初中数学三角函数特殊值

三角函数特殊值

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=

12

sin45°=cos45°= 22

tan30°=cot60°=

2

21

tan 45°=cot45°=1 3

2 21

3

45 1

60 1

说明：正弦值随角度变化，即0 30 45 60 90 变化；值从0

3 1变化，其余类似记忆．

2

3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：

① 有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜ ＜90°时，

则0＜sin ＜1； 0＜cos ＜1 ； tan ＞0 ； cot ＞0。 ②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB； cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜ ＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA 若45

三角函数特殊值

角度 函数 角a的弧度 sin cos tan 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 0 0 1 0 π/6 1/2 √3/2 √3/3 π/4 √2/2 √2/2 1 π/3 √3/2 1/2 √3 π/2 1 0 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 π 0 -1 0 3π/2 -1 0 2π 0 1 0

1、图示法：借助于下面三个图形来记忆，即使有所遗忘也可根据图形重新推出： sin30°=cos60°=

12 sin45°=cos45°= 22 tan30°=cot60°=

2 30? 3

2、列表法： 1

3 tan 45°=cot45°=1 32 2 1

3

45? 1

60? 1

值 角 函 数 sin? 0° 30° 45° 60° 90° 0 24 20 1 23 23 32 22 29 33 21 227 34 20 2不存在 cos? tan? cot? 不

中考数学专项复习 锐角三角函数与特殊角 2019.2

一、选择题

22

1． （2015，广西玉林，2，3分）计算：cos45°+sin45°=（ ） A． B． 1

考点： 特殊角的三角函数值． 分析： 首先根据cos45°=sin45°=

2

2

C． D．

，分别求出cos45°、sin45°的值是多少；然后把它们

22

求和，求出cos45°+sin45°的值是多少即可． 解答： 解：∵cos45°=sin45°=∴cos45°+sin45° ==

2

2

，

=1．

故选：B．

点评： 此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是要明确：（1）30°、45°、60°角的各种三角函数值；（2）一个角正弦的平方加余弦的平方等于1． 2. （2015?山西,第10题3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）

A．2

B．

C．

D．

考点： 锐角三角函数的定义；勾股定理；勾股定理的逆定理． 专题： 网格型．

分析： 根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案．

解答： 解：如图：由勾股定理，得

，

第 1 页 共 8 页

AC=，AB=2，BC=，

三角函数的诱导公式(第一课时)

(一)复习提问，引入新课 思考 如何求 cos150 ?150 y

30 想到150 的三角函数值与 30 角的三角函数值可能存在一定 x 的关系 为了使讨论具有一般性，我们来 研究任意角 的三角函数值的求 法.

O

(二)新课讲授由三角函数的定义我们可以知道：

终边相同的角的同一三角函数值相同sin ( 2k ) sin ( k Z) cos( 2k ) cos (k Z) tan( 2k ) tan (k Z)

(公式一)

我们来研究角 与 的三角函数值之间的关系 y

因为r=1,所以我们得到：y x sin ______, cos ______, P(x,y) -y x , sin( ) _____, cos( ) ____ x 由同角三角函数关系得 sin ( ) sin tan( ) tan cos( ) cos

M

O

P' (x, y)

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan

(公式二)

思考 P '

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

典例分析

【例1】 ⑴在0?与360?范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角：

①?120?；②640?；③?950?12?.

⑵分别写出与下列各角终边相同的角的集合S， 写出S中满足不等式?360?≤?≤720?的元素?： ①80?；②?51?；③367?34?.

【例2】 ⑴把67?30'化成弧度；

3⑵把πrad化成度.

5

9【例3】 ⑴把157?30?化成弧度；⑵把πrad化成度.

5

【例4】 将下列各角化为2kπ??(0≤??2π,k?Z)的形式，并判断其所在象限.

19π； 3(2)-315°； (3)-1485°.

(1)

【例5】 下面四个命题中正确的是（）

A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

B.锐角必是第一象限的角

D.第二象限的角必大于第一象限的角

【例6】 把下列各角写成k?360???(0≤??360?)的形式，并指出它们所在的象限或终边位置.

⑴?135?；⑵1110?；⑶?540?.

【例7】 已知角?的终边经过点P(?3，3)，则与?终边相同的角的集合是

.

2π??k?Z? A.?xx?2kπ?，3??5π??k?Z? C.?xx?kπ?，

初中数学知识点——三角函数：三角函数公式关

系

倒数关系 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系

sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系

sin^2（α）+cos^2（α）=1 1+tan^2（α）=sec^2（α） 1+cot^2（α）=csc^2（α） 同角三角函数关系六角形记忆法

构造以“上弦、中切、下割；左正、右余、中间1”的正六边形为模型。 倒数关系

对角线上两个函数互为倒数； 商数关系

六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。

第 1 页

平方关系

在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 两角和差公式

sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ sin（α－β）=sinαcosβ-cosαsinβ cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ cos（α－β）=cosαcosβ+sinαsinβ

tan（α+β）=（tanα+tanβ）

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主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图

1.ABS

用途：返回某一参数的绝对值。 语法：ABS(number)

参数：number是需要计算其绝对值的一个实数。 实例：如果A1=-16，则公式“=ABS(A1)”返回16。 2.ACOS

用途：返回以弧度表示的参数的反余弦值，范围是0~π。 语法：ACOS(number)

参数：number是某一角度的余弦值，大小在-1～1之间。

实例：如果A1=0.5，则公式“=ACOS(A1)”返回1.047197551(即π/3弧度，也就是600);而公式“=ACOS(-0.5)*180/PI()”返回120°。 3.ACOSH

用途：返回参数的反双曲余弦值。 语法：ACOSH(number)

参数：number必须大于或等于1。

实例：公式“=ACOSH(1)”的计算结果等于0;“=ACOSH(10)”的计算结果等于2.993223。 4.ASIN

用途：返回参数的反正弦值。 语法：ASIN(number)

参数：Number为某一角度的正弦值，其大小介于-1～1之间。

实例：如果A1=-0.5，则公式“=ASIN(A1)”返回-0.5236(-π/6弧度);而公

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主题单元标题 学科领域 （在 思想品德 音乐 化学 信息技术 劳动与技术 其他（请列出）： 适用年级 所需时间 三角函数与反三角函数的复习 内打√ 表示主属学科，打+ 表示相关学科） 语文 美术 生物 科学 数学√ 外语 历史 社区服务 教师姓名 设计时间 符明媚 2011年9 月 28日 体育 物理 地理 社会实践 高三 10课时 主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图） 三角函数是中学数学的重要内容之一，它是描述周期现象的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要的作用。这是学生在高中阶段学习的最后一个基本初等函数。它的基础主要是几何中的相似形和圆，研究方法主要是代数变形和图象分析，因此三角函数的研究已经初步把几何与代数联系起来了，本章所介绍的知识，既是解决生产实际问题的工具，又是学习中学后继内容和高等数学的基础。 主题学习目标（描述该主题学习所要达到的主要目标） 知识与技能： 1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式，能画出y=sin x，y=cos x，y=tan x的图象，了解三角函数的周期性； 2．借助图