数学直线与平面平行的性质

考点3 直线、平面平行的判定与性质

1.（徐州市2014届高考信息卷）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD DC CB a， ABC 60o．平面ACEF 平面ABCD，四边形ACEF是矩形，点M在线段EF上．

（1）求证：BC 平面ACEF；

（2）当FM为何值时，AM 平面BDE？证明你的结论．

zl066

第1题图

【考点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理.

【解】（1）证明：由题意知，ABCD为等腰梯形，且AB

2a，AC， 所以AC BC，

又平面ACEF 平面ABCD，平面ACEF 平面ABCD AC，

所以BC 平面ACEF． …………………6分

，AM 平面BDE． …………………8分 在梯形ABCD中，设AC BD N，连结EN，则CN:NA 1:2，

（2

）当FM

因为FM

，EF AC ， ，又EM AN， 3

所以四边形EMAN为平行四边形，…………11分

所以AM NE，

又NE 平面BDE，AM 平面BDE，

所以AM 平面BDE． …………………14分

所以EM

AN=

zl067

第1题图

2. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)如图，在直三棱柱ABC A

考点3 直线、平面平行的判定与性质

1.（徐州市2014届高考信息卷）如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD DC CB a， ABC 60o．平面ACEF 平面ABCD，四边形ACEF是矩形，点M在线段EF上．

（1）求证：BC 平面ACEF；

（2）当FM为何值时，AM 平面BDE？证明你的结论．

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第1题图

【考点】线面垂直的判定定理；线面平行的判定定理.

【解】（1）证明：由题意知，ABCD为等腰梯形，且AB

2a，AC， 所以AC BC，

又平面ACEF 平面ABCD，平面ACEF 平面ABCD AC，

所以BC 平面ACEF． …………………6分

，AM 平面BDE． …………………8分 在梯形ABCD中，设AC BD N，连结EN，则CN:NA 1:2，

（2

）当FM

因为FM

，EF AC ， ，又EM AN， 3

所以四边形EMAN为平行四边形，…………11分

所以AM NE，

又NE 平面BDE，AM 平面BDE，

所以AM 平面BDE． …………………14分

所以EM

AN=

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第1题图

2. (江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题)如图，在直三棱柱ABC A

※教学设计

课题：直线与平面平行的性质

教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修2§2.2.3 授课教师：湖南师大附中海口中学 李明 授课时间：2010年6月

【三维目标】

1．知识与技能

通过教师的适当引导和学生的自主学习，使学生由直观感知获得猜想，经过逻辑论证，推导出直线与平面平行的性质定理，并掌握这一定理．

2．过程与方法

通过直观感知和操作确认的方法，发展几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程；通过直线与平面平行的性质定理的实际应用，让学生体会定理的现实意义与重要性． 3．情感、态度、价值观

通过主动参与、积极探究的学习过程，提高学习数学的自信心和积极性，培养合作意识和交往能力，领悟化归与转化的数学思想，提高学生分析解决问题的能力．

【教学重点与难点】

1．教学重点 直线与平面平行的性质定理．

2．教学难点 综合应用线面平行的判定定理和性质定理． 【教学过程】

教学内容 【回顾旧知】 直线与平面平行判定定理的内容． 通过复习直线与平面平行的判定定理，温故而知新，为后面线线平行 与线面平行的相互转化做铺垫． 师生互动

【新课引入】

2.2.3直线与平面 平行的性质

复习引入1.直线与直线的位置关系有哪几种？

复习引入1.直线与直线的位置关系有

共面

相交平行

异面

复习引入1.直线与直线的位置关系有

共面

相交平行

异面2.直线与平面平行的判定方法：

复习引入1.直线与直线的位置关系有

共面

相交平行

异面2.直线与平面平行的判定方法：

⑴定义法；

复习引入1.直线与直线的位置关系有

共面

相交平行

异面2.直线与平面平行的判定方法：

⑴定义法； ⑵判定定理.

复习引入1.直线与直线的位置关系有

共面

相交平行

异面2.直线与平面平行的判定方法：

⑴定义法； ⑵判定定理.a b

复习引入1.直线与直线的位置关系有

共面

相交平行

异面2.直线与平面平行的判定方法：

⑴定义法； 线线平行 ⑵判定定理. 线面平行a b

思考问题 1. 已知直线a与平面 平行，那么直线a与平面 内的直线有什么位置关系？ a

思考问题 1. 已知直线a与平面 平行，那么直线a与平面 内的直线有什么位置关系？ a 异面 或 平行

思考问题 1. 已知直线a与平面 平行，那么直线a与平面 内的直线有什么位置关系？ a 异面 或 平行 2. 什么条件下，平面 内的直线与直线a平行 呢？

思考问题 1. 已知直线a与平面 平行，那么直线a与平面 内的直线有什

直线与平面平行的性质定理

复习1. 直线和平面有哪几种位置关系？有什么特征

平行、相交、在平面内 2. 直线和平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线和平面内的一条 直线平行，那么这条直线和这个平面平行.a b a // a // b a

b

思考(1)如果一条直线和一个平面平行，那么 这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置 关系？

平行或异面(即不相交)a b

a b α

α

(2)已知直线a∥平面α,如何在平面α内找 出和直线a 平行的一条直线？

思考 如图，在长方体 ABCD-A1B1C1D1中，直 线A1B1//面CDD1C1. 由长方体性质，我们知道A1B1 // C1D1. D1

C1

A1 D AE

B1F

另一方面，我们发现 A1B1 // 面CDD1C 1 A1B1 面A1B1C 1 D1 C1D1 =面CDD1C 1 面A1B1C 1 D1C

B

猜想:过A1B1的平面A1B1FE与面CDD1C1交于直线EF, 则A1B1 / /EF?

直线与平面平行的性质定理如果一条直线与平面平行，经过这条直线的平面和 这个平面相交，那么这条直线与交线平行.

(1)该定理中有三 个条件： 缺一不可！!!

a //

β a

高中数学必修二人教版同步练习

一、选择题

1．已知,a b 表示直线，,,αβγ表示平面，则下列说法中正确的是

A ．,a b α

βα=?，则a b ∥ B ．a αβ=，a b ∥，则b α∥且b β∥

C ．,,,a b a b ββαα??∥∥，则αβ∥

D ．αβ∥，a αγ=，b βγ=，则a b ∥

2．过平面α外的直线l ，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a ，b ，c ，…，则这些交线的位置关系为

A ．都平行

B ．都相交且一定交于同一点

C ．都相交但不一定交于同一点

D ．都平行或交于同一点 3．在空间四边形ABCD 中，

E 、

F 、

G 、

H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 上的点，当BD ∥平面EFGH 时，下

面结论正确的是

A ．E 、F 、G 、H 一定是各边的中点

B ．G 、H 一定是CD 、DA 的中点

C ．BE ∶EA ＝BF ∶FC ，且DH ∶HA ＝DG ∶GC

D ．A

E ∶EB ＝AH ∶HD ，且B

F ∶FC ＝D

G ∶GC

4．在长方体1111ABCD A B C D -中，若经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E ，F ，则四边形1D EBF 的

形状是

A ．矩形

B ．菱形

C ．平行四边形

D ．正方形

课 题：9．3直线与平面平行（共3课时）

第一课时：直线与平面平行的判定定理 第二课时：直线与平面平行的性质定理

第三课时：直线与平面平行的判定及性质定理的应用

1、直线与平面的位置关系

教学目的：了解直线与平面的三种位置关系，能用符号语言表示这些关系并能画出正确的图形。 问1：直线与平面可以有几个公共点？ 问2：直线和平面的位置关系如何？

问3：如何用图形和符号表示直线和平面的三种位置关系？

问4：直线在平面外指的是什么？

1．直线和平面的位置关系

（1）直线在平面内（无数个公共点）；

（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；

（3）直线和平面平行（没有公共点）——用两分法进行两次分类．

它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a??，a???A，a//?．

aaa??A?

字母表示 判定 性质 定义 公共点个数 图形

直线在平面内 直线直线与平在平面相交 面外 直线与平面平行 强调：（1）画图要点；（2）图形——符号——文字语言的相互转换。

问5：正方体ABCD-A1B1C1D1中， （1） 哪些棱所在直线在平面ABCD内； （2） 哪些面对角线所在直线在平面ABCD内； （3）

平面与平面平行的判定与性质

一、选择题

1．平面α∥平面β，点A、C∈α，点B、D∈β，则直线AC∥直线BD的充要条件是（） A．AB∥CDB．AD∥CB

C．AB与CD相交D．A、B、C、D四点共面

2．“α内存在着不共线的三点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要的条件 3．平面α∥平面β，直线aìα，P∈β，则过点P的直线中（） A．不存在与α平行的直线 B．不一定存在与α平行的直线 C．有且只有—条直线与a平行 D．有无数条与a平行的直线 4．下列命题中为真命题的是（） A．平行于同一条直线的两个平面平行 B．垂直于同一条直线的两个平面平行

C．若—个平面内至少有三个不共线的点到另—个平面的距离相等，则这两个平面平行． D．若三直线a、b、c两两平行，则在过直线a的平面中，有且只有—个平面与b，c均平行． 5．已知平面α∥平面β,且α、β间的距离为d，lìα，l′ìβ,则l与l′之间的距离的取值范

第二章 2.2 2.2.2 直线与平面平行的性质

A级 基础巩固

一、选择题

1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是 ( D ) A．平面ABCD∥平面ABB′A′ B．平面ABCD∥平面ADD′A′ C．平面ABCD∥平面CDD′C′ D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

[解析] 长方体ABCD－A′B′C′D′中，上底面ABCD与下底面A′B′C′D′平行，故选D．

2．下列命题正确的是 ( D )

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行； ④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行． A．①③

B．②④

C．②③④

D．③④

[解析] 如果两个平面没有任何一个公共点，那么我们就说这两个平面平行，也即是两个平面没有任何公共直线．

对于①：一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，如果这两条直线不相交，而是平行，那么这两个平面相交也能够找得到这样的直线存在．

对于②：一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，同①.

对于③：一个平

高中数学 必修二

第1题. 已知 a， m， b，且m// ，求证：a//b．

答案：证明：

m// m//a a//b． a 同理 m//b

m

第2题. 已知： b，a// ，a// ，则a与b的位置关系是（ ） Ａ．a//b Ｃ．a，b相交但不垂直

答案：Ａ．

第3题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一点，E，F分别是PA，BD上的点且PE∶EA BF∶FD，求证：EF//平面PBC．

Ｂ．a b

Ｄ．a，b异面

答案：证明：连结AF并延长交BC于M．连结PM，

高中数学 必修二

∵AD//BC，∴

BFFD

MFFA

，又由已知

PEEA

BFFD

，∴

PEEA

MFFA

．

由平面几何知识可得EF//PM，又EF PBC，PM 平面PBC，

∴EF//平面PBC．

第4题. 如图，长方体ABCD A1B1C1D1中，E1F1是平面A1C1上的线段，求证：E1F1//平面AC．

答案：证明：如图，分别在AB和CD上截取AE A1E1，DF D1F1，连接EE1，FF1，

EF．

∵长方体AC1的各个面为矩形，

∴A1E1平行且等于AE，D1F1平行且等于DF，

故四边形AEE1A1，DFF1D1为平行四边形．