两角和与差的余弦公式题目

3.1.1两角差的余弦公式

郸城一高 杨祖峰

探究一：（1）能不能不用计算器求值 ：cos45 ，cos30 ，cos15 （2）cos(450?300)?cos450?cos300是否成立？

探究二：两角差的余弦公式的推导 1.三角函数线法：

问：①怎样作出角?、?、???的终边。 ②怎样作出角???的余弦线OM ③怎样利用几何直观寻找OM的表示式。

2.向量法：

问：①结合图形，明确应选哪几个向量，它们怎么表示？ ② 怎样利用向量数量积的概念和计算公式得到结果。 ③ 对探索的过程进一步严谨性的思考和处理，从而得到合理的科学结论。 例题整理

例1. 利用差角余弦公式求cos15的值

变式训练：利用两角差的余弦公式证明下列诱导公式： （1）cos(

0000?2??)?sin?； （2）cos(2???)?cos?

4π5例2.已知sinα= ，α?（ ，π），cosβ= - ，β第三象限角，求cos（???）的值5213

变式训练：已知sin??

一、反思总结

本节主要考察如何用任意角?，?的正弦余弦值来表示cos(???)，回顾公式 C（???） 的推导过程，观察公式的特征，注意符号区别以及公式中角?，?用心 爱心

12.1.1两角和与差的余弦公式教案

【教学目标】

知识目标：理解两角和与差的余弦公式的推导过程，熟记两角和与差

的余弦公式，运用两角和与差的余弦公式，解决相关数学问题。

能力目标：培养学生严密而准确的数学表达能力；培养学生逆向思维

和发散思维能力；培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

【教学重点】

两角和与差的余弦公式的理解与灵活运用。．

【教学难点】

两角和与差的余弦公式的推导。

【教学过程】

教 学 过 程 一 创设情境，引入课题 问题1 ：我们已经学习了向量的数量积，请用数量积的知识完成下列练习。 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 质疑 观察 思考 主动 求解 理解 领会 利用 同角 三角 函数 基本 关系 进行 三角 式的 求值 与化 简应 用来 15 a?b?abcos? a?（x1,y1),a?b?x1x2?y1y2 练习已知b?（x2,y2) 则 说明 a?(cos45?,sin45?)，讲解 引领 介绍 分析 b?(cos30?,sin30?) ，则a?b? 二 自主探究，引发思考 教 学 过

《两角和与差的余弦公式》说课案

一、教材地位和作用分析：

两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱导公式等知识的延伸，是后继内容二倍角公式、和差化积、积化和差公式的知识基础，对于三角变换、三角恒等式的证明和三角函数式的化简、求值等三角问题的解决有重要的支撑作用。本课时主要讲授平面内两点间距离公式、两角和与差的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标：

①、 使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； ②、 使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； ③、 使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。

2、能力目标：

①、培养学生逆向思维的意识和习惯；

②、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； ③、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感目标：

①、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； ②、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。

三、教学重点和难点：

教学重点：两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点：两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法：

创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题

人教A版必修四

3.1.1两角差的余弦公式

一.教学目标：

课标要求：经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用；能运用两角差的余弦公式进行简单的恒等变换. 1.知识与技能：

(1)理解两角差的余弦公式的推导；

(2)掌握两角差的余弦公式并能进行初步的应用。

2.过程与方法目标

通过对两角差余弦公式的推导及应用，培养学生分析问题、解决问题的能力，进一步体会向量方法的作用，体会数形结合、化归与转化的思想。 3.情感、态度与价值观目标

培养学生大胆猜想、敢于探索、勇于置疑的学习品质与严谨、求实的科学态度。

二.教学重点、难点

重点：两角差的余弦公式的推导与运用 难点：两角差余弦公式的推导过程

三.学情分析

学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式及平面向量，为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限，要发现并证明公式C(α-β)有一定的难度，教师可引导学生通过合作交流，了解几何法，体会向量法的作用，探索两角差的余弦公式，完成本课的学习目标。

四.教学方法

1.利用多媒体，结合几何画板

《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》复习学案

自主梳理1．(1)两角和与差的余弦

cos(α＋β)＝_____________________________________________，

cos(α－β)＝_____________________________________________.

(2)两角和与差的正弦

sin(α＋β)＝_____________________________________________，

sin(α－β)＝_____________________________________________.

(3)两角和与差的正切(α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋π

2，k∈Z)

tan(α＋β)＝_____________________________________________，

tan(α－β)＝_____________________________________________.

其变形为：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．2．辅助角公式：a sin α＋b cos α＝a2＋b2sin(α＋φ)

考点5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式

1. （15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考） 若cos(??)?的值是______.

【考点】二倍角的余弦，三角函数的化简求值. 【答案】?π31n(is，则23?)?π67 9π31， 3【分析】∵cos(??)?∴sin(2??)?cos(π6ππ2ππ?2??)?cos(2??)?2cos2(??)?1 263317?2?()?1??.

3922. （15泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．

（1）求sin（α+

π）的值； 4????????（2）若P关于x轴的对称点为Q，求OP?OQ的值．

【考点】 平面向量数量积的运算；两角和的正弦函数． 【解】（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴sin??43，cos??…（4分） 55∴sin??π?ππ42327????sin?cos?cos?sin?????2．…（7分） 4?44525210?（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，

（3，?4）∴Q．…（9分）

????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4)，

????????∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7． …（14分

3.1.2 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

疱工巧解牛

知识?巧学

一、两角和的余弦公式

1.比较cos(α-β)与cos(α+β)，根据α+β与α-β之间的联系：α+β=α-(-β)，则由两角差的公式得cos(α+β)=cos［α-(-β)］=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ,即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

学法一得 这种以-β代β的变换角的方式在三角函数的恒等变形中有着重要应用，同时也启发我们要辩证地看待和角与差角.在公式C(α-β)中，因为角α、β是任意角，所以在C(α+β)中，角α、β也是任意角.

2.用两点间的距离公式推导C(α+β).

图3-1-5

如图3-1-5，在直角坐标系xOy内作单位圆O，以O为顶点，以x轴的非负半轴为始边，作出角α、-β，使角α、-β的终边分别交单位圆于点P2、P4，再以OP2为始边，作角β，使它的终边交单位圆于点P3，这样就出现了α、β、α+β这样的角，设角α、-β的始边交单位圆于点P1，则P1(1，0).设P2(x，y)，根据任意角的三角函数的定义，有sinα=y，cosα=x，即P2(cosα，sinα)；同理,

三 角 计 算 及 其 12.2.3两角和与差的正弦、余弦、 应 正切的综合应用 用

一、基础知识回顾请同学们回顾前面学习的基本公式: 两角和的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin

两角差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin 两角和的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角差的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角和与差的正切公式: tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan

二、典型例题剖析2

例1.(1)设 tan ,tan 是方程x 3 3 x 4 0的两根,且 4 , , ,则 + __________; 3

三 角 计 算 及 其 12.2.3两角和与差的正弦、余弦、 应 正切的综合应用 用

一、基础知识回顾请同学们回顾前面学习的基本公式: 两角和的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin

两角差的余弦公式: cos( ) cos cos sin sin 两角和的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角差的正弦公式: sin( ) sin cos cos sin 两角和与差的正切公式: tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan tan tan ( , , k , k Z ) tan( ) 2 1 tan tan

二、典型例题剖析2

例1.(1)设 tan ,tan 是方程x 3 3 x 4 0的两根,且 4 , , ,则 + __________; 3

两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式专题复习

一、知识要点：

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)S(???):sin(???)?sin?cos??cos?cos?； (2)C(???):cos(???)?cos?cos??sin?sin?； (3)T(???):tan(???)?tan??tan?.

1?tan?tan?2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S(2?):sin2??2sin?cos?α；

(2)C(2?):cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?； (3)T(2?):tan2??22222tan?.

1?tan2?3．常用的公式变形

(1)tan??tan??tan(???)(1?tan?tan?)； (2)cos??21?cos2?1?cos2?； ,sin2??2222(3)1?sin2??(sin??cos?),1?sin2??(sin??cos?),sin??cos??4．函数f(x)?asinx?bcosx(a,b为常数),可以化为f(x)?2sin(??).

4?a2?b2sin(x??)?a2?b2cos(x??),其中

?(?)可由a,b的值唯一确定．

两个技巧

(1)