圆锥曲线最值与范围问题

圆锥曲线专题：圆锥曲线中的最值和范围问题

热点透析

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；典型例题:<<考一本>>

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 突破重难点

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例1】已知P点在圆x+(y-4)=1上移动，Q点在椭圆92

2

解：先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|

222

的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9

圆锥曲线的范围问题

x221.设P是椭圆2?y?1(a?1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的动点，求|PQ|的最大值．

a

2.设F1,F2分别是椭圆的左右焦点,若是P椭圆上的一个动点，求|PF1||PF2|的最大值和最小值．

3.在平面直角坐标系中，已知点F(2,2)及直线l:x?y?2?0，曲线C1是满足下列两个条件的动点P(x,y)的轨迹：①PF?2d,其中d是P到直线l的距离；

?x?0?.②?y?0?2x?2y?5?

(1) 求曲线C1的方程;

x2y2(2) 若存在直线m与曲线C1、椭圆C2:2?2?1(a?b?0)均相切于同一点，求椭圆C2ab离心率e的取值范围.

一、利用题设中已有的不等关系建立不等式

2．过点B(0,1)的直线l1交直线x?2于P(2,y0)，过点B?(0,?1)的直线l2交

x0?y0?1，l1?l2?M. 2（1）求动点M的轨迹C的方程；

(2)设直线l与C相交于不同的两点S、T，已知点S的坐标为(－2,0)，

x轴于P?(x0,0)点，

点Q(0，m)在线段ST的垂直平分线上，且QS?QT≤4，求实数m的取值范围.

1

解 (1)由题意，直线l1的方程是y??1?y0xx?1，∵

圆锥曲线专题：圆锥曲线中的最值和范围问题

热点透析

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；典型例题:<<考一本>>

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 突破重难点

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例1】已知P点在圆x+(y-4)=1上移动，Q点在椭圆92

2

解：先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|

222

的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9

圆锥曲线最值问题求解的六种策略

上海中学数学?2011年第5期35 圆锥曲线最值问题求解的六种策略 317523浙江省温岭市泽国中学王强 圆锥曲线中最值问题是高中数学的重点 内容,是高考中的一类常见问题,由于它能很 好地考查学生的逻辑思维能力,体现了圆锥 曲线与三角,函数,不等式,方程,平面向量等 代数知识之间的横向联系,使问题具有高度 的综合性和灵活性.圆锥曲线中的最值问题, 通常有两类:一类是有关长度,面积,角度等 的最值问题;另一类是圆锥曲线中有关几何 元素的最值问题.这些问题往往通过回归定 义,结合几何知识,建立目标函数,利用函数 的性质或不等式等知识以及观图,设参,转 化,替换等途径来解决. 一

,利用圆锥曲线定义

圆锥曲线的定义统一刻画了动点与两定点 距离和或差的不变性,或者动点到定点,定直线

距离比的不变性.利用这种不变关系将动态与 静态结合,解题策略是转化思想,通过”化曲为 AF=,又AG=,易得EC=4,FG=, 046√6 1

由余弦定理可得cos//AFG一一÷,故二面角’ A—DE～C的大小为120..

点评:思路3抓住DE_l-面BCE这一有利 条件,依据”一条直线垂直于两个平行平面中的 一

个平面,那么它也垂直于另

第四讲 圆锥曲线中的定点与定值问题 1.如图，过圆x2+y2=4与x轴的两个交点A、B作圆的切线AC、BD，过圆上任意一点H作圆的切线，交AC、BD与C、D两点，设AD、BC的y交点为R. D(1)求动点R的轨迹E的方程； H(2)过曲线E的右焦点作直线l 交曲线E于M、N两点，交yC轴与点P，记PM??1MF,PN??2NF.求证：λ1+ λ2是定值. (设点法)

2. 已知A、B分别是直线y?P是AB的中点．

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点Q(1,0)作直线l（与x轴不垂直）与轨迹C交于M、N两点，与y轴交于点R．若

RAOBx33x和y?? x上的两个动点，线段AB的长为23，33RM??MQ，RN??NQ，证明：???为定值．(设直线方程法)

1

x2y2??1的左、右顶点为A、B，3. 在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95右焦点为F.设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y1?0,y2?0.

（1）设动点P满足PF2?PB2?4,求点P的轨迹； （2）设x1?2,x2?13，求点T的坐标； （3）设t

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

第九章 利用点的坐标处理解析几何问题 解析几何

利用点的坐标处理解析几何问题

有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入”步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂，然后以点的坐标作为核心去处理问题。 一、基础知识：

1、韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备结构”，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理”的实质是什么？实质是“整体代入”的一种方式，只是因为在解析几何中，一些问题的求解经常与x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2相关，利用“韦达定理”可进行整体代入，可避免因为这几个根的形式过于复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理”并不是解析几何的必备工具，只是在需要进行整体代入时，才运用的一种手段。 2、利用点坐标解决问题的优劣：

（1）优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受

x1?x2,x1x2,y1?y2,y1y2形式的约束

（2）缺点：有些方程的根过于复杂（例如用求根公式解出的根），从而使得点

第32练 直线与圆锥曲线的综合问题

[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题，从近几年的高考试题来看，除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外，在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高，但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中，主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题，有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来；对于方程的求解，不要忽视轨迹的求解形式，后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查，探索类和存在性问题考查的概率也很高.

常考题型精析

题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用

x2y2例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，短轴的一个端点为

ab4

M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点.若AF＋BF＝4，点M到直线l的距离不小于，5则椭圆E的离心率的取值范围是________________.

x2y22

(2)设焦点在x轴上的椭圆M的方程为＋2＝1 (b>0)，其离心率为.

4b2①求椭圆M的方程；

②若直线l过点P(0,4)，则直线l何时与椭圆M相交？

专题限时集训(十七)A

[第17讲 圆锥曲线热点问题]

(时间：10分钟＋35分钟)

1．抛物线y＝4x上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是( )[来源:学科网ZXXK]

A．(1,2) B．(0,0) 1?C.??2，1? D．(1,4)

2．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与

→→→→

点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA，且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是( )

3

A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0) 23

B.x2－3y2＝1(x>0，y>0) 2

3

C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)

23

D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)

2

1x2y2

3．已知直线y＝x与双曲线－＝1交于A、B两点，P为双曲线上不同于A、B的点，

294

当直线PA，PB的斜率kPA，kPB存在时，kPA·kPB＝( )

4A. 91B. 22C. 3

D．与P点位置有关

x2y2

4．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为

2516

(6,4)，则|PM|＋|PF1|的最大值为________．

2222

1．与两圆x＋y＝1及x＋y－8x＋12＝0都

圆锥曲线问题总结答案

一、 圆锥曲线的定义及应用

例1：分析⑴可利用椭圆定义、三角形的三边间关系及不等式性质求最值；题⑵是圆锥曲线与数列性质的综合题,可根据条件先求出双曲线的半实轴长a的值,再应用双曲线的定义与等差中项的知识求|AB|的值.

解：⑴设椭圆右焦点为F1,则|MF|?|MF1|?6,∴|MA|?|MF|?|MA|?|MF1|?6.又 ?|AF1|?|MA|?|MF1|?|AF1|(当M、A、F1共线时等号成立).又

|AF1|?2,∴|MA|?|MF|?6?2, |MA|?|MF|?6?2.故|MA|?|MF|的最大值为6?2,最小值为6?2.

?2b?6?7?c ⑵依题意有??,解得a?23.∵A、B在双曲线的左支上,∴|AF2|?|AF1|?2a,

a2?222?c?a?b?|BF2|?|BF1|?2a,∴

|AF2|?|BF2|?(|AF1|?|BF1|)?4a.又

|AF2|?|BF2|?2|AB|,|AF1|?|BF1|?|AB|.

∴2|AB|?|AB|?4a,即|AB|?4a.∴|AB|?4?23?83.

小结：在本例的两个小题中,⑴正确应用相应曲线的定义至关重要,否则求解思路受阻；⑵忽视双曲线定义中的两