杨辉三角的性质与应用实验报告

西安交通大学数据结构实验报告!循环链表,C算法!

---《杨辉三角》

专 业：自动化

班 级：自动化05

姓 名：陈绍清

学 号：10054112

指导教师：蔡忠闵 刘美兰

2011.12.20

西安交通大学数据结构实验报告!循环链表,C算法!

实验目的：逐行打印二项展开式 (a + b)i 的系数

杨辉三角形 (Pascal’s triangle)

1 1 i = 1

1 2 1 2

1 3 3 1 3 1 4 6 4 1 4 1 5 10 10 5 1 5 1 6 15 20 15 6 1 6 问题描述：

编写程序，根据输入的行数，屏幕显示杨辉三角。

基本要求：

(1)

(2) 行数不大于20行。 基于队列的操作来实现杨辉三角的不断生成过程。（注：不要用其它的公式计算

西安交通大学数据结构实验报告!循环链表,C算法!

---《杨辉三角》

专 业：自动化

班 级：自动化05

姓 名：陈绍清

学 号：10054112

指导教师：蔡忠闵 刘美兰

2011.12.20

西安交通大学数据结构实验报告!循环链表,C算法!

实验目的：逐行打印二项展开式 (a + b)i 的系数

杨辉三角形 (Pascal’s triangle)

1 1 i = 1

1 2 1 2

1 3 3 1 3 1 4 6 4 1 4 1 5 10 10 5 1 5 1 6 15 20 15 6 1 6 问题描述：

编写程序，根据输入的行数，屏幕显示杨辉三角。

基本要求：

(1)

(2) 行数不大于20行。 基于队列的操作来实现杨辉三角的不断生成过程。（注：不要用其它的公式计算

杨辉三角的规律以及定理

1 二项式定理与杨辉三角

与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。

杨辉三角我们首先从一个二次多项式 (a+b) 2 的展开式来探讨。

由上式得出： (a+b) 2 2+2ab+b 2 ＝a

此代数式的系数为： 1 2 1

则(a+b) 3 3+3a 2b+3ab 2+b 3 的展开式是什么呢？答案为： a

由此可发现， 此代数式的系数为： 1 3 3 1

但 4

似乎没有什么规律，所以让我们再来看看 (a+b)

的展开式。

展开式为： a 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4+4a 3b+6a 2b2+4ab 3+b 4

由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：

1 (11 0)

1 1 (11 1)

1 2 1 (11 2)

1 3 3 1 (11 3)

1 4 6 4 1 (11 4)

1 5 10 10 5 1 (11 5

)

1 6 15 20 15 6 1 (11 6)

杨辉三角形的系数分别为： 1,（1,1 ）,（1,2,1 ）,（1,3,3,1 ）,（1,4,6,4,1 ）（1,5,10

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

教材分析

教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直接看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数,体现了从特殊到一般的认知规律.“杨辉三角”是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡.它和勾股定理、圆周率的计算等其他中国古代数学成就一起，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能.应注意抓住这一题材,对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要讲解二项式系数的性质.

教学目标

重点: 理解二项式系数的性质,学会讨论二项式系数性质的一些方法,能解决与二项式系数有关的问题. 难点：讨论并解决与二项式系数有关的问题的方法． 知识点：(1)“杨辉三角”； (2)二项式系数的性质.

能力点：探究二项式系数的性质，方程思想，化归思想的数学思想的运用.

教育点：体验“发现”的乐趣，培养学生学习的兴趣；对学生进行爱国主义教育,激励学生的民族自豪感. 自主探究点：通过写出n?1,2,3,?,6时的二项式系数,探究出二项式系数的性质. 考试点：解决与二项式系数有关的

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杨辉三角，又称贾宪三角形，帕斯卡三角形，是二项式系数在三角形中的一种几何排列。我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了。

杨辉三角外文名Pascal

Triangle（帕斯卡三角形），也称贾宪三角形。贾宪提出时间约在1050年。

杨辉三角形的每一行是（X+Y) ^N的展开式各项的系数。如第一行的1就是(X+Y) ^0的系数，第三行的1，2，1是（X+Y) 2 的展开式X2 ＋2XY+Y2各项的系数。可以看出，对角线和每行的第一列都为1°，其余各项是它的上一行中前一个元素和上一行的相应位置的元素之和。例如，第四行第二列的值（3），是第三行第一列和第二列两个元素之和。

杨辉三角的性质：

1、起点和端点的数为1.每个数等于它上方两数之和。

2、每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，到达最大后开始逐渐变小。3、第n行的数字有n项。4、第n行数字和为2n-1。

5、第n行的第m个数和第n-m+1个数相等，即C(n-1,m-1)=C(n-1,n-m) （组合数性质之一）

6、每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个杨辉三角。

7、第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1)（n

三角函数的图像与性质应用1

1.已知函数y=

12

cos2x

+

2

sinxcosx+1，x∈R.

6设函数图像的一条对称轴是直线。

（Ⅰ）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；

（Ⅱ）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

2.求函数y=(sinx+cosx)2+2cos2x的最小正周期

3．已知函数f(x)

2x＋sinxcosx．

(Ⅰ) 求f(

)的值；

(Ⅱ) 设

∈(0，

)，f 1

=4 2，求sin

的值

2

4.

已知.

（Ⅰ）求

的值；

（Ⅱ）求的值.

5

已知向量

，且

求

的值.

（Ⅰ）求； （Ⅱ）求函数的单调增区间； （Ⅲ）画出函数在区间

上的图像。

7已知

是三角形三内角，向量

m

=(-1，

)，且 m n

=1. （Ⅰ）求角

；

（Ⅱ）若

，求

8已知函数

（1）求函数的最小正周期； （2）求使函数

取得最大值的集合。 (3) 函数的单调增区间.

n

=(cosA，sinA)，

三角函数的图像与性质应用1

9.

已知函数.

（Ⅰ）求函数

的最小正周期；

（Ⅱ）求函数在区间

上的最小值和最大值.

10.设f(x)=6cos2x-

sin2x.

(Ⅰ)求f(x)的最大值及最小正周期;

(Ⅱ)若锐角α满足f(α)=3-,求tanα的值.

11.

已知函数.求：

走进高考·数学（第1轮） 知识梳理 2013年7月

第8章 三角函数

08—01 三角函数的图像与性质

一、点一点——高考目标明示

1.通过实例和利用函数定义，形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义

2.知道一般周期函数的解析描述和图像特征，掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、最大值和最小值等性质.

3.掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图像. 4.类比正弦函数的研究方法，掌握正切函数的性质和图像.

二、试一试——高考真题点击

1．（2012杨浦模拟）“tanx??5π3”是“x?”的 ( )

63 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

2.（2013崇明模拟）设函数f(x)?sinx,x?R，则下列结论错误的是 （ ）

A.f(x)的值域为[0,1] C

等腰与等边三角形、全等三角形的性质和判定的综合应用

一、等腰、等边三角形

1、已知等腰三角形的一边长为5cm，另一边长为6cm，则它的周长为 。 2、已知等腰三角形的一边长为4cm，另一边长为9cm，则它的周长为 。

3、等腰三角形底边长为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm.则腰长为 。

4、在等腰三角形中，设底角为x，顶角为y0，用含x的代数式表示y，得y= ； EC用含y的代数式表示x，则x= 。 5、有一个角等于50°，另一个角等于 的三角形是等腰三角形。 FDB6、如图，∠A=15°，AB=BC=CD=DE=EF，则∠GEF= 。 7、有一个内角为40°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 ，有一个内角为140°的等腰三角形的另外两个内角的度数为 。

8、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则其顶角为 。

9、如果等腰三角形的三边均为整数且它的周长为10cm，那么它的三边长为 。 10、如图，把矩形ABCD

三角函数图像与性质的综合应用

2012年_月_日

班级 _________

回顾：

2 仁函数y 3sin x 的值域是 ___________ ;周期为 __________ .

提高:

x 2 sin 4 , x 0, 的值域是 2 3

a sin x b(a 0)的值域.(注意分类讨论)

5

例.函数 f(x) as in x b(a 0), x

, 的值域 1,5 6 6 6.函数 sin x, x (,)的值域是 6 6 8.函数 sin 2x, x 叮的值域是

(教案) 姓名 ________ 2?函数y cos2x 的值域是 周期为

3..函数y 4cos( 2x -) 1的值域是

4.函数 4 sin xcos x 的值域是 ；周期为

5.函数

cos 4 x sin 4 x 的值域是 ；周期为

7.函数

4 x cos 一 2 类型1：函数f(x) ，求a,b 的值.

类型2：函数f(x) asinx bcosx的值域.(辅助角转化：f(x) , a b sin(x ))

例1.函数f(x) 8sin x 6cosx的值域.

1 3

例2.已知函数f (x) a si nx bcosx的最大值为10，且f( ) 1，求a, b的值.

4

类型3：

三角函数的图像与性质

考点1 函数的周期性 1. 求下列函数的周期

(1)y?cos2x; (2)y?2sin(x??1?); (3)y?5tan(?x). 36622. (1) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?a)?f(x?b)，求证:函数y?f(x)是周期函数. (周期T?a?b)

(2) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?c)??f(x);(c?0)，求证:函数y?f(x)是周期函数. (周期T?2c) (3) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?c)??1;(c?0)，求证:函数f(x)y?f(x)是周期函数. (周期T?2c)

以上是函数周期性描述的若干变式，请同学们认真记忆！

3.(1) 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为?，当

5?3??? . x??0,?时，f(x)?sinx，则f()的值是 322??(2)设函数f(x)?2cos(wx??)对任意的x?R，都有f(