椭圆弦长公式6种
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椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式
F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用
在有关椭圆的综合题中,常常遇到椭圆焦点弦的问题,如何解决这类问题呢?首先我们有命题:
若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?,a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、
2ab2222短半轴长和焦半距,则有F1F2?a?ccos?。
上面命题的证明很容易得出,在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB?8,焦距F1F2?42,过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点,设?PF1X??(0????),当?取什么值时,PQ等于椭圆的短轴长?
分析:由题意可知PQ是椭圆的焦点弦,且a?4,c?22,从而b?22,故由焦
2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得:
2?4?(22)16?8cos?22?42,解得
cos???2?2,即??arccos2?2或??arccos2?2。
例2、在直角坐标系中,已知椭圆E的一个焦点为F(3,1),相应于F的准线为Y轴,
16?直线l通过点F,且倾斜角为,又直线l被椭圆E截得的线段的长度为,求椭圆E的
35方程。
分析:由题意可设椭圆E的方程为
(x?c?3)a22?(y?1)b22?1,又椭圆E相应于F的
椭圆的焦点弦长公式
椭圆的焦点弦长公式
F1F2?2ab2222a?ccos?及其应用
在有关椭圆的综合题中,常常遇到椭圆焦点弦的问题,如何解决这类问题呢?首先我们有命题:
若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为?,a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、
2ab2222短半轴长和焦半距,则有F1F2?a?ccos?。
上面命题的证明很容易得出,在此笔者只谈谈该命题的应用。
例1、已知椭圆的长轴长AB?8,焦距F1F2?42,过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于P、Q两点,设?PF1X??(0????),当?取什么值时,PQ等于椭圆的短轴长?
分析:由题意可知PQ是椭圆的焦点弦,且a?4,c?22,从而b?22,故由焦
2ab2222点弦长公式F1F2?a?ccos?及题设可得:
2?4?(22)16?8cos?22?42,解得
cos???2?2,即??arccos2?2或??arccos2?2。
例2、在直角坐标系中,已知椭圆E的一个焦点为F(3,1),相应于F的准线为Y轴,
16?直线l通过点F,且倾斜角为,又直线l被椭圆E截得的线段的长度为,求椭圆E的
35方程。
分析:由题意可设椭圆E的方程为
(x?c?3)a22?(y?1)b22?1,又椭圆E相应于F的
直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)
直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)
椭圆的简单几何性质(三)直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)
椭圆的简单几何性质(三)前面我们用椭圆方程发现了一些椭圆的 几何性质 , 可以体会到坐标法研究几何图形 的重要作用 , 其实通过坐标法许多几何图形 问题都可以转化为方程知识来处理. 当然具体考虑问题,我们的思维要灵活, 用形直觉,以数解形,数形结合思维这能大大 提高分析问题、解决问题的能力. 本节课 , 我们来学习几个有关直线与椭 圆的综合问题.
直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)
问题1:直线与圆的位置关系有哪几种?
怎么判断它们之间的位置关系? d=r 几何法: d>r 代数法: <0 =0
d<r
>0
直线与椭圆的位置关系(2课)_椭圆弦长公式 (1)
直线与椭圆的位置关系的判定问题2:椭圆与直线的位置关系?
Ax+By+C=0 代数法 2 2 由方程组: x y 2 1 ----求解直线与二次曲线有 2 a b 2 mx +nx+p=0(m≠ 0) 关问题的通法。
= n2-4mp>0 =0 <0方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交
抛物线焦点弦的弦长公式 2
关于抛物线焦点弦的弦长公式补充
(1)已知:抛物线的方程为
y2?2px(p?0),过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点,
且弦AB的倾斜角为?,求弦AB的长。 解:由题意可设直线AB的方程为y?k(x?p?)(??)将其代入抛物线方程整理得:
224k2x2?(4pk?8p)x?12pk122?0 ,且k?tan?
?pk?2p,
x2设A,B两点的坐标为(x,y),(x,y) 则:x?x2212k21x2?p42
|AB|?1?k2(x1?x2)2?4x1x2?2p(sin?)2
当???2时,斜率不存在,sin??1,|AB|=2p.即为通径
而如果抛物线的焦点位置发生变化,则以上弦长公式成立吗?这只能代表开口向右时的弦长计算公式,其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。
(2)已知:抛物线的方程为
x2?2py(p?0),过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点,
直线AB倾斜角为?,求弦AB的长。
解:设A,B的坐标为(故AB的方程为y?x1,y),(x2,y),斜率为k(k?tan?),而焦点坐标为(0,),
12p2p?kx,将其代入抛物线的方程整理得: 22x2?2pkx?p?0,从而x1?x2?2pk,x1x2??p,
22弦长为:|
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?
定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为 的直线l经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则
(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长|AB|
H
; 22
|1 ecos |
(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长|AB|
推论:
H
.
|1 e2sin2 |
|AB| (1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,
当A、B不在双曲线的一支上时,|AB|
H
;
1 e2cos2
H
;当圆锥曲线是抛物线时,
e2cos2 1
|AB|
H
. 2
sin
H
;
1 e2sin2
|AB| (2)焦
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)
圆锥曲线 焦点弦长公式 极坐标参数方程 快 准 稳
圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标方程)
圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点,主要是在解答题中,全国文科一般为压轴题的第22题,理科和各省市一般为第21题或者第20题,几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的,运算量很大,属于高难度题目,考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线(椭圆、双曲线和抛物线)的通用公式,它是解决这类问题的金钥匙,利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了,中等学习程度的学生完全能够得心应手!?
定理 已知圆锥曲线(椭圆、双曲线或者抛物线)的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴),焦点为F,设倾斜角为 的直线l经过F,且与圆锥曲线交于A、B两点,记圆锥曲线的离心率为e,通径长为H,则
(1)当焦点在x轴上时,弦AB的长|AB|
H
; 22
|1 ecos |
(2)当焦点在y轴上时,弦AB的长|AB|
推论:
H
.
|1 e2sin2 |
|AB| (1)焦点在x轴上,当A、B在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时,
当A、B不在双曲线的一支上时,|AB|
H
;
1 e2cos2
H
;当圆锥曲线是抛物线时,
e2cos2 1
|AB|
H
. 2
sin
H
;
1 e2sin2
|AB| (2)焦
椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用
椭圆周长公式的推导、证明、检验、评价与应用
-----------三探椭圆周长的计算(终结篇)
四川省美姑县中学 周钰承
★ 关键词:椭圆周长,标准公式,近似计算,初等公式。
★ 内容提要:本文搜集了各种椭圆周长公式。无论是标准公式还是近似公式,
本文将对部分公式给予证明,或推导,或否定,或检验、评价与应用,希
望广大读者喜欢。
★ 目录:一、椭圆周长标准公式的推导与椭圆周长准确值的计算 二、两个高精度的椭圆周长初等公式 三、椭圆周长公式集锦与评价
一、椭圆周长的标准公式的推导与椭圆周长精确值的计算
宇宙间宏观物体的运动轨迹大都是椭圆,但其周长不能准确的计算出来。经过数学家的计算与证明,最终得出椭圆周长没有准确的初等公式,但可以用椭圆积分的级数形式表示。下面对椭圆周长的一个标准公式进行证明和计算。
在平面直角坐标系内,椭圆的标准方程是:
xa22?yb22?1,a?0,b?0.
参数方程是: x?acos?,y?bsin?,?0???2?? 函数图像为:
若某条光滑曲线,能用参数方程表示:
x?X?t?,y?Y?t?
??t??,该曲线长度可表示为:
L?22????????X't?Y'tdt
扇形与弧长公式
区一小的施工路段在施工过程中,要制造 如图所示的弯形管道,必须先按中心线计算 “展直长度”,再根据比例尺下料,你能计 算图中所示管道的展直长度吗?
(1)半径为R的圆,周长是多少?
C=2πR
.
R
(2)圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧 360°
1°圆心角所对弧长是多少?
1 R 2 R 360 180R 1°
90°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长 的多少倍? 90 倍90°
R R 1°
90°圆心角所对弧长是多少?
90
R180
R2
n°圆心角所对的弧长是1°圆心角所对的弧长 的多少倍? n 倍
R
1°
R
n°
n°圆心角所对弧长是多少?
n R 180
若设⊙O半径为R, n°的圆心 角所对的弧长为l,则n R l 180
如图,圆心角为60°的扇形的半径为10cm, 求这个扇形的周长. 分析: 周长C OA OB l AB
B
解:周长 C OA OB l AB
10 10 3 20 3
O
A
制造弯形管道时,要先按中心线计算“展
第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中地妙用
实用文档
第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
x2y2定理 在椭圆2?2?1(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)aby0b2是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN???2.
x0a 证明:设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
?x12y12?2?2?1,??(1)?ab则有?2 2?x2?y2?1.??(2)?b2?a2x?xy?y(1)?(2),得122?122?0.
ab2222y2?y1y2?y1b2????2. x2?x1x2?x1a又?kMNy2?y1y1?y22yyyb2?,??.?kMN???2. x2?x1x1?x22xxxax2y2同理可证,在椭圆2?2?1(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)bay0a2是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN???2.
x0b典题妙解
y2?1,过点M(0,1)的例1 设椭圆方程为x?42直线l交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足
OP?1?11?(OA?OB),点N的坐标为?,?.当l绕点2?22?M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;
(2)|NP|的
第7讲 - 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用
定理 在椭圆
xa22?yb22?1(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)y0x022是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN? 证明:设M、N两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
2?x12y1?2?2?1,??(1)?ab则有?
22y2?x2??1.??(2)22?b?a2222??ba.
(1)?(2),得
x1?x2a2?y1?y2b222?0.
?y2?y1x2?x1?y2?y1x2?x1??ba.
又?kMN?y2?y1x2?x1,y1?y2x1?x2?2y2x?yx.?kMN?yx??ba22.
同理可证,在椭圆
xb22?ya22(a>b>0)中,若直线l与椭圆相交于M、N两点,点P(x0,y0)?1y0x0ab22是弦MN的中点,弦MN所在的直线l的斜率为kMN,则kMN???.
典题妙解
例1 设椭圆方程为x?2y24?1,过点M(0,1)的
直线l交椭圆于点A、B,O为坐标原点,点P满足
????1?????????11?OP?(OA?OB),点N的坐标为?,?.当l绕点
2?22?M旋转时,求:
(1)动点P的轨迹方程;