切线长定理的证明

切线长定理

数学探究 如图，纸上有一⊙O ,PA为⊙O的一条切线，沿 着直线PO对折，设圆上与点A重合的点为B。 A 问题： 1.OB是⊙O的一条半径吗？

OP B

2.PB是⊙O的切线吗？3.PA、PB有何关系？

4.∠APO和∠BPO有何关系？

数学探究 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线 段的长叫做切线长。 A 你能证明吗？ O P 用数学语言怎 么表达？ B

· ·

·

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相 等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。 切线长定理

数学探究 思考：连结AB,则AB与PO有怎样的位置关系？ 为什么？ 你还能得出什么结论？ A

· O ·EB

·

P

随堂训练 如图，AC为⊙O的直径，PA、PB分别切⊙O于 点A、B,OP交⊙O于点M,连结BC。 (1)若OA=3cm, ∠APB=60°,则PA=______. (2)观察OP与BC的位置关系，并给予证明。

AO P

M B

C

数学探究 一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆 形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？ A

B C

数学探究 三角形的内切圆： 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆 三角形的内心

1.下列说法中，不正确的是 ( )

A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点

B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部

C．垂直于半径的直线是圆的切线 D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等 2．给出下列说法：

①任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆； ②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形； ③任意一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆； ④任意一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形． 其中正确的有 ( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3. 一个直角三角形的斜边长为8，内切圆半径为1，则这个三角形的周长等于 ( ) A．21 B．20 C．19 D．18

4. 如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，AC是⊙O的直径，连结AB、BC、OP，

则与∠PAB相等的角(不包括∠PAB本身)有 ( ) A．1个 B．2个

《切线长定理》预习案

1．已知：如图，在三角形ABC中，内切圆O与△ABC的三边分别切于D，E，F三点，∠DFE=56°，求∠A得度数。

2、圆外切四边形的两组对边的和相等．

已知：如图，四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA和⊙O分别相切于L、M、N，P．求证：AB+CD=AD+BC．

3、已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线， A和B是切点，BC是直径． 求证：AC∥OP．

《切线长定理》检测案

1、在△ABC中，AB=5cm BC=7cm AC=8cm, ⊙O与BC、AC、 AB分别相切于 D、 E 、F，求 AF、 BD 、CE的长？

2、如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为

AFD、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面积为6．求内切圆的半径EOr．

B

DC

3、如图，△ABC中,∠ ABC=50°，∠ACB=75 °,点O 是△ABC的内心，求∠ BOC的度数。

AOBC

4、一张三角形的铁皮，如何在它上面截下一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？

ABC

蓬莱大辛店中学

徐岩

切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切 点的半径几何应用:

.

O

∵L是⊙O的切线 ， ∴OA⊥L

L A

切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这 条半径的直线是圆的切线.

.

O

LA

1.经过半径的外端； 2.与半径垂直.OA是⊙O的半径 几何应用: OA⊥L于A

L是⊙O的切线.

练习1:已知：AB是弦，AD是切线 ，判断∠DAC与圆周∠ABC之间的关 系并证明. B E

C A D

在经过圆外 一点的切线 上，这一点 和切点之间 的线段的长 叫做这点到 圆的切线长

A

· O

P

切线与切线长的区别 与联系：

B

(1)切线是一条与圆相切的直线,不可以度量； (2)切线长是指切线上某一点与切点间的线段的长, 可以度量。

切线长定理 从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相 等，圆心和这一点的连 线平分两条切线的夹角。 几何语言: PA、PB分别切⊙O于A、B

B。

O

P A

PA = PB ∠OPA=∠OPB

反思：切线长定理为证明线段相等、角相 等提 供了新的方法

我们学过的切线，常有 六个 五个1、切线和圆只有一个公共点；

性质：

2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂

2019中考数学专题练习-圆的切线长定理（含解析）

一、单选题

1.如图，△ABC是一张周长为17cm的三角形的纸片，BC=5cm，⊙O是它的内切圆，小明准备用剪刀在⊙O的右侧沿着与⊙O相切的任意一条直线MN剪下△AMN，则剪下的三角形的

周长为（ ）

A. 12cm B. 7cm C. 6cm D. 随直线MN的变化而变化 2.下列说法正确的是( )

A. 过任意一点总可以作圆的两条切线 B. 圆的切线长就是圆的切线的长度 C. 过圆外一点所画的圆的两条切线长相等 D. 过圆外一点所画的圆的切线长一定大于圆的半径

3.如图，PA，PB切⊙O于A，B两点，CD切⊙O于点E，交PA，PB于C，D．若⊙O的半径

为1，△PCD的周长等于2 A.

，则线段AB的长是（ ）

D. 3

第1篇：证明切线的方法

证明切线的方法

证明一条直线是圆的切线，可分两种情况进行分析。

（1）圆和直线的唯一公共点已知，方法是：连半

径，证垂直（比较常用）。

（2）圆和直线的公共点位置未知，方法是：作垂

直，证半径。

例如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，点O

在线段AB上，以O为圆心、OB为半径作圆交BC于点D，过点D作DE⊥AC于E。DE是圆O的切线吗？

分析：这属于第一种情况，可以考虑连半径，再证垂直。

DE是切线。

证明：连接OD。

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC，

∴∠B＝∠C。

又∵OB＝OD，

∴∠B＝∠1。

∴∠1＝∠C。

而DE⊥AC，

∴∠C＋∠2＝90°。

∴∠1＋∠2＝90°。

∴∠ODE＝90°，即OD⊥DE，OD是圆O的半径。

∴DE是圆O的切线。

AB

第2篇：证明圆的切线方法

证明圆的切线方法

我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有：

一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直.例1 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，B为切点的切线交OD延

切线证明法

一、要证明某直线是圆的切线，如果已知直线过圆上的某一个点，那么作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径．

【例1】如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD＝OB，点C在圆上，∠CAB＝30o．求证：DC是⊙O的切线．

【例2】如图2，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC．求证：CD是⊙O的切线．

【例3】如图2，已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D．求证：AC平分∠DAB．

【例4】 如图1，B、C是⊙O上的点，线段AB经过圆心O，连接AC、BC，过点C作CD⊥AB于D，∠ACD=2∠B．AC是⊙O的切线吗？为什么？

A D A O B C D A O 图1 C B D C B O 图3 【例5】 如图2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圆，AB是⊙Ｏ的直径，D是AB的延长线上的一点，AE⊥DC交DC的延长线于点E，且AC平分∠EAB．求证：DE是⊙O的切线．

【例6】 如图3，AB=AC，OB=OC，⊙O与AB边相切于点D．

【例9】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交B

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第3课时 切线长定理

学习目标：

1. 理解切线长的定义；

2. 掌握切线长定理，并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点：切线长定理的理解

学习难点：切线长定理的应用

学习过程：

一、知识准备：

1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？

2. 切线的判定和性质是什么？

3. 角的平分线的判定和性质是是什么？

二、引入新课：

过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？

三、课内探究：

（一）探究切线长的定义：

如下图，过⊙O 外一点P ，画出⊙O 的所有切线。

?

P

引出定义：过圆外一点，可以作圆的______条切线，这点与其中一个切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练：判断

1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（ ）

2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（ ）

（三）探究切线长定理：

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2

O

B

A

P

如图，已知PA、PB是⊙O的两条切线，试指出图中相等的量，并证明。

切线长定理：过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。

该定理用数学符号语言叙述为：

∵

∴

跟踪训练：

1. 如

第3课时切线长定理

学习目标:

1. 理解切线长的定义；

2. 掌握切线长定理,并能灵活运用切线长定理解题。

学习重点:切线长定理的理解

学习难点:切线长定理的应用

学习过程:

一、知识准备:

1. 直线与圆的位置关系有哪些？怎样判定？

2. 切线的判定和性质是什么？

3. 角的平分线的判定和性质是是什么？

二、引入新课:

过圆上一点可以作圆的几条切线？那么过圆外一点可以作圆的几条切线呢？

三、课内探究:

（一）探究切线长的定义:

如下图,过⊙O外一点P,画出⊙O的所有切线。

P

引出定义:过圆外一点,可以作圆的______条切线,这点与其中一个切点之间的线段的长,

叫做这点到圆的切线长。

跟踪训练:判断

1. 圆的切线长就圆的切线的长度。（）

2. 过任意一点总可以作圆的两条切线。（）

（三）探究切线长定理:

如图,已知PA、PB是⊙O的两条切线,试指出图中相等的量,并证明。

1

2 e5ecffeccd7931b765ce0508763231126fdb77c2 O B A P

切线长定理:过圆外一点所画的圆的_____条切线长相等。 该定理用数学符号语言叙述为:

∵

∴

跟踪训练:

1. 如图,⊙O 与△ABC 的边BC 相切,切点为点D, 与AB 、AC 的延长线相切,切点分别为店E 、F,则

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切线的证明方法和归纳：

1)如果已知直线经过圆上一点,则连结这点和圆心,得到辅助半径,再证所作半径与这直线垂直.简记为：有交点，连半径,证垂直.

(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点,则过圆心作直线的垂线段,再证垂线段长等于半径长.简记为：

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学习资料无交点,作垂直,证半径.

如图，已知：O为∠BAC平分线上一点，OD⊥AB于D,以O为圆心，OD为半径作⊙O。

求证：⊙O与AC相切。

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有交点，连半径,证垂直.

例1 如图，已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB。求证：直线AB是⊙O的切线。

如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心、OB长为半径的圆交BC于D，DE⊥AC交AC于E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

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已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是和⊙O相切于点B的切线，⊙O的弦AD平行于OC．求证：DC是⊙O的切线．

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相关题型

如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连接C