离散数学第5章part 3

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第五章 代数系统基础以前学过许多代数： 初等代数、高等代数(线性代数)、集合代数、命题代数等等 它们研究的对象分别是整数、有理数、实数、矩阵、集合、 命题等等，以及这些对象上的各种运算。 我们发现不同对象上的运算，可能有共同的性质。例如， 集合代数与命题代数，尽管研究的对象不同，但是它们的 性质完全一样，都有对合律、交换律、结合律、分配律、 吸收律、底-摩根定律、同一律、零律、互补律等。 这些促使我们将代数的研究引导到更高的层次—即抛开具体 对象的代数—抽象代数—研究代数的共性。

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代数系统基础就专业知识而言，计算机学科中要培养学生三个能力： 理论 抽象 设计 理论：就是计算机科学中各种理论课。 抽象：要把实际问题抽象成数学模型(数学系统)。 设计：系统设计、程序设计。 确定数学模型，需要了解有哪些代数结构(系统)。

另外，抽象代数可以培养学生的抽象逻辑思维能力。本章主要讨论：代数结构(系统)的概念，运算的性质、代数 结构(系统)的同构、半群、独异点、群、环、域等。

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代数系统基础 代数系统的定义：X是非空集合，X上的m个运算f1, f2,…fm, 构成代数系统U,记作U= 。 定义：如果两个代数系统有

离散数学第8章 函数

CHAPTER Eight

离散数学Discrete Mathematics

6/2/2013 9:02 PM

Discrete Math. , Chen Chen

离散数学第8章 函数

CHAPTER Eight

第八章 函数§8.1 函数的定义与性质

§8.2 函数的复合与反函数§8.3 双射函数与集合的基数§8.4一个电话系统的描述实例

6/2/2013 9:02 PM

Discrete Math. , Chen Chen

离散数学第8章 函数

§8.1 函数的定义与性质

CHAPTER Eight

定义8.1 设 F 为二元关系，若 x domF 都存在唯一的 y ranF 使xFy 成立, 则称F为函数。 对于函数F, 如果 xFy,则记y =F(x),并称y为 F 在 x 的值。 例8.1 设F1={<x1,y1>, <x2,y1>, <x3,y2>},F2={<x1,y1>, <x1,y2>}. 则F1是函数， 而F2不是函数。

定义8.2 设F、G是函数，则 F=G F G∧ G F.

注：如果F=G,那么它们满足：(1

离散数学第8章 函数

CHAPTER Eight

离散数学Discrete Mathematics

6/2/2013 9:02 PM

Discrete Math. , Chen Chen

离散数学第8章 函数

CHAPTER Eight

第八章 函数§8.1 函数的定义与性质

§8.2 函数的复合与反函数§8.3 双射函数与集合的基数§8.4一个电话系统的描述实例

6/2/2013 9:02 PM

Discrete Math. , Chen Chen

离散数学第8章 函数

§8.1 函数的定义与性质

CHAPTER Eight

定义8.1 设 F 为二元关系，若 x domF 都存在唯一的 y ranF 使xFy 成立, 则称F为函数。 对于函数F, 如果 xFy,则记y =F(x),并称y为 F 在 x 的值。 例8.1 设F1={<x1,y1>, <x2,y1>, <x3,y2>},F2={<x1,y1>, <x1,y2>}. 则F1是函数， 而F2不是函数。

定义8.2 设F、G是函数，则 F=G F G∧ G F.

注：如果F=G,那么它们满足：(1

习题9

1. 设G是一个(n，m)简单图。证明：，等号成立当且仅当G是完全图。

证明：（1）先证结论：

因为G是简单图，所以G的结点度上限 max(d(v)) ≤ n-1, G图的总点度上限为 max(Σ(d(v)) ≤ n﹒max(d(v)) ≤ n(n-1) 。根据握手定理，G图边的上限为 max(m) ≤ n(n-1)/2,所以。 （2） =〉G是完全图 因为G具有上限边数，假设有结点的点度小于n-1,那么G的总度数就小于上限值，边数就小于上限值，与条件矛盾。所以，G的每个结点的点度都为n-1，G为完全图。 G是完全图 =〉 因为G是完全图，所以每个结点的点度为n-1, 总度数为n(n-1)，根据握手定理，图G的边数 。■

2. 设G是一个（n，n+1）的无向图，证明G中存在顶点u，d（u）≥3。

证明：反证法，假设,则G的总点度上限为max(Σ(d(u)) ≤2 n，根据握手定理，图边的上限为max(m) ≤ 2n/2=n。与题设m = n+1，矛盾。因此，G中存在顶点u，d（u）≥3。■

3．确定下面的序列中哪些是图的序列，若是图的序列，画出一个对应的图来: （1）（3，2，0，1，5）； （2）

第10章 图

第10章习题答案

1.解 (1)设G有m条边，由握手定理得2m＝?d(v)＝2＋2＋3＋3＋4＝14，所以G的边数7条。

v?V(2)由于这两个序列中有奇数个是奇数，由握手定理的推论知，它们都不能成为图的度数列。 (3) 由握手定理得?d(v)＝2m＝24，度数为3的结点有6个占去18度，还有6度由其它结点占有，

v?V其余结点的度数可为0、1、2，当均为2时所用结点数最少，所以应由3个结点占有这6度，即图G中至多有9个结点。

2.证明 设v1、v2、?、vn表示任给的n个人，以v1、v2、?、vn为结点，当且仅当两人为朋友时其对应的结点之间连一条边，这样得到一个简单图G。由握手定理知

?d(v)＝3n必为偶数，从而n必为偶数。

kk?1n3. 解 由于非负整数列d＝(d1，d2，…，dn)是可图化的当且仅当?di≡0(mod 2)，所以(1)、(2)、

i?1n(3)、(5)能构成无向图的度数列。

(1)、(2)、(3)是可简单图化的。其对应的无向简单图如图所示。

(5)是不可简单图化的。若不然，存在无向图G以为1，3，3，3度数列，不妨设G中结点为v1、v2、

v3、v4，且d(v1)＝1，d(v2)＝d(v3)＝d

第1章 习题解答

习题1.1

1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴ 中国有四大发明。 ⑵ 计算机有空吗? ⑶ 不存在最大素数。 ⑷ 21+3＜5。

⑸ 老王是山东人或河北人。 ⑹ 2与3都是偶数。 ⑺ 小李在宿舍里。

⑻ 这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼ 请勿随地吐痰!

⑽ 圆的面积等于半径的平方乘以?。 ⑾ 只有6是偶数，3才能是2的倍数。 ⑿ 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴ 李辛与李末是兄弟。

⑵ 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶ 天正在下雨或湿度很高。 ⑷ 刘英与李进上山。

⑸ 王强与刘威都学过法语。

⑹ 如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻ 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题；

⑵ p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶ p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷ p：刘英上山；q：李进上山；

⑸ p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹ p：你看电影；q：我看

习题 2.1

1．将下列命题符号化。

(1) 4不是奇数。

解：设A(x)：x是奇数。a：4。

“4不是奇数。”符号化为：¬A(a)

(2) 2是偶数且是质数。

解：设A(x)：x是偶数。B(x)：x是质数。a：2。

“2是偶数且是质数。”符号化为：A(a)∧B(a)

(3) 老王是山东人或河北人。

解：设A(x)：x是山东人。B(x)：x是河北人。a：老王。

“老王是山东人或河北人。”符号化为：A(a)B(a)

(4) 2与3都是偶数。

解：设A(x)：x是偶数。a：2，b：3。

“2与3都是偶数。”符号化为：A(a)∧A(b)

(5) 5大于3。

解：设G(x,y)：x大于y。a：5。b：3。

“5大于3。”符号化为：G(a,b)

(6) 若m是奇数，则2m不是奇数。

解：设A(x)：x是奇数。a：m。b：2m。

“若m是奇数，则2m不是奇数。”符号化为：A(a)→A(b)

(7) 直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

解：设C(x,y)：直线x平行于直线y。设D(x,y)：直线x相交于直线y。a：直线A。b：直线B。

“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。”符号化为：C(a,b) ¬D(x,y)

(8) 小王既聪明又用功，但身体不

离

散

数

学DsicetreMa temhticsa息信科学工程学院 与作制：者 永 政

蔺散离数学的展发

1世8以前纪 数学,本上是基究研离散对象的量和空间关系的科数 。学

之后因天文学,,理物的学展发如,星行道,轨牛三顿大学力定等研 律,极大地究推动了连续学(数以微积,分学物理方程数, 实复变、 数函为代论)的发展。表离 对散象的研则究处于滞停状态。2世030年纪代, 灵图提计出算的理机模型论——灵机图。这种模型 于实早制造际计算十机多,现年实的算计机的计算能,力 质上本和图机的灵计能力算样一 。由在于算机计内机,器字总是有限的长, 代表离它散数或其它的离散对象 ，此随因着计算科学机和术技迅猛的发展,散数学离就 显得要。重 信科学与息程学院工 2

为什要学离么数散 学

计算机求解的本模式基： 实际问题 数是建模 学 算 设法 计编程现 实离散学数数学建模打为知下基础识、算法为计设提 供体指具导 离散学数结实构际上是通用的就抽象模式的的合， 告集你各种模式诉本的质特征它和们之的间系，关以 及选它用的们略；策诉告你哪些问题是可解的，些是哪当前 在图机模灵上型(最无)优解的哪，是可以些得 近似到/较解的优 简而。之言，散数学离的用就作在于

第1章 习题解答

习题1.1

1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴ 中国有四大发明。 ⑵ 计算机有空吗? ⑶ 不存在最大素数。 ⑷ 21+3＜5。

⑸ 老王是山东人或河北人。 ⑹ 2与3都是偶数。 ⑺ 小李在宿舍里。

⑻ 这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼ 请勿随地吐痰!

⑽ 圆的面积等于半径的平方乘以?。 ⑾ 只有6是偶数，3才能是2的倍数。 ⑿ 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。

解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。

2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴ 李辛与李末是兄弟。

⑵ 因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶ 天正在下雨或湿度很高。 ⑷ 刘英与李进上山。

⑸ 王强与刘威都学过法语。

⑹ 如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻ 除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题；

⑵ p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶ p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷ p：刘英上山；q：李进上山；

⑸ p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹ p：你看电影；q：我看

★ 形成性考核作业 ★

离散数学作业5

姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名： 离散数学图论部分形成性考核书面作业

本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第二次作业，大家要认真及时地完成图论部分的综合练习作业。

要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月5日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在05任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。

一、填空题

1．已知图G中有1个1度结点，2个2度结点，3个3度结点，4个4度结点，则G的边数是 15 ．

2．设给定图G(如右由图所示)，则图G的点割集是 {f,c}．

3．设G是一个图，结点集合为V，边集合为E，则 G的结点 度数之和 等于边数的两倍．

4．无向图G存在欧拉回路，当且仅当