微积分理论在不等式证明中的应用

［学术论文］

用微积分理论证明不等式的方法

姓名：李梅 性别：女 年龄：25岁

职称：中教数学二级教师 职务：高中数学教师 工作单位：中山市华侨中学

通讯地址：广东省中山市华侨中学高中部 邮编：528400

联系电话：0760-3108927 13715680472

[中文摘要]

用微积分理论证明不等式的方法

高中数学教师 李梅

摘要：本文总结了利用微积分理论证明不等式的10种方法：导数定义法、单调性法、极值与最大最小值法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、函数的凹凸性法、泰勒公式法、幂级数展开式法、定积分理论法、参数法.

关键词:不等式、导数、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式.

[英文摘要]

The ways to prove inequalities with calculus theory

Abstract: In this paper ,I sum up ten methods to prove inequalities with calculus theory :the method with derivative′s definition ,the method with monotoricity ,the me

［学术论文］

用微积分理论证明不等式的方法

姓名：李梅 性别：女 年龄：25岁

职称：中教数学二级教师 职务：高中数学教师 工作单位：中山市华侨中学

通讯地址：广东省中山市华侨中学高中部 邮编：528400

联系电话：0760-3108927 13715680472

[中文摘要]

用微积分理论证明不等式的方法

高中数学教师 李梅

摘要：本文总结了利用微积分理论证明不等式的10种方法：导数定义法、单调性法、极值与最大最小值法、拉格朗日中值定理法、柯西中值定理法、函数的凹凸性法、泰勒公式法、幂级数展开式法、定积分理论法、参数法.

关键词:不等式、导数、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒公式.

[英文摘要]

The ways to prove inequalities with calculus theory

Abstract: In this paper ,I sum up ten methods to prove inequalities with calculus theory :the method with derivative′s definition ,the method with monotoricity ,the me

现代商贸工业

微积分在不等式证明中的应用研究

张 翔 刘晓波

(南京晓庄学院数学与信息技术学院,江苏南京211171)

摘 要:利用微积分证明不等式,其中包括拉格朗日中值定理、函数单调性、函数的最值、曲线的凹凸性、构造辅助函数、运用导数积分等方法,给出一些主要的证明方法,并举例加以说明应用。

关键词:微积分;不等式;证明;辅助函数

中图分类号:G64 文献标识码:A 文章编号:1672 3198(2010)04 0216 02 不等式的证明,在初等数学里已经介绍过若干种方法,如比较法,综合法,分析法,放缩法,反证法,数学归纳法和构造法等等。然后有些不等式用初等数学方法很难证明,但是利用微积分证明却相对容易一些。利用微积分证明不等式,是根据不等式的特点,通常需要构造辅助函数,把不等式的证明转化为利用微积分来研究函数的形态。

证明:构造函数f(x)=(k>1,x>0)易判别x=

x

kk

为f(x)的最小值 。所以 (x>0,kk-1x(k-1)k-1>1)令x=xi,xi>0,i xi=1取k=n+1,代入上式整理=1后得

xi+ (n2+1)n()

积分不等式的证明方法及其应用

【摘要】本文根据定积分的定义、性质、定理等方面简单介绍了几个证明积分

不等式的基本方法，并给出了相应的例题，从而更好地掌握其积分不等式的证明方法。尔后再给出四个重要积分不等式及其证明方法和应用，最后详细举例说明积分不等式在求极限、估计积分、证明积分不等式等上的应用及两个重要积分不等式的应用。

【关键词】积分不等式 Schwarz不等式 Holder不等式 Gronwall不等式

Young不等式

..

1 引言

在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数的有限形式来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如?e?xdx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计

012算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f在?0,1?上连续可微，且f(1)?f(0)?1，求?f'2(x)dx），因此我们希

01望对积分值给出某种估计.为此我们来研究下积分不等式. 我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.

?21xlnxdx??21xlnxdx，

??baf(x)coskxdx????2baf(x)sinkxdx?

南通大学毕业论文

摘 要

在高等数学的学习中,积分不等式的证明一直是一个无论在难度还是技巧性方面都很复杂的内容.对积分不等式的证明方法进行研究不但能够系统的总结其证明方法,还可以更好的将初等数学的知识和高等数学的结合起来.并且可以拓宽我们的视野、发散我们的思维、提高我们的创新能力,因此可以提高我们解决问题的效率.本文主要通过查阅有关的文献和资料的方法,对其中的内容进行对比和分析,并加以推广和补充,提出自己的观点.本文首先介绍了两个重要的积分不等式并给出了证明,然后分类讨论了证明积分不等式的八种方法,即利用函数的凹凸性、辅助函数法、利用重要积分不等式、利用积分中值定理、利用积分的性质、利用泰勒公式、利用重积分、利用微分中值定理,最后对全文进行了总结．

关键词：积分不等式,定积分,中值定理,柯西-施瓦兹不等式,单调性

1

南通大学毕业论文

ABSTRACT

When we study mathematics,the proof of integer inequality has always been seen as a complex content both in difficulty and skill．In this paper th

浅谈积分不等式的证明

摘 要

积分不等式的证明方法灵活多样，技巧性和综合性较强。每种方法有一定的特色，并且有一定的规律可循。本文综述了积分不等式的若干方法。通过对例题的分析，总结了求积分不等式的常用方法。

这篇文章主要有两部分组成，其一，利用定积分的性质，微分中值定理，积分中值定理，概率论知识，施瓦兹不等式，二重积分等内容，研究了积分不等式的证法。其二，研究了Gronwall积分不等式不同的证明方法并加以应用。更重要的是，对某些积分不等式进行推广。

[关键词]：定积分,概率论，积分不等式，泰勒公式

I

Abstract

The proof of integral inequality is flexible，skillful and complex . Every method has its feature. However, it also has law to obey. The article explains some methods. By analysis course of some examples, I sum up some methods of proving integral inequality.

The art

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）题目申报表

4、为结合学科竞赛；

5、模拟仿真；

6、其它

题目来源――A.指导教师出题；B.学生自定、自拟

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）任务书

集宁师范学院本科生毕业设计（论文、创作）开题报告

开题报告内容：（调研资料的准备与总结，研究目的、要求、思路与预期成果；任务完成的阶段内容及时间安排；完成毕业设计（论文、创作）所具备的条件因素等。

一研究内容：主要研究导数在不等式证明中的一些应用，其次研究导数的一些性质和证明不等式的一些方法；

二研究目的：不等式证明是数学学习中的重要内容之一，其常用的方法有：比较法, 分析法，综合法，归纳法，特殊不等式法。导数作为微积分学的主要内容，利用其证明不等式是一种行之有效的好方法，它能将某些不等式的证明化难为易，迎刃而解。

三研究方法：1.参考大量的相关文献及相关论文，通过中国知识网，中国学术期刊网等收集所需资料

2. 借助学过的专业知识，尤其是数学分析方面的知识和理论，微积分理论，深入分析题目，提出提纲，确定论文思路。

3. 整理导数在不等式证明中各种应用，并归纳总结。

4. 对各种应用进行比对，分析，并进行深入研究

四预期成果及形式：通过导数在不等式证明中的各种应用进行深入分析研

篇一：《放缩法在不等式的应用》论文

放缩法在不等式的应用

所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：

一. “添舍”放缩

通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。 例1. 设a，b为不相等的两正数，且a－b＝a－b，求证1＜a＋b＜

3

3

2

2

2

2

2

2

2

4。 证明：由题设得a＋ab＋b＝a＋b，于是（a＋b）＞a＋ab＋b＝a＋b，又a＋b＞0，得a＋b＞1，又

ab＜

1（a＋b），而（a＋b）＝a＋b＋ab＜a＋b＋1（a＋b），即3（a＋b）＜a＋b，所以a＋b＜42

2

2

2

，

故有1＜a＋b＜

。

例2. 已知a、b、c不全为零，求证：

a?ab?b?b2?bc?c2?c

高校论坛２０１１年第５期 102定积分不等式证明方法的研究张 瑞（宝鸡文理学院 数学系） 摘 要 通过若干范例总结有关定积分不等式的证明方法及规律。主要有定积分的定义、泰勒公式、积分中值定理以及辅助函数 法等方法。 关键词 定积分 积分性质 中值定理 含定积分的不等式的证明是数学分析学习中的一个重点也是一个 难点，一般可以利用定积分的性质、积分中值定理、辅助函数等方法 来证明定积分不等式。证明方法多种多样，本文归纳并列举了几种定 积分不等式的证明方法，主要有利用定积分的定义、泰勒公式、积分 中值定理以及辅助函数法等方法。 １ 利用定积分的定义 主要是利用定积分的定义，将闭区间 通过分割、求和、并 时和的极限，比较积分大小则可通过比较和的极限来实 例１ 证明： 在 上连续，且 ， 。 分析：题中所给的已知条件较少，在这种条件下利用定积分的定 义将区间分割求极限比较简单。 证明：将 等分，可得分割 ， 取 ，并记 ，则 由于 ， ， 当且仅当 号成立。 由于 因而 等号成立。 ２ 利用定积分的性质 分析：由预证不等式中被积函数 式。 证明：由柯西不等式知 与 联想到柯西不等 可积，故令 ，即函数 得 ， 为常值函数时，上式等 ， 为常值函数时，上

探讨定积分不等式的证明方法

摘要：文章针对被积函数的特性，给出了几种关于定积分不等式的有效 证明方法。 关键词：定积分不等式证法

不等式的证明在高等数学的学习中很常见，但关于定积分不等式的证明 却一直是一个难点。要证明定积分不等式，首先要看被积函数，其性质确定 证明方法。本文根据被积函数的连续性、单调性、可导性等分别给出几种证 法。

1 .运用定积分中值定理证明

定积分中值定理是将定积分转化为连续函数在该区间上某点的函数值与 该区间长度的乘积，即将定积分转化为函数来证明不等式。

a

例1 ：设f (x)在［0,1］上连续且单调不增，证明a