黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系小论文

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系分类号O172．２

编号 20120１０６44

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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

摘要: 介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念,通过对两类积分存在条件、基本性质、可积函数类以及相关结论的分析,结合具体实例，说明了黎曼积分和勒贝格积分的区别与联系.

关键词:黎曼积分；勒贝格积分;可测函数;可积函数.

Ｔｈe ＤiｆfｅrｅnceｓanｄReｌａtions Betｗｅｅn ｔhe Riemann Iｎtegｒ

aｌ and Lévesque Integｒａｌ

Abstraｃt: In ｔhis pａｐeｒ， the deｆinitｉｏｎs of ｔhe Riｅmann ｉnte ｇrａl aｎd Lé

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

1

数学系1302班第五组 07 樊萌 12 韩鸿林 19 兰星 21 李鸿燕 45 王堃 51 武相伶 54 许小亭 57 杨莉 69 赵志阳

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

1、黎曼积分定义：设f?x? 在?a,b?上有界,对?a,b?做分割,T??a?x0?x1???xn?b?,其中令Mi?sup?f?x?,x??xi?,mi?inff?x?,x??xi,?xi?xi?1?xi,s??mi?xi?xi?1?

i?1??nS??Mi?xi?xi?1?,若有

i?1nbb?Sdx??sdx

aa则称f?x?在?a,b?上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

???0,作m?y0?,y1??yn?M,其中yi?yi?1??,M,m分别为f?x?在E上的上界和下界,令Ei??x,yi?1?f?x??yi?,?i?1,2,?n?若lim?yi?1mEi存在,则f?x?勒贝格可积.

??0i?1n3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E上可测,若记f??x??max?f?x?,0?，

f??x??min?

Lebesgue积分与Riemann积分的比较

Lebesgue积分与Riemann积分的比较

20141000449 陈佳龙 20141003908 王珏 20141000194 杜腾飞

摘要 我们知道，当涉及到某种物理量“累积”的时候，我们会立刻想到Riemann积分。 它处理的模型有着“基本”连续的特点，事实上，连续我们已做了推广.即限制在集合上 连续的概念.如Delet函数是间断的，但限制在无理点集或有理点集合是连续的.在经典物 理学中，我们要处理的问题数学化后大多为连续或者间断点不太多的情形。随着量子物 理的发展，所遇到的问题显然以不能够用R积分解决，在此背景下Lebesgue积分得以迅 速发展，俨然已发展为当代分析的主流。建立在勒贝格测度，及勒贝格可测函数上的勒 贝格积分的出现晚黎曼积分近半个世纪，其理论体系在当代得以完善。其优越性高于黎 曼积分，应用更加广泛。本文就黎曼积分与勒贝格积分在定义，性质方面做一些简单比 较，就连续函数，可测函数，黎曼可积函数，勒贝格可积函数，之间的关系以及黎曼可 积函数类与勒贝格可积函数类的势及包含关系进行比较. 关键词： 黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示

光的干涉与衍射的区别及联系

光的干涉现象中，缝宽a远小于光波波长?，每个小缝相当于一个线光源，光的干涉是有限的这几列线光源的相干叠加；而在光的衍射现象中，缝宽a与光波波长?可相比拟，狭缝处波面上的各点都可以认为是发射球面子波的渡源。光的衍射就是从同一波面上发出的这无限多个子波的相干叠加.光的干涉和衍射现象在本质上是统一的。都是相干波的叠加，证明了光的波动性。

当频率相同、相位差恒定、具有相互平行的振动分量的两列光波在空间相遇时，这两列光波就会发生相干叠加。由两个普通独立光源发出的光，不可能具有相同的频率，更不可能存在固定的相位差，不能产生干涉现象。为了获得满足上述相干条件的光波，可以利用一定的光学系统将同一列光波分解为两部分，让它通过不同的路径后又重新相遇，实现同一列光波自身相干涉的目的。

平面波传播时，被前方宽度为a(a与光波波长?相差不多)的开孔所阻挡，故只允许平面波的一部分通过该孔．若按光的直线传播观点，开孔后面的观察屏上只有AB区域内才被平行光照亮，而在AB以外的区域应是全暗的．而事实并非如此，AB外的区域光强并不为零．当障碍物或孔、缝的线度a与波长?相差不多时，光将偏离直线传播而进入障碍物的几何阴影中，这种光绕过障碍物的绕射现象就是

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

C??ydx?xdyx?y? C

A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy2C?4x2?y? D

A.?2? B. 2? C.0 D. ?

4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则

??(x2?y2?z2)ds? D

?A.0 B.

? C. 1? D. 142?

5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C

CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章

不定积分

4.1 不定积分的概念与基本积分公式 4.2 换元积分法 4.3 分部积分法

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

第4 章基本要求

不定积分

了解原函数提出的背景； 了解原函数提出的背景； 理解并掌握不定积分概念,了解不定积分的几何意义； 理解并掌握不定积分概念 了解不定积分的几何意义； 了解不定积分的几何意义 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的性质，熟记基本积分公式； 掌握不定积分的直接积分法,凑微分法 第二换元积分法 掌握不定积分的直接积分法 凑微分法,第二换元积分法 根号 凑微分法 第二换元积分法(根号 中为一次函数)、分部积分法，会求不定积分。 中为一次函数 、分部积分法，会求不定积分。 理解与掌握不定积分和简单应用， 理解与掌握不定积分和简单应用，会用不定积分解决简单的 实际问题。 实际问题。

高等数学 不定积分 换元积分法 分部积分 不定积分在经济问题中的应用 不定积分习题

教学内容: 教学内容:不定积分的概念与基本积分公式 引入

前面我们研究了一元函数微分学的基本问题， 前面我们

高数

§7.2 几何应用 平面图形的面积 平面曲线的弧长 立体体积

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结束

高数

7.2.1 平面图形的面积A、直角坐标系下的面积公式 、y y

y = f ( x)

y = f ( x)y = g ( x)

o

a

x x + xb

x

o

a

x

x

b

x

曲边梯形的面积

两曲边梯形夹的面积

A = ∫a f ( x )dx

b

A = ∫ [ f ( x ) g ( x )]dxa2/24

b

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结束

高数

穿针引线法yf ( x)

y

上边界 f ( x)

y

f ( x)

g( x )

b 0

ab

b

x

0

a

g( x )

x

0 a

cc

b x

下边界A=

∫ f ( x)d xa

A=

∫ [ f ( x ) g( x )] dxa

b

A=

∫ [ f ( x ) g( x )] dx + [ g ( x ) f ( x )] dx ∫a b c

x型区域 图形向 轴投影所围曲边梯形， = | f ( x ) g ( x ) | dx 型区域:图形向 轴投影所围曲边梯形， 型区域 图形向x轴投影所围曲边梯形 ∫a 为积分变量， 以x为积分变量，穿过的曲线方程 y=f(x),g(x)表达式唯一。 唯一。 一般公式 3/24首页 上页 返

《数学分析》教案 第八章 不定积分 石家庄经济学院数理学院

§8.2 换元积分法与分部积分法

教学目标：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．

基本要求：熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法． 教学建议：

(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法． 教学过程：

一、第一类换元法 ——凑微分法：

有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分?，如果凑上一个常数因子2，使成为 11cos2xdx?cosx?2xdx?cos2xd?2x????22

cos2xdx令2x?u则上述右端积分

111cos2xd2x?cosudu?sinu?C??2?2?2

然后再代回原来的积分变量x，就求得原不定积分

?cos2xdx?更一般的，若函数并且复合运算

F????x???1sin2x?C2

F?x?是函数

f?x?的一个原函数，

????x?是可微函数，

有意义，根据复合函数求导法则

?F??

2013年春季

定积分与微积分的基本定理

1、定积分概念

定积分定义：如果函数

f(x)在区间[a,b]上连续，用分点

a?x0?x1?x2???xi?1?xi???xn?b，将区间[a,b]等分成几个小区间，在每一个小区间[xi?1,xi]上任取一点

?i(i?1,2,?,n)，作和

f(?i)?xi??b?af(?i)ni?1，当n??时，上述和无限接近某个常数，

n[x,x],]这个常数叫做函数f(x)在区间[ab上的定积分，记作i?1i?baf(x)dx，即

?baf(xdx)?b?alimf?i()?n??ni?1，这里a、b分别叫做积分的下限与上限，区间[a,b]叫做积分区间，函

n数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.

2、定积分性质 （1）（2）（3）

???babacakf(x)dx?k?f(x)dxab；

b[f1(x)?f2(x)]dx??bf(x)dx?a1?af2(x)dxbf(x)dx??bcf(x)dx??af(x)dx(a?c?b)3、微积分基本定理

'f(x)[a,b]