极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： b?f(x

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： b?f(x

旋转坐标公式推导

x' cos y' sin

其中 sin x cos y x,y表示物体相对于旋转点旋转 的角度之前的坐标,x',y'表示物体逆时针旋转 后相对于旋转点的坐标

从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕着另外一点旋转一定角度后的坐

,,,,,cd, 标，例如：A(x,y)绕B(a,b)旋转 角度后的位置为C(c,d)，则xyab

有如下关系式：

1．设A点旋转前的角度为 ，则旋转(逆时针)到C点之后角度为

2．求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/Sin( ) x/Cos( )

3．求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/Sin( ) c/Cos( )

4．显然dist1=dist2，设dist1=R所以：

R=y/Sin( ) x/Cos( ) d/Sin( ) c/Cos( )

5．由三角函数两角和差公式知：

旋转坐标公式推导

n ) Si(

s ) Co(

所以得出：

S(i n)C(o s)C ( o)sC ( o)s C(o )s (S i)n SinSin

c=RCos( ) RCos( )Cos( ) RSin( )Sin( ) xCos( ) ySin(

第二节 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念

第十章

与性质二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系

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一、 对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例: 变力沿曲线所作的功.

y

设一质点受如下变力作用

L A

B

F ( x, y) ( P( x, y) , Q( x, y))动过程中变力所作的功W. 常力沿直线所作的功

在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, 求移 解决办法: “大化小” “常代变” “近似和” “取极限”机动 目录 上页 下页 返回 结束

x

FA

W F AB cos B

F AB

1) “大化 小”. 把L分成 n 个小弧段, F 沿所做的功为n

则k 1

y

F ( k , k )

W Wk2) “常代变” 有向小弧段 近似代替, 在 用有向线段 上任取一点

L AM x k k1

M y kk

B

x则有

Wk F ( k , k ) M k 1M k P( k , k ) xk Q( k , k ) yk机动 目录 上页 下页 返回 结束

3) “近似和”

W P( k , k ) xk Q(ξ k

特殊解题方法

一、等效概念的应用

例1、一对火线和零线从一堵正方形墙上走过，墙的正中央开了一扇正方形木窗（如图1）。火线在A处和零线在B处发生漏电，如果测得流过下边墙上的电流约200ｍA，那么总的漏电电流约为________________ｍA。 解：漏电电流的大小是由A、B间的漏电电阻决定的，其电阻值可看做是自A经窗户上沿的墙至B的漏电电阻R与自A经窗户的左墙到下墙，再经右墙至B处的漏电电阻R下的并联值，即

R漏＝（R上·R下/R上＋R下）＝（R·3R/R＋3R）＝（3/4）R。

由分流公式I下＝（R上/R上＋R下）I总＝（I总/4），得总漏电电流为I总＝800ｍA。

例2、正方形薄片电阻片如图2所示接在电路中，电路中电流为I；若在该电阻片正中挖去一小正方形，挖去的正方形边长为原电阻片边长的三分之一，然后将带有正方形小孔的电阻片接在同一电源上，保持电阻片两端电压不变，电路中的电流I′变为________________。

解：由于薄片两边嵌金属片，将正方形薄片的电阻可等效为图3所示。设每小块的电阻为R，则薄片总电阻是3个3R电阻的并联值，其值也是R。现从中挖出一块，此时薄片等效电阻如图4所示。显然其阻值是（7R/6），故I′＝U/（7

坐标系旋转公式的运用

在卧式加工中心上，坐标系换算是件头痛的事。计算过程中有工作台的旋转还有坐标系的平移计算麻烦容易去错。工作台旋转90度180度270度时计算还可以，当工作台旋转30度45度60度时计算就更麻烦了。有时两三个小时还算不出来，最后算出来也不知道是否正确。如果是1度2度3度有可能就算不出来了。

如AD系列的手动中心架，AD25主轴箱的45度斜面---------就用到30度45度坐标系换算。

为了解决这个问题，我推算过也查阅过大量的质料还请教过很多老师傅。最后选用公式。有了公式计算起来也挺麻烦。把公式写成宏程序。每次对完刀后就不用计算了，调用这个宏程序来完成坐标系的平移和旋转。这样不但节约了时间还减少了出错的几率同时还使程序一目了然。

如坐标系平移可写成G100 A2.U50.V50.W50.就可以完成坐标系平移。

坐标系的旋转和平移可写成G100A2.B25U50.V50.W50.就可以完成坐标系的旋转和平移。G100调用宏程序，宏程序自动提取G54的数值进行运算（加入R55提取G55，加入R59提取G59）.A2就是把运算结果输入G55(A1.---A6.运算结果输入G54---G59)。B25就是坐标系的旋转度数（任意度）。U50.

第十章 曲线积分与曲面积分参考答案

第十章 曲线积分与曲面积分答案

一、选择题 1．曲线积分

?x??f(x)?e?sinydx?f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)有一阶连续偏导?L数，且f(0)?0，则f(x)? B

A.

1(e?x?ex) B. 1(ex?e?x) C. 1(ex222?e?x) D.0 2．闭曲线C为x?y?1的正向，则

C??ydx?xdyx?y? C

A.0 B.2 C.4 D.6 3．闭曲线C为4x2?y2?1的正向，则

?ydx?xdy2C?4x2?y? D

A.?2? B. 2? C.0 D. ?

4．?为YOZ平面上y2?z2?1，则

??(x2?y2?z2)ds? D

?A.0 B.

? C. 1? D. 142?

5．设C:x2?y2?a2，则?(x2?y2)ds? C

CA.2?a2 B. ?a2 C. 2?a3 D. 4?a3 6. 设?为球面x2?y2?z2?1

高等数学

六、选择题（共 10 小题，）

1、

2、

3、设OM是从O（0，0）到M（1，1）的直线段，则与曲线积分I x2 y2

OM

e

ds不

相等的积分是

(A)

1

x

e

2dx (B)

1

y

0e

22dy

(C)

2

erdr

(D)

1

r0

e2dr

答（ ） 4、L为从A（0，0）到B（4，3）的直径，则 L

(x y)ds

（A） 4

0(x 3

4

x)dx （B）

4

30

(x

4x) 916

dx （C）

3

(

4

3

y y)dy

（D）

3

(

493y y) 16

dy

答：（ ）

5、C为y x2上从点（0，0）到（1，1）的一段弧。则I

L

yds ______________。（A）

1

0 4x2dx （B）

1

y ydy （C）

1

x 4x2dx

（D）

1

1

y

y

dy

答：（ ）

6、

7、设L为下半圆周 . 将曲线积分 化为定积分的正确结果是

8、设L是圆周 x2+y2=a2 (a>0)负向一周，则曲线积分

答 ( )

2xdx ydy

9、设L是 |y|=1－x2表示的围线的正向，则 22L2x y

(A) 0. (C) 2 . (B) 2π. (D) 4ln2.

答 ( )

10、若是某二元函数的全微分，则a,

第十三章 曲线积分与曲面积分

定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.

第一节 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为y?f?x?，x??a,b?，其上每一点的密度为??x,y?．

如图13-1我们可以将物体分为n段，分点为

M1,M2,...,Mn, 每一小弧段的长度分别是?s1,?s2,...,?sn．取其中的一小段弧Mi?1Mi来分

图13-1

析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点

??i

卧加旋转坐标系计算

示例1

B正向60度点旋转为0度零点计算卧加坐标旋转坐标计算

参数名

原坐标系号参数1

X

Y原坐标偏置Z

B

X

Y原坐标系中点坐标Z

B

新坐标系号

该点新坐标系坐标新坐标系偏置2XYZBX

Y

Z

B数值10.0000.0000.0000.000144.2610.000-116.71160.00020.0000.0000.0000.0000.0000.000-33.42260.000程序参数备注H 或VACOD不输入则为当前坐标系,注意不能为零VZOFX[1]VZOFY[1]VZOFZ[1]VZOFB[1]XYZB该点新坐标系下坐标将为B0PIJK不需要VZOFX[2]VZOFY[2]VZOFZ[2]VZOFB[2]默认为0默认为0默认为0必须为0

机床规格参数

B轴旋转中心X

Z0.000-200.000

卧加旋转坐标系计算

卧加旋转坐标系计算

示例2

B正向120度点旋转为0度零点计算卧加坐标旋转坐标计算

参数名

原坐标系号

原坐标偏置参数1XY

Z

B

X

Y

Z

B

2

X

Y

Z

B

X

Y

Z

B数值10.0000.0000.0000.000144.2610.000-283.289120.00020.0000.0000.0000.0000.0000.000-33.422120.000