中学数学与高等数学的内涵联系

高等数学微积分知识对中学数学的指导综述

摘要：随着新课程改革的不断进步，中学数学 所涉及的高等数学的知识在高考中所占的比重越来越大，所以，作为一名中学教师，必须认真学习高等数学。用更高的数学知识武装自己，才能更加深刻的理解中学数学教材，这也是提高中学数学教学质量，实施素质教育的条件之一。指导学生学习高等数学与中学数学之间的内在联系，并将高等数学的思想方法渗透到中学数学中去是有重要的现实意义的。 关键词：高等数学；中学数学；数学方法

一 中学数学与高等数学的关系

1.中学数学

中学时代所学的数学基本上是17世纪中叶以前的数学。它主要研究常量的运算和固定不变图形的性质。中学数学教学内容总体上可以分为两个层次：表层和深层知识，表层知识包括概念，性质，法则，公式，公理，定理等数学的基本知识和基本技能，深层知识主要指数学思想和数学方法。 2.高等数学

高等数学是以变量及变量之间依赖关系一函数作为研究对象的，主要是由极限论，微分学，积分学，级数理论，解析几何，微分方程的六部分组成的一个有机统一体。其中极限是基础；微分，积分是核

心，是从连续的侧面揭示和研究函数变化的规律性，微分手机从微观上揭示函数的局部性质，积分是从宏观上揭示函数的整体性质；级

AnnalsofMathematics,157(2003),919–938

LargeRiemannianmanifolds

whichare exible

ByA.N.Dranishnikov,StevenC.Ferry,andShmuelWeinberger*

Abstract

Foreachk∈Z,weconstructauniformlycontractiblemetriconEuclideanspacewhichisnotmodkhypereuclidean.WealsoconstructapairofuniformlycontractibleRiemannianmetricsonRn,n≥11,sothattheresultingmani-foldsZandZ areboundedhomotopyequivalentbyahomotopyequivalencewhichisnotboundedlyclosetoahomeomorphism.Weshowthatfortheself(Z)→K (C (Z))fromlocally -spacestheC -algebraassemblymapK

niteK-homologytotheK-th

目 录

一、函数与极限 ················································································································2

1、集合的概念 ···········································································································2

2、常量与变量 ···········································································································3 2、函数 ·····················································································································4 3、函数的简单性态 ································

初等数论与中学数学

摘 要：《初等数论》是数学与应用数学、数学教育专业的一门专业基础课，主要研究整数的性质，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。近年来，数论在中学数学中的运用越来越多，特别是在中学的数学竞赛中运用极为广泛。本文主要介绍初等数论在中学数学中的应用以及初等数论与中学数学教学的相关问题。 关键词：初等数论 中学数学 数学竞赛 中学数学教学 正 文：

一、初等数论在中学数学中的应用

在中学数学中，整数是最为常用的一种数之一，而初等数论是研究整数最基本的性质，与算术密切相关的一门学科，初等数论可以说是算术问题的延深。初等数论中的整除性质，抽屉原理等一直是中学数学竞赛最热门的话题，由此可见初等数论在中学数学中的应用是极为广泛的。

（一）中学数学中与初等数论相关的几个问题 1、整除问题

在小学的时候我们就知道，要知道一个数能不能被令一个数整除，可以用长除法来判断，但当被除数位数较多的时候，计算量增大，问题就变得非常麻烦了。但在学习了初等数论之后问题会得到大大的简化。

1.1整除的概念及其性质

定义1（整除） 设a、b是整数，b≠0，如果存在整数q,使得a=bq

编号：

《高等数学（一）》课 程 自 学 辅 导 材 料 配套教材： 《高等数学（一）微积分》 主 编： 章学诚 出 版 社： 武汉大学出版社 版 次： 2004年版 适应层次： 本 科 内 部 使 用 2012年9月 ●●●●●

目 录 第一部分 自学指导 第1章：函数及其图形…………………………………………………………………3 第2章：极限和连续……………………………………………………………………3 第3章：一元函数的导数和微分………………………………………………………3 第4章：微分中值定理和导数的应用…………………………………………………3 第5章：一元函数积分学………………………………………………………………3 第6章：多元函数微积分………………………………………………………………3 第二部分 复习思考题 一．单选题 ……………………………………………………………………………4 二．填空题 ……………………………………………………………………………24 三．计算题 ………………………

df(x)dx 与 dx解 不相等.设F?(x)?f(x),则

例1 (E01) 问

????f?(x)dx是否相等?

d??f(x)dx??dx(F(x)?C)?F?(x)?0?f(x)

d而由不定积分定义?f?(x)dx?f(x)?C，所以??f(x)dx???f?(x)dx.

dxddx例3 (E03) 检验下列不定积分的正确性：

（1）xcosxdx?xsinx?C；（2）xcosxdx?xsinx?cosx?C; 解 （1）错误. 因为对等式的右端求导，其导函数不是被积函数：

???xsinx?C???xcosx?sinx?0?xcosx.

（2）正确. 因为

?xsinx?cosx?C???xcosx?sinx?sinx?0?xcosx.

1．填空题

（1）若f(x)的一个原函数为lnx2，则f(x)? 。 解：因为?f(x)dx?lnx2?c 所以f(x)?2x2? x2x（2）若?f(x)dx?sin2x?c，则f(x)? ． 解：f(x)?2cos2x

（3）若?f(x)dx?xlnx?c，则f?(x)? ． 解：f(x)?lnx?1，f?(x)?（4）d?e?xd

经济数学

前言 一、“高等数学”的学科定位

“高等数学”，是以极限论为工具研究变 量和变量关系的学科，又称为微积分，在数学专业课中又称为“数学分析”。

研究的对象是函数，基础是实数域，运用分析的工具是极限。

以下我们根据课程的特点和内容从不同角度对其进行说明。

1、高等数学 初等数学，

2、高等数学又称为“微积分”，其主要内容是微分学和积分学两部分。而它们的基础是函数与极限，我们再根据其对象是一元函数和多元函数将其分为一元微积分和多元微积分。

3、同样是微积分，还有层次的高低问题。 4、在内容的系统上，其主线是运用极限论

工具对函数的各特性进行讨论。这里在内容体系展开上就有一个认识上的矛盾。因为极限论从认识的角度看要比函数的微积分难得多。若一开始就深入的徘徊在极限理论之中，必然偏离我们高数的学习目的。为了解决这个矛盾，我们尽量地简化了极限论的分析，只是罗列了一些要用的必需结论（这也是与数学分析的主要区别之一）。但是对它的简单化将使我们在运用极限这个工具时，感到有点把握不住，这是很正常的。希望大家一定要正确对待这一难关。我们的处理是在后继内容的一些具体问题中去逐步地完善对极限的认识，可能到后面的总结时，才能较好地体会和归纳出它的实

2011年陕西省普通高等教育专升本招生考试考前冲刺密卷

高等数学

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)在每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的

1．函数f(x，y)在点(x0，y0)处的偏导存在是函数f(x，y)在该点连续的( )． A．充分条件不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件，也不是必要条件

2．lim →

x0

?x02tanxdxx4＝( )．

1

A．0 B． C．1 D．2

2

113．若函数f(x)满足f(x)＝x＋1－??1f(x)dx，则f(x)＝( )．

2

1111

A．x－ B．x－ C．x＋ D．x＋ 3223

22

4．设区域D由y＝x，x＝y围成，则D的面积为( )．

121A． B． C．1 D．1 333

5．曲面x2＋y2＝1＋2z2表示( )．

A．旋转单叶双曲面 B．旋转双叶双曲面 C．圆锥面 D．椭球面

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)

π

0，?上的最大值为________． 6．函数f(x)＝x＋2cosx在??2?

x2＋ax－6

7．若lim ＝5，则a＝________.

x→2x－2

π8．定积分

第1章 函数

§1 函数的概念 一、区间、邻域

自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 建立数轴后：

建立某一实数集A与数轴上某一区间对应

区间：设有数 a,b,a

a称为 (a,b) 的左端点，b称为 (a,b) 的右端点。

a?(a,b),b?(a,b)

闭区间： [a,b]={x|a≤x≤b}

a∈[a,b],b∈[a,b]

文章来源：http://www.codelast.com/

半开区间： [a,b)={x|a≤x≤b},a∈[a,b),b?[a,b)

(a,b]={x|a

a，b都是确定的实数，称 (a,b),[a,b),(a,b],[a,b] 为有限区间，“ b?a ”称为区间长度。

记号：

+∞ ——正无穷大 ?∞ ——负无穷大

区间：

[a,+∞)={x|a≤x} (a,+∞)={x|a

称为无穷区间（或无限区间） 文章来源：http://www.codelast.com/

邻域：设有两个实数 a,δ(δ>0) ，则称实数集 {x|a?δ

a 称为 N(a,δ) 的中心， δ>0 称为邻域 N(a,δ) 的半径。

去心邻域：把 N(a,δ) 的中心点 a 去掉，称为点 a 的去心邻域，记为 N(a