转动刚体的动量和动量矩

力学动量与动量矩区别与联系

力学动量与动量矩区别与联系

（ 物理与电子工程系 04物本班 ）

摘 要：本文详细地讨论在经典力学中质点、质点组的动量、动量矩在惯性系与非惯性系中的定义、定理和守恒定律的共同点与不同点，从中提出它们的区别与联系。在对比中可以更清楚发现它们之间的区别与联系，因而加深对它们的理解与应用。

关键词：动量；动量矩；区别与联系；惯性系；非惯性系

在经典力学中，关于动量、动量矩的理论都已经非常完善，然而在学习和应用它们的过程中，发觉很容易混淆。本文就通过在惯性系、非惯性系中质点、质点组的动量与动量矩的定义、定理和守恒定律的对比，不仅在公式的形式上，而且在公式的物理意义等各方面进行比较、区别。总结它们的共同点和不同点，得出它们的区别与联系。此外，还举了一些特殊的例子来说明。

设所研究的质点P，其质量为

m，受外力为F

。质点组是由n个质点p（i=1,2,3…..n）i

(e)

构成，其质量分别为mi（i同前，以后就不再说明），受外力为Fi、内力为Fi(i)，任一

质点在静止坐标系中的位置矢量为ri，在运动坐标系中的位置矢量为ri'，运动坐标系相

对于静止坐标系的位置矢量为ro'。动量的符号用p表示，动量矩的符号用L，力矩

理论力学

第10章 动量矩定理§10.1 §10.2 §10.3 §10.4 §10.5 基本知识 质点和质点系的动量矩定理 定轴转动刚体的动力学 质点系的相对运动动量矩定理 刚体平面运动动力学

理论力学

§10-1 基本知识一. 转动惯量(定义)

J Z mi ri 2

zo x

ri

mi

JZ

M

y

r dm

理论力学

1. 匀质圆盘对中心的转动惯量 (R,M)

JZ r d m2 M

M d m 2 2 r d r RJz R 0

1 M r 2 r d r MR 2 R 22

匀质圆环： z MR J

2

理论力学

2. 匀质细直杆的转动惯量

1 J z1 ML2 3

z1

JZ r d m2

C

1 2 Jz ML 12

M dm dx L

M

X

dx

J z1

L

0

M x dx L2

1 2 ML 3

理论力学

3. 用回转半径表示转动惯量:

J Z mi ri2

2

J Z r dmz1J z1 1 ML2 3

M 1 ML2 12

2

相对于z(质心)的回转半径1 m ml 2 122

1 l 12

Jz

相对于z1的回转半径

第五章 刚体力学基础 动量矩

班级______________学号____________姓名________________

一、选择题

1、力F (3i 5j)kN

，其作用点的矢径为r (4i 3j)m，则该力对坐标原点的

力矩大小为 （ B ）

(A) 3kN m； （B）29kN m； (C)19kN m； (D)3kN m。

2、圆柱体以80rad/s的角速度绕其轴线转动，它对该轴的转动惯量为4kg m2。由于恒力矩的作用，在10s内它的角速度降为40rad/s。圆柱体损失的动能和所受力矩的大小为( D) (A)80J，80N m；(B)800J，40N m；(C)4000J，32N m；(D)9600J，16N m。 3、 一匀质圆盘状飞轮质量为20kg，半径为30cm，当它以每分钟60转的速率旋转时，其动能为 ( D)

(A)16.2 2 J； (B)8.1 2J ；（C）8.1J； （D）J。

4、如图所示，一轻绳跨过两个质量均为m、半径均为R的匀质圆盘状定滑轮。绳的两端分别系着质量分别为m和2m的重物，不计滑轮转轴的摩擦。将系统由静止释放，且绳与两滑轮间均无相对滑动，则两滑轮之间绳的张力。（ D ）

(A)mg； (

思 考 题

11-1 质点系的动量按下式计算：

???K??mv??Mvc

质点系的动量矩可否按下式计算？

??Lz??mz?mv??mz?Mvc?

11-2 人坐在转椅上，双脚离地，是否可用双手将转椅转动？ 为什么？

11-3 图示两轮的转动惯量相同。在图（a）中绳的一端受拉力G，在图（b）中绳的一端挂一重物，重量也等于G。问两轮的角加速度是否相同？为什么？

11-4 问在什么条件下，图示定滑轮（设为匀质圆盘）两侧绳索的拉力大小才能相等？

Ⅰ Ⅱ O G

(a) (b) 思考题 11-3 图

z G A M1 B M2

思考题 11-4 图

z? M1 I

2l3II l 思考题 11-5 图 思考题 11-6 图

11-5 如图所示的传动系统中，轮1的角加速度按下式计算对吗？

?1?M1

J1?J2'11-6 如图示，已知Jz?Ml2/3，按下列公式计算Jz对吗？

192

7?2?I?Ml2 z?Iz?M?l??9?3?211-7 质量为M的均质圆盘，平放在光滑的水平面上，其受力情况如图所示。试说明圆盘将如何运动？设开始时，圆盘静止，图中r

动量定理及动量守恒定律基础练习

一、选择题

1. 2012年新年初五晚上，黑龙江省一体重为55kg的15岁男孩准备在自家五楼的窗台上放鞭炮时不慎坠

落，“80后”青年谢尚威跑过去伸出手，用自己的双手挽救了一条即将陨落的花季生命，已知孩子下落处到谢尚威接到孩子处之间的距离约为10m，从接触到孩子到把孩子稳稳接住用时约0.14s，则谢尚威每只手臂平均承受的力约为（ ）

A．6050N B．3025N C．5500N D．2750N

2. 某物体受水平方向的变力F的作用，由静止开始作无磨擦的直线运动，若力的大小F随时间t变化规

律如图3-6所示。则在0—8秒内，此力冲量的大小为（ ） A．0 B．20 N·S C．25 N·S D．8 N·S 二、填空题

3. 质量为m的小球自高为y0处沿水平方向以速率?0抛出，与地面碰撞后跳起的最大高度为

11y0，水平速率为?022，则碰撞过程中，如图3-7所示，

；

（1）地面对小球的垂直冲量的大小为 （2）地面对小球的水平冲量的大小为

。

4. 质量50 kg的撑杆跳高运动员，跨过5 m高的栏竿后落在海棉垫上，假设运动员与海棉垫

习 题

11-1 质量为m的质点在平面Oxy内运动，其运动方程为：x?acos?t,y?bsin2?t。其中a、b和w均为常量。试求质点对坐标原点O的动量矩。

???a?sin?t vy?y??2b?co2vx?xs?t

LO??mvxy?mvyx

?m(a?sin?t?bsin2?t?2b?cos2?t?acos?t) ?mab?(sin?t?sin2?t?2cos2?t?cos?t) ?ma?b(si?nt?2sin?tco?st?2co2s?t?co?st) ?2ma?bco?st(si2n?t?co2s?t) ?2mab?cos3?t

11-2 C、D两球质量均为m，用长为2 l的杆连接，并将其中点固定在轴AB上，杆CD与轴AB的交角为?，如图11-25所示。如轴AB以角速度w转动，试求下列两种情况下，系统对AB轴的动量矩。（1）杆重忽略不计；（2）杆为均质杆，质量为2m。

图11-25

(1)

22 Jz?2m?(lsin?)2?2ml2sin? Lz?2m?l2sin? (2)

lm282Jz杆?2?(xsin?)2dx?ml2sin2? Jz?ml2sin?

0l

授课课题 教学 目标和要求 教学 重点和难点 教学方法 授课时间 3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律 3.4 刚体的转动动能 理解角动量(动量矩)、转动动能概念，通过质点在平面内运动和刚体绕定轴转动情况，理解动量矩守恒定律及其适用条件。 重点：角动量守恒定律，转动动能定理 难点：角动量守恒定律的应用 讲练结合 第 4 周 教学手段 课时累计 多媒体 18 教 学 过 程 教学步骤及教学内容 承上：刚体的定轴转动定律 3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律 时间分配 5分钟 10分钟 10分钟 ??d?d(J?)M?J??J?导引：转动定律： dtdt一、 角动量(动量矩) ???????质点的动量矩：L?r?p?r?mv ??????2?刚体的动量矩：L??ri?pi??ri??mivi???mi?ri??J? ii????d(J?)dL??M???dtdt……角动量定理 ?Mdt?d(J?)?二、 角动量定理(动量矩定理) (1) 冲量矩：与冲量相似，表示力矩在一段时间内的累计效应，等于力矩乘以力矩所作用的时间。 (2) 定理：刚体作定轴转动时，根据转动定律得出Mdt?d(J?)，对其两边积分，得

第9章 动量矩定理及其应用

9－1 计算下列情形下系统的动量矩。

1. 圆盘以ω的角速度绕O轴转动，质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度vr运动到OM = s处（图a）；求小球对O点的动量矩。

2. 图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A，质心为C，且AC = e；轮子半径为R，对轮心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅垂线上（图b）。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对B点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若vA、ω已知，求轮子的动量和对B点的动量矩。 解：1、LO?m?s（逆） 2、（1）

p?mvC?m(vA??e)?mvA(1?LB?mvC(R?e)?JC??mv(R?e)A22vr ω M O ω A B C R vA eR)（逆） 2R?(JA?me)vAR

(a) (b)

习题9－1图

（2）p?mvC?m(vA??e)

LB?mvC(R?e)?JC??m(vA??e)(R?e)?(JA?me2)??m(R?e)vA?(JA?meR)?

9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别

12.5 质点系相对于质心的动量矩定理

前述的动量矩定理的适用条件：惯性参考系中的固定点或固定轴。 问：

1）对一般的动点和动轴，动量矩定理的形式如何？ 2）对质心的形式又如何？

Ax y z ，设质点系中任意一质点相对于动点A的矢径为ri ，相对于动参考系的速度为vir ，如图

1所示。

现做如下定义：

质点的绝对动量：各质点的质量与其在惯性参考系中的绝对速度的乘积，即mivi；

x

图1.

设在固定参考系oxyz中有一动点A，其速度为vA，现以动点A为原点建立平移参考系

y

和，即LA，表达式如下：

质点系相对于任意点A的绝对动量矩：质点系中各质点的绝对动量mivi对动点A的矩的矢量

N N

LA LA mivi ri mivi （1）

i 1

i 1

质点的相对动量：各质点的质量与其在动参考系Ax y z 中的相对速度的乘积，即mivir；

质点系相对于任意点A的相对动量矩：质点系中各质点的相对动量mivir对动点A的矩的矢

r

量和，即LA，表达式如下：

N N r r

LA LA mivi ri mivir （2）

第9章 动量矩定理及其应用

9－1 计算下列情形下系统的动量矩。

1. 圆盘以ω的角速度绕O轴转动，质量为m的小球M可沿圆盘的径向凹槽运动，图示瞬时小球以相对于圆盘的速度vr运动到OM = s处（图a）；求小球对O点的动量矩。

2. 图示质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮心为A，质心为C，且AC = e；轮子半径为R，对轮心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅垂线上（图b）。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对B点的动量矩；（2）当轮子又滚又滑时，若vA、ω已知，求轮子的动量和对B点的动量矩。 解：1、LO?m?s（逆） 2、（1）

p?mvC?m(vA??e)?mvA(1?LB?mvC(R?e)?JC??mv(R?e)A22vr ω M O ω A B C R vA eR)（逆） 2R?(JA?me)vAR

(a) (b)

习题9－1图

（2）p?mvC?m(vA??e)

LB?mvC(R?e)?JC??m(vA??e)(R?e)?(JA?me2)??m(R?e)vA?(JA?meR)?

9－2 图示系统中，已知鼓轮以ω的角速度绕O轴转动，其大、小半径分别