圆中的最值问题解法

中考数学几何最值问题解法

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值：典型例题：例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】

A．2?1 B．5 C．【答案】A。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，

∵OD≤OE+DE，

∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=DE

拔高专题 圆中的最值问题

一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考 图（1）两点之间线段 最短 ； 图（2）垂线段 最短 。 .在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条

“一师一优课”

《动态最值问题——圆内最值问题》教学设计

西安爱知中学 郭晏铖

【学情分析】

在运动变化中求最值的问题灵活性较强，涉及的知识面较广，对学生思维能力要求较高，经常令学生束手无策。因此如何正确快速的求解成为学生学习中的难点。本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,以及点和圆、直线和圆的位置关系。四班的同学在年级中属中等偏上水平，对于基本知识的学习掌握的较快，但缺乏应用的灵活性。与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索，在训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力 【教学方法】

对于圆中求最值问题,学生经常感到无从下手，处理此类题目首先要明确题目中运动的对象，然后就是根据按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图象。现在学生普遍欠缺作图能力，因此我在题目的设置上也遵循由易到难的原则，从给出图形到简单作图再到复杂作图，让学生在这个过程中体会作图的重要性。

任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系，这也是解决这类问题的关键。在设计时我也注重设计情境，引导学生自己挖掘题目中的信息，找到这些关键点。从例1中的定量过渡到不变的位置关系再到不变的数量关系，剥茧抽丝，层层递进，从而体会探究的乐趣。

动点最值问题解法探析

一、问题原型：

（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法：

对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。

三、一般结论：

(

在线段

上时取等号)（如图1-2）

、

线段和最小，常见有三种类型：

（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小

通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

1.两个定点+一个动点。

如图1-3，作一定点

关于动点

所在直线的对称点位置，最小距离和

，线段。

的边长为，是

的中点，（

是另一定点）

与的交点即为距离和最小时动点

例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形是对角线

上一动点，则

的最小值是 。

解析：

与

关于直线

对称，连结

，则

。

连结,在中，，

故

，则

的最小值为

的对

动点最值问题解法探析

一、问题原型：

（人教版八年级上册第42页探究）如图1-1，要在燃气管道上修建一个泵站，分别向两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题 二、基本解法：

对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。

三、一般结论：

(

在线段

上时取等号)（如图1-2）

、

线段和最小，常见有三种类型：

（一）“|定动|+|定动|”型：两定点到一动点的距离和最小

通过轴对称，将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个，映射到直线的另一侧，当动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时，由“两点之间线段最短”可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。

1.两个定点+一个动点。

如图1-3，作一定点

关于动点

所在直线的对称点位置，最小距离和

，线段。

的边长为，是

的中点，（

是另一定点）

与的交点即为距离和最小时动点

例1（2006年河南省中考题）如图2，正方形是对角线

上一动点，则

的最小值是 。

解析：

与

关于直线

对称，连结

，则

。

连结,在中，，

故

，则

的最小值为

的对

中学数学杂志 2008年第12期 ZHONGXUESHUXUEZAZHI FB的延长线交于点H.

因为NABC=90b,AB=BC,所以vABFTvBCH.

所以BH=AF=6,CH=BF=8.

所以OG=FH=8+6=14,CG=8+4=12.所以所求C点的坐标为(14,12).

(3)过点P作PMLy轴于点M,PNLx轴于点N,则vAPMVvABF.

所以==所以==.所

ABAFBF1068以AM=

t,PM=.t55

点评 不难看出,此题也是由/2006年长春压轴题0经过精心改编而来,而且秉承原试题的立意、

所考查数学知识、思想方法和数学素养.感觉试题有了变化:将原二次函数图像改编为一次函数图像,降低了信息的解读和获取的难度;第(1)问/,,请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度0中的表述给考生以善意的提醒;第(1)问如此设置可使得考生入手更显容易;第(4)问将原来/求满足NOPQ=90b的点的个数0改编为/何时两条线段相等0的问题,改善了考生寻求解题思路的环境;将第(4)问变成了附加题,既能让大部分学生减轻了思想上的负担和解题的压力,又能让部分数学尖子的考生有了展示才华的机会.整个试题越发越显得平和和人性化,更有利于考生

圆中最值问题

类型一 圆上一点到直线距离的最值问题

22(x?3)?y?1上任一点，则PQ的最小例1 已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：

值为 .

变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x?3)2?y2?1上任一点，则SVQAB的最小值为 .

变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：(x?3)2?y2?1引切线，则切线长的最小值为

变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则当PC= 时，?APB最大．

变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 .

例2已知圆C：x2?y2?2x?4y?3?0，从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标．

y C O x

类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）

例3若实数x、y满足x2?y2?2x?4y?0，求x-2y的最大值． 如在上例中，改为求

y?1，(

【2013年中考攻略】专题8：几何最值问题解法探讨

锦元数学工作室 编辑

在平面几何的动态问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差）的最大值或最小值问题，称为最值问题。

解决平面几何最值问题的常用的方法有：（1）应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值；（2）应用垂线段最短的性质求最值；（3）应用轴对称的性质求最值；（4）应用二次函数求最值；（5）应用其它知识求最值。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其解法。

一、应用两点间线段最短的公理（含应用三角形的三边关系）求最值： 典型例题：

例1. （2012山东济南3分）如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为【 】

A．2?1 B．5 C．14555 D．52 【答案】A。

【考点】矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。 【分析】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，

∵OD≤OE+DE，

∴当O、D、E三

数学组卷圆的最值问题

一．选择题（共7小题） 1．（2014春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是（ ） A．m≥0 B．

C．

D．

2．（2013?武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ） A．3

B．6

C．

D．

3．（2014?武汉模拟）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（ ）

A．2 B．3 C． D．3 4．（2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P 在弧AD上运动时，r的值满足（ ）

A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 D．r=3 5．（2010?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别

“与圆有关的最值问题”教学案例 余浩平

教学背景： 本节课是与圆有关的一节复习课，由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识，因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练，为后面的教学奠定了基础。在随后的教学中，采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。

教学目标：

从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。

重点与难点：

学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。

教学过程： 一、 引入新课 练习：

已知圆x2?y2?8x?2y?12?0内一点A(3,0)，求经过点A的最长弦和最短弦所在的直线方程。

二、 新课

例: 已知圆的方程x2?y2?2及一点P(2,4)，求圆上的动点与点P连线斜率

的最值？

题变: 将上面例题中的点P(2,4)改为P(0,4)，则圆上的动点与点P连线斜率的

最值是否存在？若存在求出