线性代数n阶行列式计算方法总结

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21anna12a220n(n?1)2a1n00000?0an1an100an?1,2an20a2,n?1a1na2n?000an10a2,n?100a1n00 0an?1,n?1an?1,nan,n?1ann?(?1)a1na2,n?13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmCn?mBmAnCm?n??AnCm?nAn0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm0m?n?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并

特殊行列式及行列式计算方法总结

一、 几类特殊行列式

1. 上（下）三角行列式、对角行列式（教材P7例5、例6） 2. 以副对角线为标准的行列式

a11a21?ann?(?1)a12?a1na22??0n(n?1)20000?an2????0a2,n?1?an,n?1a1na2n?an?1,nann?000??000a1n00 0?0???00an10?a2,n?1an?1,2?an?1,n?1an1?a1na2,n?1?an13. 分块行列式（教材P14例10）

一般化结果：

An0m?n0n?mBmAnCm?nCn?mBm??AnCm?nAn0m?n0n?mBm?An?Bm

Cn?mBm?(?1)mnAn?Bm

4. 范德蒙行列式（教材P18例12） 注：4种特殊行列式的结果需牢记！

以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握！！！ 二、 低阶行列式计算

二阶、三阶行列式——对角线法则 （教材P2、P3） 三、 高阶行列式的计算 【五种解题方法】

1) 利用行列式定义直接计算特殊行列式；

2) 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；

3) 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算

——适用于

第一章 行列式 —— §1.2 n阶行列式

§1.2 n阶行列式

为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n阶行列式的概念。为此，先介绍排列的有关知识。

㈠排列与逆序：(课本P4)

１、排列的定义：由数码1，2，…，n，组成一个有序数组i1i2?in，

称为一个n级排列。

【例1】1234是一个4级排列，

3412也是一个4级排列，

而52341是一个5级排列。(课本P4中例)

【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。

【例3】数字由小到大的n级排列1234…n 称为自然序排列。

２、逆序的定义：在一个n级排列i1i2?in中，如果有较大的数it排在is的前面，则称it与is构成一个逆序。(课本P4)

【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，

在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。 3、逆序数的定义：一个n级排列i1i2?in中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为N(i1i2?in)。(课本P4) 【例5】排列3412的逆序数为N(3412) = 4，

排列52341的逆序数为N(

厦门理工

线性代数练习题 第一章 行 列 式

系 专业 班 姓名 学号 第一节 二阶与三阶行列式 第三节 n阶行列式的定义

一．选择题

121．若行列式15x3??2 = 0，则x? [ C ]

25（A）2 （B）?2 （C）3 （D）?3

??x1?2x2?32．线性方程组?，则方程组的解(x1,x2)= [ C ]

3x?7x?4?2?1（A）（13，5） （B）（?13，5） （C）（13，?5） （D）（?13,?5）

1x3．方程12x24?0根的个数是 [ C ] 913（A）0 （B）1 （C）2 （D）3

4．下列构成六阶

线性代数练习题（行列式）A

一、填空题

3?6236? 1、2?6?2300 2、

040030020010? 00)?_____________ 3、N(6312544、四阶行列式det(aij)的反对角线元素之积（即a14a23a32a41）一项的符号为 12?35. 行列式2?10中元素0的代数余子式的值为_______

34?2二、选择题 1、a11a?（ ）

Da?1

Aa?1B?a?1C1?a0101?（ ） 3、11?a111?aA1?aBaCa?1D(1?a)(1?a)

35、若41

1x0x0?0，则x?（ ） x1

Ax?0且x?2Bx?0或x?2Cx?0Dx?2

11106、11011011?（ ）

0111A2B3C?3D?1

1117、xyz?（ ） x2y2z2A(y?x)(z?x)(z?y)BxyzC(y?x)(z?x)(z?y)D

413?2333三、设行列式 D??6?1207，不计算Aij而直接证明：129?2 A41?A42?A43?2A44

x?y?z2

线性代数练习题（行列式）B

一、填空题

1、 设Aij

南京林业大学 本科毕业设计（论文）

题

目： N阶行列式计算方法探索

学 院： 理 学 院 专 业： 信息与计算科学 学 号： 091101223 学生姓名： 姚 梅 指导教师： 朱 敏 职 称： 讲 师

二O一 三 年 五 月二十二日

摘 要

行列式的计算是行列式理论中的重要组成部分和难题,而计算行列式的固定方法是不存在的,应该根据行列式的特点应用各种不同的计算方法。本篇论文应用行列式的性质，探讨了多种计算行列式的方法。首先列举了一些常用方法：利用行列式定义直接计算法，根据行列式性质化为三角形列式法，按一行（列）展开以及利用已知公式法，然后介绍了一些比较特殊的方法如：数学归纳法与递推法，加边法，拉普拉斯定理的应用等等。但这几种方法之间都不是相互独立的，而是有一定关联的。一个行列式可能有多种解答方法，或者是在同一个行列式的计算中将同时会用到几种方法以简便计算。这就要求我们在掌握了行列式的若干种解法之后，能够灵活运用，找到一种

编号：

本科毕业论文（设计）

题目：行列式的计算方法

学 院 数学与计算科学

专 业 信息与计算科学

学 号 200740520129

姓 名 鲁兵兵

指导教师 王先超 职称： 副教授

完成日期 2011.04.07

1

诚 信 承 诺

我谨在此承诺：本人所写的毕业论文《行列式的计算方法》均系本人独立完成，没有抄袭行为，凡涉及其他作者的观点和材料，均作了注释，若有不实，后果由本人承担

.

承诺人（签名）：年 月

2

日行列式的计算方法

姓 名 : 鲁兵兵 学 号 : 200740520129 指导老师 :王先超

摘要：行列式是高等代数和线性代数的课程中基本内容，并且其在数学中有着广泛的应用，学会计算行列式对大学学习非常重要，掌握行列式计算技巧，可以达到快速

1

行列式的计算方法

摘要：线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组, 行列式的计算是一个重要的问题。本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。 关键词：行列式 矩阵 降阶

The Methods of Determinant Calculation

Abstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants

produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and

这是我们学校的课件,拿来与大家分享,欢迎下载。

§1.4

行列式按行(列)展开 a1n a2n 则 a nn

a11 a12 a a 设 D 21 22 a n1 a n 2

D i j a i1 A j1 a i 2 A j 2 a in A jn 0 i j D i j a1i A1 j a 2 i A2 j a ni Anj 0 i j

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定义1 3(余子式与代数余子式) 在n阶行列式D |aij|中去掉元素aij所在的第i行和第j列后 余下的n 1阶行列式 称为D中元素aij的余子式 记作Mij 令 Aij ( 1)i jMij Aij称为元素aij的代数余子式 例如 四阶行列式a11 a 21 D a 31 a 41 a12 a 22 a 32 a 42 a13 a 23 a 33 a 43 a14 a 24 a 34 a 44

在D中 a32的代数余子式是A32 ( 1) 3 2 M 32 a11

本科生毕业论文（设计）

题目： 行列式计算及其应用研究

系 部 数学系 学科门类 理学 专 业 数学与应用数学 学 号 0707140157 姓 名 张大儒 指导教师 王吟

2011年 5 月 15 日

合肥师范学院2011届本科生毕业论文（设计）

行列式计算及其应用研究

摘 要

行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学和现实生活中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要.本文阐述行列式的定义及基本性质，介绍了利用行列式的性质计算、化三角形法、代数余子式法、加边法（升阶法）、范德蒙得行列式法等5种基本计算方法和数学归纳法、递推法、利用矩阵特征值计算、拆项法、因式分解法等5种特殊计算方法.本文也介绍了行列式在解析几何、代数中的理论应用和在工程建设、经济管理中的实践应用.这些行列式的计算方法及其应用可以提高我们对行列式的认识，有利于把行列式的研究推向深入.

关键词：行列式；因式分解；化三角形法；解析几何

I

合肥师范学院