缓和曲线曲率变化率

平曲线超高与缓和曲线

第24卷　第6期　　　　　　　　　　　　　辽　宁　交　通　科　技 5

平曲线超高与缓和曲线

孙爱民

(大连市公路管理处,大连116000)

(大连市交通规划勘察设计院,大连116031)

石　瑜　张福生

摘　要　本文对平曲线超高、缓和曲线长度的确定进行了简单的介绍,并对超高提出具体

设计方法。关键词　缓和曲线　超高　渐变率　缓和段

1　前言

公路几何线形是将路线平面、纵断面、横断面结

合在一起的三维立体线形,,路线总体的均衡连续性,当R1、L1、R2、L2唯一确定时, 1、 2、 4也将被确定,仅有 3可以根据lY2长度随机调整,但lY2又必须满足在其末端能够插入一段缓和曲线L2,使其既能在YH2处与圆曲线lY2相切,又能在HZ2处与THZ2相切,这就给设计工作带来较大难度,因此我们考虑暂不确定L2,而是根据lY2的长度及位置灵活调整L2长度,使其可能恰好在HZ2处与T

HZ2相切。

当R2确定时,过点GQ仅有一个圆与缓和曲线L1内侧相切,我们可确定此圆位置。

首先设定一平面直角坐标系,将ZH1点设为坐标原点,直线a方向设为x轴方向(如图3)。

汽车行驶的安全性、,还应考、,对于保证线形的顺适、流　　y′=(L1-LG)3/(6

关于缓和曲线的见解

我国公路与铁路均使用回旋线作为缓和曲线，回旋线的几何意

义是：曲线上任意点P的曲率半径ρ与该点至ZH的曲线长L成反比，曲线方程式为ρ=A2/L,即A=√Ls*R。其余曲线要素值有:圆曲线内移值P, 切线增量q, 切线长T, 回旋线在P点的偏角β；缓和曲线的计算式祥见5800《书3-公路与铁路施工测量程序》公路与铁路施工测量程序 (10022)，33-35页。以实例及图比较容易看懂。

所有线形按其形式可分直线、圆曲线、缓和曲线、单交点对称型曲线、单交点非对称型曲线、S型曲线、C型曲线、卵形曲线、凸型曲线、复曲线、回头曲线等。

缓和曲线根据设计给定参数方法的不同，可按交点法和线元法进行计算。 交点法与线元法都需要缓和曲线参数A（线元法一般给定缓和曲线长，则A=√（LS*R),),与圆曲线半径R，其余所需已知数据差异为：交点法需要已知1、JDn的桩号与坐标，2、JDn-1的坐标 ，3、JDn 的转角Δn或JDn+1的坐标。线元法（即积木法）需要已知1、ZH、HY、YH、HZ的桩号及坐标，2、走向方位角。实例：交点法给定参数形式如FX-5800公路高铁测量程序里面C匝道的参数数据，线元法给定参数形式如FX-5800公

平曲线超高与缓和曲线

第24卷　第6期　　　　　　　　　　　　　辽　宁　交　通　科　技 5

平曲线超高与缓和曲线

孙爱民

(大连市公路管理处,大连116000)

(大连市交通规划勘察设计院,大连116031)

石　瑜　张福生

摘　要　本文对平曲线超高、缓和曲线长度的确定进行了简单的介绍,并对超高提出具体

设计方法。关键词　缓和曲线　超高　渐变率　缓和段

1　前言

公路几何线形是将路线平面、纵断面、横断面结

合在一起的三维立体线形,,路线总体的均衡连续性,当R1、L1、R2、L2唯一确定时, 1、 2、 4也将被确定,仅有 3可以根据lY2长度随机调整,但lY2又必须满足在其末端能够插入一段缓和曲线L2,使其既能在YH2处与圆曲线lY2相切,又能在HZ2处与THZ2相切,这就给设计工作带来较大难度,因此我们考虑暂不确定L2,而是根据lY2的长度及位置灵活调整L2长度,使其可能恰好在HZ2处与T

HZ2相切。

当R2确定时,过点GQ仅有一个圆与缓和曲线L1内侧相切,我们可确定此圆位置。

首先设定一平面直角坐标系,将ZH1点设为坐标原点,直线a方向设为x轴方向(如图3)。

汽车行驶的安全性、,还应考、,对于保证线形的顺适、流　　y′=(L1-LG)3/(6

缓和曲线逐桩坐标计算（转载）

摘要：利用一缓和曲线算例，通过数学分析，推导出缓和曲线逐桩坐标计算公式，此公式可作为道路测设中的范例来运用，有很强的指导意义。 关键词：缓和曲线、公式、逐桩坐标 一、 引言

道路建设中，由于受地形或地质影响，经常需要改变线路方向，为满足行车要求，往往要用曲线把两条直线连接起来。曲线的构成形式无外乎圆曲线和缓和曲线，本文以河北省沿海高速某曲线段为例推导出缓和曲线的逐桩坐标计算公式，以方便图纸的审核，满足施工放样的需求。本公式具有良好的操作性，方便施工、提高精度，可作为道路测设中的范例运用。

二、公式推导 1 、实例数据

河北省沿海高速公路一缓和曲线（如图）： AB 段为缓和曲线段， A 为 ZH 点， B 为 HY 点， RB=800m ； A 点里程为 NK0+080 ，切线方位角为 θA=100 ° 00 ′ 24.1 ″，坐标为 XA=4355189.493,YA=476976.267 ； B 点里程为 NK0+158.125 ，切线方位角为 θB=102 ° 48 ′ 15.6 ″，坐标为 XB=4355174.669 ， YB=477052.964 ，推求此曲线段内任意点坐标。

2 、公式推导及实例计算

已知曲线半径R=6000，缓和曲线长度l0=280，交点JD27坐标及相邻方位角已在图中给出，ZH点里程为DK2+100。请计算： 1、曲线要素中的切线长T、曲线长L、外矢距E； 2、HY、QZ、YH、HZ的里程；

3、ZH点坐标及其左边桩3米的坐标； 4、DK2+180的坐标及右边桩2米的坐标； 5、DK2+660的坐标及右边桩35米的坐标。

永州(DK2+100)HYHZYHQZ.080-17-52=2α=232-附公式：

m为缓和曲线切垂距，m= l0/2- l03/（240R2）

p为缓和曲线内移距，P= l02/（24R）- l04/（2688R3） 缓和曲线方程式：

X=h - h5/（40R2l2）+ h9/（3456 R4l4）

Y=h3/（6Rl）- h7/（336 R3l3）+ h11/（42240 R5l5）

解：

1、转向角α=α2-α1=7°18′05.9″

切线长T=（R+P）tg（α/2）+m = 522.863

曲线长L=（Rαπ）/180+l0= 1044.626 外矢距E=（R+P）sec（α/2）-R=1

CAD中画缓和曲线，首先复制本文☆后面的源程序保存至cad安装目录的SUPPORT文件夹，保存类型为.lsp 可以随便复制一个SUPPORT文件夹内的lsp文件，然后替换本文的程序。 打开CAD后，输入appload回车，找到你保存的缓和曲线lsp程序，点击加载，然后就可以画缓和曲线了。 首先，要画出缓和曲线的两条直线，然后输入HH回车，按提示完成缓和曲线。 注：本程序，缓和曲线段拟合长度为0.4m，如需更改拟合长度，将程序的第8行(repeat (FIX(/ Ls 0.4))及9行(setq l (+ l (/ Ls (FIX(/ Ls 0.4))))中的0.4修改即可。 ☆

;;多义线摹拟缓和曲线。

;;输入起止直线、半径、缓和曲线长或设计车速。 ;;命令：HH

(defun com_p() (setq l 0)

(command \ (command \ (repeat (FIX(/ Ls 0.4))

(setq l (+ l (/ Ls (FIX(/ Ls 0.4))))

x (+ (- l (/ (* l l l l l) 40 C C)) (/ (*

交点里程

交点坐标 X Y

半径(R)

缓和曲线长(L0)

偏转方位角(а ) 度 分 秒

451877.5186

4051455.798X

513374.681Y

7000HZ点里程

540HZ点坐标 X

27Y

54偏向

34.4187圆曲线长

编号

ZH点里程

ZH点坐标

449867.672曲线任意点里程

4053464.152

513452.1343

453817.468

4049717.294左边桩坐标

512366.1711

1

2869.796右边桩坐标

中桩坐标 X Y 左边长

X

Y

右边长

X

DK448+000.000 DK448+050.000 DK448+100.000 DK448+150.000 DK448+200.000 DK448+250.000 DK448+300.000 DK448+350.000 DK448+400.000 DK448+450.000 DK448+500.000 DK448+550.000 DK448+600.000 DK448+650.000 DK448+700.000 DK448+750.000 DK448+800.000 DK448+850.000 DK448+900.000 DK448+950.000 DK449+000.000

4055

本文为圆曲线和缓和曲线的推算公式,包括直线、缓和曲线、圆曲线上的坐标推算

圆曲线和缓和曲线坐标推算公式

一、直线上的坐标推算

Xi＝Xm Licosa0 Y＝Y Lsinami0 i

式中：Xm、Ym——直线段起点M坐标

Li——直线段上任意点i到线路起点M的距离 a0——直线段起点M到JD1的方位角 二、圆曲线上任一点的坐标推算

①、圆曲线上任一点i相对应的圆心角： i＝

180

Li R

式中：Li——圆曲线上任一点i离开ZY或YZ点的弧长

Xi＝Rsin i

②、圆曲线上任一点i的直角坐标： （可不计算）.

Y＝R（1 cos ）i i

本文为圆曲线和缓和曲线的推算公式,包括直线、缓和曲线、圆曲线上的坐标推算

③、圆曲线ZY或YZ点到任一点i的偏角： i＝

i

2

＝

90

Li R

④、圆曲线ZY或YZ点到任一点i的弦长：Ci＝2Rsin(

i

2

) 2Rsin( i)

⑤、圆曲线ZY或YZ点到任一点i的弦长的方位角：ai＝azy jd或yz jd i

Xi＝XZY或YZ Cicosai

⑥、所以圆曲线上任意点i的坐标为：

Y＝Y CsinaiiZY或YZ i

例题：

已知一段圆曲线,R=3500m，Ls＝553.1m，交点里程K50+154.734，

高等院校非数学类本科数学课程

大 学 数 学 (一 )—— 一元微积分学第二十讲 一元微积分的应用

—— 相关变化率、曲率、经济应用

一、 相关变化率 .在实际问题中，往往是同时出现几个变量. 变量

之间有确定的关系，并且它们都是另外某一个变量的函数( 例如，都是时间 t 的函数. ) 从它们对这另一个 变量的变化率之间的关系出发，由已知的一个或几个 变量的变化率求出其他变量的未知的变化率，就是所 谓的相关变化率问题.

例1 解

加热一金属圆板 , 其半径以 0.01 cm/秒的速度均匀增加 . 问当半径为 200 cm 时, 圆板面积的增加率为多 少?

设圆板的半径为 x , 面积为 y, 则

(1) dx 显然, x, y 都是 t 的函数, 且 0.01 cm/ 秒 . dt dy 现要求 x 200 cm 时, ? dt 将 (1) 式两边关于 t 求导, 得 dy dx 2 x , dt dt 故在 x 200 时, 圆板面积的增加率为 dy 2 200 0.01 4 (cm/ 秒). dt

y x2.

例2

向一个上顶的直径为 8 米, 深为8 米的圆锥形容器内匀速注水. 若注水的速度为 4

盾构隧道转弯环管片在缓和曲线上的排版

（中铁十一局集团第四工程有限公司 于洪）

【内容摘要】：盾构施工在缓和曲线上的管片选型排版直接关系到在圆曲线上盾构机的姿态控制，现以某区间缓和曲线段管片的选型排版为例，对管片在缓和区线段的选型排版方法进行总结介绍，以便在今后盾构施工进行借鉴和指导。 【关键词】：盾构 转弯环 缓和曲线 排版 一、引言

目前盾构工程在地下铁路施工中应用越来越多，由于曲线的存在就要用标准环与转弯环配合使用，以适应线路的走势。曲线是由一条圆曲线和两条缓和曲线组成。对于圆曲线的管片排版已有了相对较为成熟的理论。而缓和曲线上的管片排版以往通常是根据盾构机VMT来选择，没有成型的理论支持，为此，结合测量理论和弯环管片的实际探索出在缓和曲线上准确选择弯环管片理论排版的方法，介绍给大家，供参考和借鉴。 二、缓和曲线理论

按线路的前进方向，直线与缓和曲线的连接点称为直缓点，依次类推其余各点分别为缓圆点、圆缓点、缓直点，分别记为ZH、HY、YH、HZ。其相对关系见图1及图2。

α外矢距E半径(R）T长线切） 圆缓 曲中ZYHY）（（圆缓圆（QZ）（YH）直L/2曲线长ι和缓ββ直缓（ZH）切线长T缓直(HZ）中心角α

图1