旋转曲面的面积公式推导

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： b?f(x

§4 旋转曲面的面积 (一) 教学目的：理解微元法的基本思想和方法，掌握旋转曲面的面积计算公式． (二) 教学内容：旋转曲面的面积计算公式． 基本要求：掌握求旋转曲面的面积的计算公式，包括求由参数方程定义的旋转曲面的面积；掌握平面曲线的曲率的计算公式． (三) 教学建议： 要求学生必须熟记旋转曲面面积的计算公式，掌握由参数方程定义的旋转曲面的面积． ———————————————————— 一 微元法 用定积分计算几何中的面积，体积，弧长，物理中的功，引力等等的量，关键在于把所求量通过定积分表达出来. 元素法就是寻找积分表达式的一种有效且常用的方法. 它的大致步骤是这样的：设所求量 是一个与某变量(设为x)的变化区间 有关的量，且关于区间 具有可加性. 我们就设想把 分成n个小区间，并把其中一个代表性的小区间记坐 ， 然后就寻求相应于这个小区间的部分量 的近似值（做这一步的时候，经常画出示意图帮助思考），如果能够找到 的形如 近似表达式（其中 为 上的一个连续函数在点x处的值， 为小区间的长度),那么就把 称为量 的元素并记做 ，即 dU?f(x)dx 以量 的元素作为被积表达式在 上进行积分，就得到所求量 的积分表达式： b?f(x

旋转坐标公式推导

x' cos y' sin

其中 sin x cos y x,y表示物体相对于旋转点旋转 的角度之前的坐标,x',y'表示物体逆时针旋转 后相对于旋转点的坐标

从数学上来说，此公式可以用来计算某个点绕着另外一点旋转一定角度后的坐

,,,,,cd, 标，例如：A(x,y)绕B(a,b)旋转 角度后的位置为C(c,d)，则xyab

有如下关系式：

1．设A点旋转前的角度为 ，则旋转(逆时针)到C点之后角度为

2．求A，B两点的距离：dist1=|AB|=y/Sin( ) x/Cos( )

3．求C，B两点的距离：dist2=|CB|=d/Sin( ) c/Cos( )

4．显然dist1=dist2，设dist1=R所以：

R=y/Sin( ) x/Cos( ) d/Sin( ) c/Cos( )

5．由三角函数两角和差公式知：

旋转坐标公式推导

n ) Si(

s ) Co(

所以得出：

S(i n)C(o s)C ( o)sC ( o)s C(o )s (S i)n SinSin

c=RCos( ) RCos( )Cos( ) RSin( )Sin( ) xCos( ) ySin(

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一个方程F(x, y, z) = 0或z=f (x, y) 与一个曲面?有着关系：(1) 满足方程的(x, y, z)是曲面?上点的坐标；(2) 曲面?上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程，则方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F (x, y, z)＝0的图形.

二、参数方程

1．设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数

= (u, v) 或 (u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)

,

其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量，它们都是变数u, v的函数，当u, v取遍变动区域的一切值时，径矢

= (u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹，一般为一张曲面.

2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能取的值，径矢

(u, v)的终点M总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≤u≤b, c≤v≤d)通过

(u, v)=x(

§2.2 曲面的方程

一、普通方程

如果一个方程F(x, y, z) = 0或z=f (x, y) 与一个曲面?有着关系：(1) 满足方程的(x, y, z)是曲面?上点的坐标；(2) 曲面?上的任何一点的坐标(x, y, z)满足方程，则方程F(x, y, z)＝0叫做曲面?的普通方程，而曲面?叫做方程F (x, y, z)＝0的图形.

二、参数方程

1．设在两个变数u, v的变动区域内定义了双参数矢函数

= (u, v) 或 (u, v)=x(u, v)

+y(u, v)

+z(u, v)

,

其中x(u, v), y(u, v), z(u, v)是变矢(u, v)的分量，它们都是变数u, v的函数，当u, v取遍变动区域的一切值时，径矢

= (u, v)=x(u, v)+y(u, v)+z(u, v)

的终点M(x(u, v), y(u, v), z(u, v))所画成的轨迹，一般为一张曲面.

2. 如果取u, v (a≤u≤b, c≤v≤d)的一切可能取的值，径矢

(u, v)的终点M总在一个曲面上；反过来，在这个曲面上的任意点M总对应着以它为终点的径矢, 而这径矢可由u, v的值(a≤u≤b, c≤v≤d)通过

(u, v)=x(

高等数学学习辅导 多元函数积分学 1

多元函数积分学

一、主要内容

1、重积分的概念与性质.

2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标.

3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标. 4、重积分的应用：几何应用、物理应用.

5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质. 6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）.

7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质. 8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）. 9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用. 10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度.

二、学习要求

1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。

2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。

3、理解多元函数积分的元素法。会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。线、面积分表达式并进行计算。

4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用）

5、掌握曲线（面）积分与积分

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源

为了方便大家学习数学,本文介绍了目前最实用的10种求各种条件下的三角形面积公式,以飨读者。

最全面的三角形面积公式

河北邯郸 贾敬堂

一提到三角形面积公式，大家都知道。 ① 已知三角形的底边长为a, 高为h，则

三角形面积S= 底 高 2

ah2

B

实际上，三角形面积公式太多啦，上面得公式是最基本的公式，根据条件不同，三角形面积公式也不同。

②已知三角形的周长为l，内切圆半径为r，则三角形面积S

lr2

L4R

③已知三角形的三边长的乘积为L，外接圆半径为R，则三角形面积S

uurruuurr④已知三角形AOB中，向量O

A a，OB b，则三角形面积S

此公式也适用于空间三角形求面积。

⑤已知在平面直角坐标系中，三角形ABC的三顶点坐标分别为，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

C(x3,y3),

为了方便大家学习数学,本文介绍了目前最实用的10种求各种条件下的三角形面积公式,以飨读者。

则三角形面积S

12

x1x2x3

y1y2y3

1

1的绝对值 1

12

x1y2 x2y3 x3y1 x1y3 x2y1 x3y2。

特别地，当C(0,0)，或经过平移后C(0,0)，此时，三角形面积S

121

x1y2 x2y1。 (a b c)，则

⑥海伦（Heran）公式，已知

马歇尔-勒纳条件：假定、推导和说明1

马歇尔-勒纳条件研究一定前提条件下

本币对外贬值改善贸易收支的必要条件

1)假定：

局部均衡：进出口值由进出口商品的相对价格和进出口量决定，其他影响进

出口的因素，如消费者的收入、其他商品的价格、消费者的偏好等都不变； 贸易商品的供给弹性无穷大，进出口的价格不因需求的增加而上涨，也不因

需求的减少而下降（贬值国是小国）；

不考虑资本流动，即国际收支等于贸易收支；

初始条件假定：假定贬值前贸易差额不大，进出口在贬值前基本平衡;

设出口商品的汇率弹性为 X，进口商品的汇率弹性为 M，即：

（1）

其中：

Δ:变化量，

X和M:分别表示出口数量和进口数量，

r:直接标价的汇率（一单位外币可兑换的本币数量）。本币对外贬值时，

r增加。

2)推导过程：

由于一国通常采用本币来记录国际收支，因此，我们讨论用本币表示国际收支的情况。

在没有国际资本流动的假定下，国际收支B等于贸易收支：

B PX rPM （2）

其中Px为出口商品以本币表示的价格，PM为进口商品以外币表示的价格，并假定这些价格不变。

如果本币贬值，即r增加时，dB>0，则本币贬值能起到改善贸易收支的作用。 对（2）式求导，得： 1本推导过程和说明的主要来源

先进制造技术课程大作业 2014年10月

复杂曲面的测量技术研究

摘要：复杂曲面类零件在机械、航空航天和国防等行业有着广泛的应用，复杂曲面的加工质量也是制约整个系统性能的关键因素，同时复杂空间型面的测量是曲面的精度检验和反求的基础。因此，复杂曲面的测量就显得尤为重要。本文将主要介绍*

复杂曲面的两种测量方法，即接触式测量和非接触式测量。 关键词：复杂曲面 检测 接触式测量 非接触式测量

0 前言*

在与现代制造技术紧密相关的航空航天、汽车、造船、模具等工业领域，复杂曲面由于其具有优越的几何特征，在实现系统力学特性、光学特性、流体特性等高物理性能要求方面扮演着重要角色，而复杂曲面的加工精度也成为制约整个系统性能的关键因素，如何来表达、获取、传递和利用加工质量信息及实现加工质量的有效控制，成为现代制造领域的重要课题。

曲面测量是曲面类零部件实物模型的数学建模、质量检查、数控加工反馈控制的必要环节。曲面测量规划是实现曲面自动测量的基础，也是测量技术中的一个难点。测量规划要考虑的一个重要问题就使测量数据既满足必要性又满足充分性，从而用最少的数据点重建出满足精度的CAD模型。

1 复杂曲面测量

1.1 复杂曲面

复杂曲面是相对于简单曲