说明是困难的，但我们可以借助反正法来证明．

证明：假设直线a与平面?不平行，又∵a??，∴a下面只要说明a??A．

a

??A不可能即可．

∵a∥b，∴a，b可确定一平面，设为?． 又a??A， ∴A?a,A??．

b

A

?

图1

又b??,A??，

∴平面?与平面?中含有相同的元素直线b，以及不在直线b上的点Ａ， 由公理２的推论知，平面?与平面?重合． ∴a??，这与已知a??相矛盾． ∴a二、判定定理法

例２ 正方体AC1中，Ｅ、G分别为BC、C1D1的中点，求证：EG∥平面B1BDD1 分析：要证明EG∥平面B1BDD1，根据线面平行的判定定理，需在平面B1BDD1内找到一条与EG平行的直线，充分借助Ｅ、G为中点的