求数列通项的方法总结

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

1

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例

求数列通项公式的11种方法方法

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法（少用）

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二．四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等级差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

1

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n，a1?1，求数列{an}的通项公式。 例

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1 已知数列{an}满足an?1?2an?3?2n，a1?2，求数列{an}的通项公式。 解：an?1?2an?3?2n两边除以2n?1，得以

a121an?12n?1?an2na?1anan33则n，故数列?，??{}是n?1nn22222an2n?22以?1为首项，

32为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

3212)2。

an?12n?1n?1?(n?1)32，

所以数列{an}的通项公式为an?(n?评注：本题解题的关键是把递推关系式an?1?2an?3?2n转化为

{an2}是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出nan2n?an2n?32，说明数列

?1?(n?1)32，进而求出数列

{an}的通项公式。

二、利用

an?nn?S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)

n例2．若S和T分别表示数列{a}和{b}的前n项和，对任意正整数

nan??2(n?1)，Tn?3Sn?4n.求数列{bn}的通项公式；

解

?an??2(n?1)?a??41d??2Sn??n2?3n?Tn?3Sn?4n??3n2?5n： …

…2分 当n?1时,T1?b1??3?5??8 当n?2时,bn?Tn?Tn?1??

观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结! 观察,归纳,总结!

1 数列的通项公式

教学目标:使学生掌握求数列通项公式的常用方法. 教学重点:运用叠加法、叠乘法、构造成等差或等比数列及运用1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式. 教学难点:构造成等差或等比数列及运用

1(2)n n S S n -=-≥n 公式a 求数列的通项公式的方法. 教学时数:2课时.

教 法:讨论、讲练结合.

第一课时

一．常用方法与技巧：

（1）灵活运用函数性质，因为数列是特殊的函数.

（2）运用好公式： 1

1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-≥?

快速练习:

1.写出下面数列通项公式（记住）：

1,2,3,4,5,… =

n a ______________.

1,1,1,1,1,… =

n a ______________.

1,-1,1,-1,1,… =

n a ______________.

-1,1,-1,1,-1,… =

n a ______________

选填,简要介绍文档的主要内容,方便文档被更多人浏览和下载。

1 用不动点法求递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1(a 2+c 2≠0)的通项 储炳南

（安徽省岳西中学 246600）

1．通项的求法 为了求出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1的通项，我们先给出如下两个定义： 定义1：若数列{n t }满足)(1n n t f t =+，则称)(x f 为数列{n t }的特征函数. 定义2:方程)(x f =x 称为函数)(x f 的不动点方程，其根称为函数)(x f 的不动点. 下面分两种情况给出递推数列d

t c b t a t n n n +?+?=+1通项的求解通法. (1)当c=0,时, 由d t c b t a t n n n +?+?=

+1d b t d a t n n +?=?+1, 记k d a =,c d b =，则有c t k t n n +?=+1 （k ≠0）,

∴数列{n t }的特征函数为)(x f =kx+c,

由kx+c=x ?x=

k c -1,则c t k t n n +?=+1?)1(11k c t k k c t n n --=--+ ∴数列}1{k

c t n

求数列的通项公式是高考重点考查的内容,作为两类特殊数列----等差数列•等比数列可直接根据它们的通项公式求解,但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列,之后再应用各自的通项公式求解,体现化归思想在数列中的具体应用。

用构造法求数列的通项公式

求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。 例1:数列 an 中,a1 1,an 1 2an 1则an ( ) A．2n B．2n 1 C．2n 1 D．2n 1 解法1：an 1 2an 1

an 1 1 2an 2 2(an 1)

又a1 1 2 an 1 1an 1

2

an

1 是首项为2公比为2的等比数列

n 1

an 1 2 2 2, an 2 1,所以选C

nn

解法2

归纳总结：若数列 an 满足an 1 pan q(p 1,q为常数），则令an 1 p(an )来构造等比数列，并利用

求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）

总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：

累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、

换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、

不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法

二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、

等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。

四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。

五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。

一、累加法

1．适用于：an?1?an?f(n) ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若an?1?an?f(n)(n?2)，

a2?a1?f(1)则

a3?a2?f(2)? ?an?1?an?f(n)

两边分别相加得 an?1?a1??f(n)

k?1n例1 已知数列{an}满足an?

分类,求解方法

用构造法求数列的通项公式

重庆市綦江县东溪中学 任德辉

求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。

一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。

1.构造等差数列

例1、（2009湖北）已知数列{an}的前n项和Sn an ()1

2n 1 2(n为正整数），令

bn 2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。

解：a1 1,b1 21a1 1 2

1

2n 1∵Sn an ()1 2， ∴ Sn 1 an 1 ()n 2 2

nn 1n ∴2an 1 an () 等式两边都乘以2得2an 1 2an 1， 1

2n

即bn 1

三.数列的通项的求法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，

2．求数列?an?的通项公式. S5?a5解：设数列?an?公差为d(d?0)

2∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3?a1a9，

即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d 得：a1?33333，d? ∴an??(n?1)??n 55555点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）

后再写出通项。 练一练：已知数列3

1111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________； 481632S,(n?1)an?12.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：。

Sn?Sn?1,(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?1．求数列?an?的通项公式。 点评：利用公式an????Sn????????????????n?1求解时，要注意对n分类讨论，但若

?Sn?Sn?1???????n?2能合写时一定要合并．

练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an；

②数列{

三.数列的通项的求法

1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，

2．求数列?an?的通项公式. S5?a5解：设数列?an?公差为d(d?0)

2∵a1,a3,a9成等比数列，∴a3?a1a9，

即(a1?2d)2?a1(a1?8d)?d2?a1d 得：a1?33333，d? ∴an??(n?1)??n 55555点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）

后再写出通项。 练一练：已知数列3

1111,5,7,9,?试写出其一个通项公式：__________； 481632S,(n?1)an?12.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：。

Sn?Sn?1,(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?1．求数列?an?的通项公式。 点评：利用公式an????Sn????????????????n?1求解时，要注意对n分类讨论，但若

?Sn?Sn?1???????n?2能合写时一定要合并．

练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an；

②数列{