波函数和薛定谔方程

波函数和薛定谔方程

一、波函数的统计解释、叠加原理和双缝干涉实验

微观粒子具有波粒二象性（德布罗意假设）；

德布罗意关系（将描述粒子和波的物理量联系在一起）

E?h?????h??p?n??k?

物质波（微观粒子—实物粒子）

引入波函数（概率波幅）—描述微观粒子运动状态 对于微观粒子来说，如果不考虑“自旋”一类的“内禀”态，单值波函数是其物理状态的最详尽描述。至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物理信息。

微观粒子的状态用波函数完全描述

——量子力学中的一条基本原理

该原理包含三方面内容：粒子的状态用波函数表示、波函数的统计解释和对波函数性质的要求。

要明确“完全”的含义是什么。按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述体系的量子态，若已知单粒子（不考虑

?自旋）波函数?(r)，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，

而且如动量等粒子的其它力学量的概率分布也均可通过波函数而完全确定。由此可见，只要已知体系的波函数，便可获得该体系的一切物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述。

必须强调指出，波函数给出的有关粒子的“信息”本质上是统计性质的。例如，在适当条件下制备动量为p的

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第二章 波函数和薛定谔方程b

?? 第二章 波函数和薛定谔方程 § 学习指导 本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。 根据实验，微观粒子具有波粒二象性。经典波一般用振幅A(r,t)与位相?(r,t)来描述， vvvi?(r它们可以统一写为?(r,t)?A(r,t)e,t)，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数 vvvv?(r,t)来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。经典情况下，模方|?(r,t)|2表示波的 强度；量子情况下，|?(r,t)|2表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。 波函数随时间的变化薛定谔方程确定。按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分

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19-3

波函数

薛定谔方程薛定谔(Erwin Schrodinger,887~1961) 奥地利物理学家.

1926年建立了以薛定谔方程为基础的波 动力学,并建立了量子力学的近似方法 .量子力学 建立于 1923 ~ 1927 年间， 两个等价的理论 —— 矩阵力学和波动力学 . 相对论量子力学(1928 年，狄拉克): 描述高速运动的粒子的波动方程 .

一、波函数：描述具有波粒二象性粒子的运动函数。1、自由粒子的波函数

设一自由粒子，不受外力作用，则粒子作匀速直线运动 (设沿X轴),其动量、能量保持恒定。

E const E h恒定！

P const h p

X

恒定！

从波动观点看来：这种波只能是单色平面波

单色平面简谐波波动方程为：y( x, t ) A cos 2 ( x t )

用指数形式表示：

y( x , t ) Ae其波函数为： 依德布罗 意关系式 波函数：

i 2 (

x

t )

0 e E h , i

i 2 (

x

t )

h p

( r , t ) 0e

( p x Et )

0e

i ( Et p x )

注意：波函数一般要用复数表示！

波函

薛定谔方程

百科名片

薛定谔方程推导

薛定谔方程（Schrdinger equation）是由奥地利物理学家薛定谔提出的量子力学中的一个基本方程，也是量子力学的一个基本假定，其正确性只能靠实验来检验。是将物质波的概念和波动方程相结合建立的二阶偏微分方程，可描述微观粒子的运动，每个微观系统都有一个相应的薛定谔方程式，通过解方程可得到波函数的具体形式以及对应的能量，从而了解微观系统的性质。 目录

定义 简介 薛定谔方程的提出 薛定谔简介 薛定谔方程具体介绍 薛定谔方程的数学表达形式 展开 编辑本段

定义

薛定谔方程

在量子力学中，体系的状态不能用力学量（例如x）的值来确定，而是要用力学量的函数Ψ（x,t），即波函数（又称概率幅，态函数）来确定，因此波函数成为量子力学研究的主要对象。力学量取值的概率分布如何，这个分布随时间如何变化，这些问题都可以通过求解波函数的薛定谔方程得到解答。这个方程是奥地利物理学家薛定谔于1926年提出的，它是量子力学最基本的方程之一，在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。

薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。

编辑本段

简介

量子力学中求解粒子问题

薛定谔方程

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势

中的含时薛定谔方程为

；(1)

其中，常数，

是质量， 是位置，

是位势。

是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为

。(2)

假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 空间。用方程表达，

-位形空间，所有可能的粒子位置

。

其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。

不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想 的函数形式为

；

其中，量．

是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能

代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：

。

类似地，方程 (2) 变为

。

历史背景与发展

爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。

薛定谔方程

在一维空间里，一个单独粒子运动于位势

中的含时薛定谔方程为

；(1)

其中，常数，

是质量， 是位置，

是位势。

是相依于时间 的波函数， 是约化普朗克

类似地，在三维空间里，一个单独粒子运动于位势 中的含时薛定谔方程为

。(2)

假若，系统内有 个粒子，则波函数是定义于 空间。用方程表达，

-位形空间，所有可能的粒子位置

。

其中，波函数 的第 个参数是第 个粒子的位置。所以，第 个粒子的位置是 。

不含时薛定谔方程

不含时薛定谔方程不相依于时间，又称为本征能量薛定谔方程，或定态薛定谔方程。顾名思义，本征能量薛定谔方程，可以用来计算粒子的本征能量与其它相关的量子性质。

应用分离变量法，猜想 的函数形式为

；

其中，量．

是分离常数， 是对应于 的函数．稍回儿，我们会察觉 就是能

代入这猜想解，经过一番运算，含时薛定谔方程 (1) 会变为不含时薛定谔方程：

。

类似地，方程 (2) 变为

。

历史背景与发展

爱因斯坦诠释普朗克的量子为光子，光波的粒子；也就是说，光波具有粒子的性质，一种很奇奥的波粒二象性。他建议光子的能量与频率成正比。在相对论里，能量与动量之间的关系跟频率与波数之间的关系相同，所以，连带地，光子的动量与波数成正比。

山东大学 期末考试 知识点复习

第二章 波函数和薛定谔方程

1．微观粒子运动状态的描述 (1)波函数

波函数ψ(r，t)是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性，实际体系的波函数满足平方可积条件，即

(2)波函数的意义 波函数的模方

给出t时刻粒子出现在位置r邻域单位体积内的概率，即概率密度。 因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件

未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。 (3)波函数的性质

波函数ψ(r，t)满足叠加原理，如果ψi(r，t)，i=1，2，…为微观粒子的可能状态，则

也是一个可能的状态。

山东大学 期末考试 知识点复习

2．微观状态的演化 (1)薛定谔方程

状态ψ(r，t)随时间演化满足薛定谔方程

其中

称为哈密顿算符，U(r，t)是势能，若已知初始状态ψ(r，0)，由薛定谔方程可求出任意时刻t的状态ψ(r，t)。

(2)连续性方程

由薛定谔方程可以推出连续性方程

其中

称为概率流密度，即沿着给定方向单位时间通过单位截面的概率，连续性方程是概率守恒定律的定域表现。 (3)定态薛定谔方

程

若体系的

量子力学课程论文

题 目：《由薛定谔方程引发的深思》

学 院： 数理信息工程学院 专 业： 物理112班 学生姓名： 徐盈盈 王黎明 学 号：11260124 11180216 完成时间： 2013年12月20日

由薛定谔方程引发的深思

【摘要】

薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。

【引言】

随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种

量子力学课程论文

题 目：《由薛定谔方程引发的深思》

学 院： 数理信息工程学院 专 业： 物理112班 学生姓名： 徐盈盈 王黎明 学 号：11260124 11180216 完成时间： 2013年12月20日

由薛定谔方程引发的深思

【摘要】

薛定谔方程的提出揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，它是原子物理学中处理一切非相对论问题的有力工具[1]。作为量子力学之魂，薛定谔方程完整的向我们诠释了微观世界的魅力。为更加深入地学习薛定谔方程和量子力学，我们将分析薛定谔方程的推导过程、介绍其在求解粒子问题中的应用以及其在原子物理、核物理、固体物理等学科的应用，最后谈谈自己的想法。

【引言】

随着“任何粒子都具有波粒二象性”的德布罗意假说成功被戴维森-革末实验所证实，薛定谔思考着会有一个波动方程可以反应粒子的这种

电子自旋和自旋波函数

摘要：运用利力学量算符和波函数的矩阵表示，在Sz表象中讨论了电子自旋算符及其波函数的构造，找出并证明了一些性质。同时对比轨道角动量和自旋角动量就自旋的本质提出新的问题

关键词：自旋；Sz表象；角动量

自旋是量子力学的特有概念，量子力学是随着物理学的发展为了解释微观领域的实验现象，在许多物理学家的共同努力下建立并逐渐完善起来的。其确立促进了实验工作的发展，特别在原子光谱的实验中，先后发现了光谱的精细结构和反常Zeeman效应。如在碱金属钠原子光谱中，起初看到有一条波长为589.3nm的黄线，由于光谱仪的分辨率的提高，后来发现它是两条谱线构成的。它的波长分别喂589.6nm和589.0nm，此即所谓碱金属光谱的双线结构。另外，在弱磁场中，一条光谱线会分裂成偶数条谱线，称为反常Zeeman效应。原有的量子理论已经无法解释这些新的物理现象。

1925年，为了解释，Uhlenbeck和Goudsimt提出了电子具有自旋的假设，稍后由Pauli加以完善。除上述实验现象外，Stern—Gerlach实验也是电子自旋±±的客观存在的重要实验依据，电子具有自旋就像电子具有的质量和电荷一样，电子的自旋也是表征电子固有属性的物理量，