染色问题的解题思路

马到成功奥数专题:离散最值

引言：在国内外数学竞赛中，常出现一些在自然数范围内变化的量的最值问题，我们称之为离散最值问题。解决这类非常规问题，尚无统一的方法，对不同的题目要用不同的策略和方法，就具体的题目而言，大致可从以下几个方面着手： 1.着眼于极端情形； 2.分析推理——确定最值； 3.枚举比较——确定最值； 4.估计并构造。

离散最值问题渗透到小升初的各个奥数专题中，学好它可为解决数论，计数，应用问题等打下扎实的基础。

一、 从极端情形入手

从极端情形入手，着眼于极端情形，是求解最值问题的有效手段。

题目1. 一个布袋中有红、黄、绿三种颜色的小球各10个，这些小球的大小均相同，红色小球上标有数字“4”，黄色小球上标有数字“5”，绿色小球上标有数字“6”。小明从袋中摸出8个球，它们的数字和是39，其中最多可能有多少个球是红色的？

解：假设摸出的8个球全是红球，则数字之和为（4×8=）32，与实际的和39相差7，这是因为将摸出的黄球、绿球都当成是红球的缘故。

用一个绿球换一个红球，数字和可增加（6－4=）2，用一个黄球换一个红球，数字和可增加（5-4=）1。为了使红球尽可能地多，应该多用绿球换红

高中数学竞赛讲座二试内容19

染色问题 （一）

一．基本方法

染色问题的本质是对集合的元素进行分类的问题，染色可以使分类更直观、更形象．

染色问题主要有两类：一类使借助染色方法解决问题；二类是问题的条件是用染色的方式给出的．常

见的染色问题有对区域的染色（包括对方格，三角形的染色），对线段的染色，对点的染色．常用思想方法是整体思想，抽屉原理，考虑极端情形，数学归纳法，构造思想等． 二．例题精选

（一）．k染色平面问题

将平面上的点用不超过k种颜色给每一个点染一种颜色，这样的平面叫做k染色平面．

１．坐标平面上若干个整点，将一些整点染红色，一些染蓝色，证明：总可以有一种染法使每行、每列两

种颜色点数之差不超过１．

R B R R B B R B B R B R B R R B R B R B

R B R B R

B R B R B

２．对于任意的a>0，二染色平面上必存在斜边长为a且内角分别为30?,60?,90?的三顶点同色的三角形．

B B

Ｒ a Ｒ

３．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，

B B 它们相似比为１９９５，而且每个三角形的三个顶点同色．

1

B B R RR

高中数学竞赛讲座二试内容19

染色问题 （一）

一．基本方法

染色问题的本质是对集合的元素进行分类的问题，染色可以使分类更直观、更形象．

染色问题主要有两类：一类使借助染色方法解决问题；二类是问题的条件是用染色的方式给出的．常

见的染色问题有对区域的染色（包括对方格，三角形的染色），对线段的染色，对点的染色．常用思想方法是整体思想，抽屉原理，考虑极端情形，数学归纳法，构造思想等． 二．例题精选

（一）．k染色平面问题

将平面上的点用不超过k种颜色给每一个点染一种颜色，这样的平面叫做k染色平面．

１．坐标平面上若干个整点，将一些整点染红色，一些染蓝色，证明：总可以有一种染法使每行、每列两

种颜色点数之差不超过１．

R B R R B B R B B R B R B R R B R B R B

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２．对于任意的a>0，二染色平面上必存在斜边长为a且内角分别为30?,60?,90?的三顶点同色的三角形．

B B

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３．将平面上每一个点都以红、蓝两色之一染色，证明：存在这样的两个相似三角形，

B B 它们相似比为１９９５，而且每个三角形的三个顶点同色．

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B B R RR

前面和大家探讨了一下盈亏问题的解题思路，很多家长给予了我很大的支持和鼓励，并且希望我再就鸡兔同笼问题继续探讨一下。既蒙各位抬爱，虽是瞽言萏议，也惟有敬陈管见了。（如孩子不明白这些成语，让孩子查查成语字典吧，算是语文作业）

鸡兔同笼问题的解法有很多，粗略搜索下就有列表法、画图法、假设法、抬腿法、方程法......等等不一而足。其中，列表法、画图法比较直观，但对稍微复杂点的题目就捉襟见肘了；抬腿法比较有趣，但适用性有些局限；方程法当然强大无比，但咱孩子学得是奥数啊……所以，还是着重探讨下假设法吧：

基本典型问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

这是大约1500年前，《孙子算经》记录的问题，也是鸡兔同笼问题的基本典型例题。

鸡兔同笼的基本典型问题的解答思路并不复杂：一只鸡1个头2条腿，一只兔1个头4条腿。假设35个头全是鸡头，那么就应该有2×35=70条腿。而题目中条件为94条腿。现在用一只兔换一只鸡，头数没有变化，腿数由2条鸡腿变成了4条兔腿，也就是增加了2条腿。再重申下，用一只兔换一只鸡，头数不变，腿数增加2条。为了满足题目中94条腿的要求，需要增加94-70=24条腿，也就是要换24÷2=12只兔。由此可得，鸡为35

个人信息表是在雅思考试中较有规律性的一种题型，一般在听力考试的第1部分出现，

主要考查的是听力的一些基本功，如姓名、国籍、电话号码等，且在考试中这些信息往往只说一遍，不重复。

1. 姓名 2. 国籍

一般在西方国家填写表格时，国籍写成名词形式还是形容词形式均可。但是雅思听力考试中，国籍必须写成形容词形式。在考试时，常以这样的形式引出答案。如从录音中我们听到“I was born in London”, 转换成国籍则为 “British”, “I was from China” 转换成国籍则为“Chinese”。下面将常见英文国籍后缀给学生总结一下，以便记忆。

―ish: British, Spanish, Polish, Swedish, Danish, Irish, Turkish ―an: American, Canadian, Australian, Russian, German ―ese: Chinese, Japanese, Vietnamese, Burmese, Portuguese ―i: Iraqi, Kuwaiti, Pakistani ―ic: Icelandic, Arabic

例外情况： New Zealande

1

第四章 逻辑解题套路精析(一)

逻辑备考的原则是“化繁为简，思维至上，以不变应万变”。为此，本章的套路精析概括了所有逻辑考题的解题思路。不管今后的考题怎么千变万化，万变不离其宗，其题型特点和解题思路都逃不脱本章所归类剖析的内容。我们确信，这些解题套路将是逻辑考试高分突破的真正秘诀，如果考生能熟练掌握，在遇到同类问题时，一定有助于尽快理清思路，找到正确答案。特别要指出的，本章“解题套路精析”每一类题型及其各种解题思路都是分解动作，目的是为了训练大家的解题感觉，如果感觉已形成并已熟练掌握了，那么在正式解题时就应一气呵成，而不用拘泥于具体是哪种思路了。其实逻辑题的推理过程最重要，要从繁复的叙述中看清事物间的推理关系，推理过程清楚了，什么题型都好说，很多题型是相通的。

一、假设

逻辑考题由段落、问题目的以及五个选项组成。一般而言，段落陈述论点，论点一般由论据(或前提)和结论组成。论点的结构与解答逻辑考题关系密切。在整个逻辑考题中，假设、支持、反对、评价多是围绕论点与论据设置问题。因此，在解答逻辑题时，应带有目的去读段落，这目的就是论据(或前提)和结论。而两者比较，结论比论据(或前提)更重要。

假设、支持、反对、评价这四种题型在整个逻辑推理题中占了相当大的比

16染色问题

染色是将一组对象进行分类的一种直观描述. 例如，我们将集合A中的一部分元素染成红色，另一部分元素染成兰色，再把剩下的元素全染成黄色，这时我们就把集合的元素分成了红、蓝、黄三类.由于这种描述方法形象直观，因而在竞赛数学中得到广泛的应用. 下面我们主要讨论图的染色、平面染色及网格染色问题. 1．基本原理

为了说话方便，我们作如下约定：若将图G的边用k种颜色染，每条边恰染一种颜色，则把这种染色图称为k染色图.若将图G的顶点用k种颜色染，每个顶点恰染一种颜色，则把这种染色图称为k顶点染色图. 若将平面上的点用k种颜色染，每个点恰染一种颜色，则把这种染色平面称为k染色平面.若将m?n的棋盘的?m?1??n?1?个格点用k种颜色染，每个格点恰染一种颜色，则把这种染色的棋盘称为k染色的网格.需要说明的是，将一组对象用k种颜色染色时，并不要求染色完后每种颜色的对象都要出现. 另外，我们还约定：在对图的边染色之后，边的颜色全相同的r阶完全子图称为同色kr，同色k3又称为同色三角形.

定理1 二染色的k6必有同色三角形. 完全图k5可以二染色使其不含同色三角形. 二染色的k5不含同色三角形的充要条件是k5由2个颜色相异的长为5的同色圈构成.

证

行程问题解题思路和方法

行程问题，是小学数学的重点，也是难点。我们就要把行程问题分类，包括相遇、追及、同向、逆向、还有特殊的，如水中行舟、火车过桥，下面介绍一点相关公式，但是这是公式，是“死\的东西，我们解体就是要把他们或用，举一反三，触类旁通，结合具体问题具体分析，发现路程、速度、时间之间的关系，而且做一道题，我们要尝试不同的做法，不要满足于解题的需要，发现隐含条件，找出解决题目的捷径。

因为小学生的抽象思维不强，所以他们往往无从下手，也就是找不到合适的突破口。 但行程问题又是有规律的。它所涉及的是速度、时间、路程三者间的关系。按物体运动的路线可分为：直线运动和曲线运动两大类；按物体运动方向分为：相向、相反、同向。

一、行程问题的公式归纳

其基本公式为“速度×时间=路程”。据此，演化成如下具体公式： 路程÷速度=时间 路程÷时间=速度

速度和×相遇时间=路程 路程÷相遇时间=速度和 路程÷速度和=相遇时间 平均速度=总路程÷总时间

追及路程÷速度差=追及时间

顺水速度=静水速度+水流速 逆水速度=静水速度-水流速

关键：解决此类应用题，要注意化繁为简，化抽象为具体，化文字为图示。

二、小学数学应用题中关于行程

武汉-交大力泉 15:32:23

高考数学解题思路一：函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系(或构造函数)运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题;方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程(方程组)或不等式模型(方程、不等式等)去解决问题。利用转化思想我们还可进行函数与方程间的相互转化。

高考数学解题思路二：数形结合思想

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。它既是寻找问题解决切入点的“法宝”，又是优化解题途径的“良方”，因此我们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

高考数学解题思路三：特殊与一般的思想

用这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，我们可以直接确定选择题中的正确选项。不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样精彩。

高考数学解题思路四：极限思想解题步骤

极限思想解决问题的一般步骤为：(1)对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量;(2)确认这变量通过无限过程的结果就

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现代商贸工业

第２０卷第２期

ＭｏｄｅｒｎＢｕｓｉｎｅｓｓＴｒａｄｅＩｎｄｕｓｔｒｙ

２００８年２月

应用泰勒公式解题的思路探讨

董烈勋

（武汉科技大学中南分校数学教研室，湖北武汉４３００００）

摘要：提出如何利用泰勒公式采分析函数性态，确定可导函数的极值点和曲线的拐点的方法．以及求证某些等式和不等式的思路．

，关键词：泰勒公式；极值点；拐点；等式；不等式；极限中图分类号：Ｇ６３３．６２

文献标识码：Ａ

文章编号：１６７２—３１９８（２００８）０２—０２０１—０１

ｌ

函数极值点与拐点的判定

设函数，（力在点Ｘ０的某邻域内具有行阶连续导数，且

从而，（Ｘ１）＋八Ｘ１）＜２，（ｚ）＋／（ｚ）（Ｘｌ＋．ｒｌ一２ｚ）＝

‘

２ｆ（力

厂（ｚｏ）一厂（ｘｏ）＝…＝，一一１）（ｘｏ）＝０，ｆ－＞（ｚｏ）≠ｏ，（恕≥

２），则；

（１）当ｉｔ／为偶数时，ｘｏ为，（ｚ）的极值点．

（２）当以为奇数时，则点（ｘｏ，ｆ（ｘｏ））为曲线ｙ；，（ｚ）的拐点．

证明：

（１）（咒为偶数），因为∥靠）（ｘｏ）≠０，不妨设∥一）（ｚｏ）＞０。由于，一’（ｚ）在Ｘ０处连续，即ｌｉｍｆ＿（一）＝∥”）（ｚｏ），根据极限的保号性，存在ＸＯ的某个去心邻域Ｕ（ｚｏ，ｄ），当ｚ∈Ｕ（ｚｏ，占）时，∥一，＞ｏ。那么对于