函数的恒成立问题与存在性问题

1、（12年.沈阳25题）已知，如图，在平面直角坐标系中,点A坐标为(-2，0),点B坐标为（0，2），点E为线段AB上的动点(点E不与点A，B重合)，以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC=AB，抛物线y=?2x2+mx+n的图象经过A，C两点.

（1） 求此抛物线的函数表达式； （2） 求证：∠BEF=∠AOE；

（3） 当△EOF为等腰三角形时，求此时点E的坐标；

（4） 在（3）的条件下，当直线EF交x轴于点D，P为（1） 中抛物线上一动点，直线PE交x轴于点G，在直线EF上方的抛物线上是否存在一点P，使得△EPF的面积是△EDG面积的（22?1） 倍.若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ．．

温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答.

2、（12毕节27） （本题16分）如图，直线l1经过点A（-1，0），直线l2经过点B(3,0), l1、l2均为与y轴交于点C(0,?3),抛物线y?ax2?bx?c(a?0)经过A、B、C三点。

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）抛物线的对称轴依次与x轴交于点D、与l2交于点E、与抛物线交于点F、与l1交于点G。求证

函数中的恒成立、恰成立和能成立问题

教学目标： 结合具体函数，讨论关于任意与存在性问题的一般解题方法

过程与方法 通过研究具体函数及其图象，将任意与存在性问题转化为函数值域关系或最值关系 问题：

已知函数f(x)?2k2x?k,x?[0,1]，函数g(x)?3x2?2(k2?k?1)x?5,x?[?1,0]， 当k?6时，对任意x1?[0,1]，是否存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立.若k?2呢？ 变式1：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]， g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

f(x)的值域是g(x)的值域的子集即可.

变式2：存在x1?[0,1] x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

g(x)的值域与f(x)的值域的交集非空. 变式3：对任意x1?[0,1]，存在x2?[?1,0]，使得g(x2)?f(x1)成立，求k的取值范围.

gmin(x)?fmin(x)

《小结》： 对函数中的存在性与任意性问题:相等关系转化为函数值域之间的关系，不等关系转化为函数的最值大小.

x2?2x?a,对任意x?[1,??),f(x)?0恒成立，例1：（1）已知f(x)?求实数a的

平行四边形性质：

1、边：对边平行且相等；2、角：对角相等，邻角互补； 3、对角线：互相平分。

1、在平面直角坐标中，有点O(0,0), A(-1,1),B(2,2). (1)求点C,使四边形OABC是平行四边形.y

Cx

(2)求点C,使以O、A、B、C为顶点的四边 形是平行四边形.y

C1

(2,2)

(-1,1)C2x

(0,0)C3

菱形性质：1、边：对边平行，邻边相等； 2、角：对角相等，邻角互补； 3、对角线：互相平分，互相垂直。

2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在 直线DE上，在平面直角坐标系中求点P,使 以O、D、P、Q为顶点的四边形是菱形.y

(0,4) E

.

(0,0)

. .A(4,0) D. .P

(一)当以已知线段OD为对角线 作OD的垂直平分线，交 直线DE于Q,x轴于A。 ∴OA=2,即A(2 , 0) Q(2,2) 设DE所在直线为：y=kx+bx

将D(4,0)和E(0,4)代入 ∴DE直线为：y = - x + 4 在y= - x + 4 中，令x=2, 解得y=2,∴Q(2 , 2)

2、如图，D(4,0)和E(0,4),若点Q在直线DE上，在 平面直角坐标系中求点P,使以O、D、P、Q为顶点的四 边形是菱形. y

P1

Q3

反比例函数中的存在性问题专练

姓名：

一、等腰三角形的存在性问题 k1、已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+k，2xb+k+2）两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点kA、B的坐标：（3）根据函数图象，求不等式＞2x-1的解集；（4）在（2）的条件2x下，x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

二、平行四边形存在性问题

1、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函数y=将反比例函数y=k的图象上．（1）求AB的长；（2）当矩形ABCD是正方形时，xkk的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y= 1的图象（如图2），求xxk1的值；（3）直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交在条件（2）下，第一象限内的双曲线y=k于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？x

k2、已知：如右图，已知反比例函数y=和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图像经

2x若能，请求出点M的坐标；若不能

二次函数的存在性问题（相似三角形）

1、已知抛物线的顶点为A(2，1)，且经过原点O，与x轴的另一交点为B。

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

(3)连接OA、AB，如图②，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

y y

A A x x B B O O

图① 图②

2、设抛物线y?ax?bx?2与x轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C.且∠ACB=90°．

2 1

(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A的直线y?x?1交抛物线于另一点E．若点P在x轴上，以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似，求点P的坐标．(3)在(2)的条件下，△BDP的外接圆半径等于________________．

解：(1)令x=0，得y=－2 ∴C(0，一2)．∵ACB=90°，CO⊥AB,．∴ △AOC ∽△COB,．

OC222∴OA·OB=OC；∴OB=??4 ∴m=4．

OA12

y

6 4 2

总结的较为充分,望参考

二次函数与几何综合类存在性问 题

总结的较为充分,望参考

二次函数与三角形、四边形、圆和相似三角形常常综 合在一起运用，解决这类问题需要用到数形结合思想，把 “数”与“形”结合起来，互相渗透.存在探索型问题是 指在给定条件下，判断某种数学现象是否存在、某个结论 是否出现的问题.解决这类问题的一般思路是先假设结论 的某一方面存在，然后在这个假设下进行演绎推理，若推 出矛盾，即可否定假设；若推出合理结论，则可肯定假 设.

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

考向互动探究探究一 二次函数与三角形的结合

例1 如图41-1,对称轴为直线x=-1的抛物线y=ax2+bx

+c(a≠0)与x轴的交点为A、B两点，其中点A的坐标为(-3,0). (1)求点B的坐标； (2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点. ①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC,求点P的坐标； ②设点 Q 是线段 AC上的动点，作 QD⊥x 轴交抛物线于点 D, 求线段QD长度的最大值.考点聚焦 归类探究 回归教材

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第41课时┃二次函数与几何综合 类存在性问题

例题分层分析 (1)抛物线的解析式未知，不能通过解 方程的

莅 临 指 导

热 烈 欢 迎 专 家

关于x的不等式 x 25 ax在 1, 3 上恒成立，2

求实数 a 的取值范围。思路1:只须不等式左边的最小值不小于右边最大值； 思路2 :把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含参数a,求函数的最值；

思路3:把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像。

不等式的应用 ——含参数恒成立问题制作人: 雷凯岚

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。

从 数 的 角 度

ax 2 0 ax 2 2 结论：(变量分离法)将不 a 2 又 x 0 等式中的两个变量分别置于 x f x x 在 x 1, 2 上是减函数

2 a x

=2

max

不等号的两边，则可将恒成 立问题转化成函数的最值问 题求解。

a 2

a f x ,则 a f x max 若 a f x ,则 a f x min若

当x 1 , 2 时ax 2 0恒成立，求 a 的取值范围 。当x 1, 2

,

f ( x) ax 2 0恒

专题五 解析几何

例题、 (2011年·辽宁)如图,已知椭圆C1的中心在原 点O,长轴左、右端点M、N在x轴上,椭圆C2的短轴 为MN,且C1,C2的离心率都为e,直线l⊥MN,l与C1交于 两点,与C2交于两点,这四点按纵坐标从大到小依次 为A,B,C,D.1 (1)设e= ,求|BC|与|AD|的比值; 2

(2)当e变化时,是否存在直线l,使得 BO∥AN?并说明理由.

【解析】(1)因为C1,C2的离心率相同,故依题意可设x2 y2 b2 y 2 x2 C1: + 2=1,C2: + =1,(a>b>0). a2 b a4 a2

设直线l:x=t(|t|<a),分别与C1,C2的方程联立, 求得A(t,1a b2 a t ),B(t, 2

b a

2 a t ). 2

当e= 时,b= a,分别用yA,yB表示A,B的纵坐标,可知 2 |BC|∶|AD|=2 | yB | 2 | yA |

3 2

b2 = 2 a

=

3 4

(2)t=0时的l不符合题意,t≠0时,BO∥AN当且仅当BO的斜率kBO与 AN的斜率kAN相等,b 2 2 a t a t

也可用向量表示更恰当。 也可用向量表示更恰当。

即

=

a 2 2

2018年中考数学复习《热点专题》

1 初中常见的数学思想

1. (2017·包头)若等腰三角形的周长为10 cm，其中一边长为2 cm、则该等腰三角形的底边长为( )

A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm

2. ( 2017·荆州)为配合荆州市“我读书，我快乐”读书节活动，某书店推出一种优惠卡，每张卡售价20元，凭卡购书可享受8折优惠.小慧同学到该书店购书，她先买优惠卡再凭卡付款，结果节省了10元.若此次小慧同学不买卡直接购书，则她需付款( ) A. 140元 B. 150元 C. 160元 D. 200元

3. ( 2016·淄博)如图是由边长相同的小正方形组成的网格, A,B,P,Q四点均在正方形网格的格点上.线段AB,PQ相交于点M.则图中?QMB的正切值是( )

A.

1 B. 1 C. 2

3 D. 2

4. (2016·盐城)李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是

导数中恒成立问题（最值问题）

恒成立问题是高考函数题中的重点问题，也是高中数学非常重要的一个模块，不管是小题，还是大题，常常以压轴题的形式出现。

知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）

先来简单的（也是最本质的）如分离变量后，a?f(x)恒成立，则有a?f(x)max

a?f(x)恒成立，则有a?f(x)min

（若是存在性问题，那么最大变最小，最小变最大） 1.对于单变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x??a,b?，f(x)?0恒成立，那么只需f(x)min?0

?x??a,b?，使得f(x)?0，那么只需f(x)max?0 2.对于双变量的恒成立问题

如：化简后我们分析得到，对?x1,x2??a,b?，f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)min?g(x)max 如：化简后我们分析得到，对?x1??a,b?，?x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需

f(x)min?g(x)min

如：化简后我们分析得到，?x1??a,b?，x2??c,d?使f(x1)?g(x2)，那么只需f(x)max?g(x)min 还有一些情况了，这里不一一列举，总之一句话（双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理一个变