和差倍问题线段图画法

第一讲 和倍问题

例1.甲班和乙班共有图书160本。甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

解：160?（3+1）＝40（本）………………乙班 40?3＝120（本）

或160－40＝120（本）………………………甲班

例2.甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？ 分析：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量。从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量。最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍。

解：（30+120）?（2+1）＝150?3＝50（本） 乙班现有图书 50－30＝20（本）

例3.光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 分析：把女生人数看作1倍数，则男生人数加上40是3倍数，那么全校人数加上40就是4倍数（见图）。

解：（760+40）?（3+1）＝200（人）…………女生 200?3－40＝560（人）

或760－200＝560（人）…………………………男生

例4.果园里有桃树、梨树、苹

线段的和差倍分问题的证明

一、运用定理法

即直接或间接运用某些涉及线段和差倍分关系的定理或推论进行证明。此类定理和推论有：三角形中位线定理；梯形中位线定理；直角三角形30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

例1 如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC 于D，M为BC中点.

1求证：DM = AB 22 B D M A N 3 1 C 对应练习 1、已知：如图所示，点D、E分别是等边?ABC的边AC、BC上的点，AD=CE，BD、AE交于点P，BQ?AE于Q．求证：PQ?1PB． 2A

P D

Q

B C E 2、如图所示，在?ABC中，AB=AC，?BAC?90?，BE平分?ABC，交AC于D，CE?BE于E点，求证：CE?

3、如图所示，在?ABC中，AB?1BD． 2A

D E

B C

1BC，D是BC的中点，M是BD的中点．求证：AC=2AM． 2

A

B C M D 4、已知：如图所示，D是?ABC的边BC上一点，且CD=AB，?BDA??BAD，AE是?ABD的中线．求证：AC=2AE．

A

1

B E DC

5、已知：如图所示，锐角?ABC中，?B?2?C，BE是角

第七讲 年龄问题 【 基本概念和有关知识】

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。 【 例题讲解】

例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

例2 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？

例3 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？

例4 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是7

课后巩固：专题一 平均数

完成时间_____________ 家长签字________________

1、 五个裁判员给一名体操运动员评分，去掉一个最高分和一个最低分，平均得9.58分；去掉一个最高分平均得9.46分；去掉一个最低分平均得9.66分。这个运动员的最高分和最低分相差多少？

2、小强前几次数学平均成绩是84分，这次要考100分才能使平均成绩达到85分。这是第几次考试？

3、小明从A地到B地的平均速度为3米/秒，然后又从B地按原路以7米/秒的速度返回A地，那么小明在A地和B地之间行一个来回的平均速度应为多少？

4、次数学竞赛的女生与男生人数的比是1:3，这次竞赛的平均成绩是82分，其中男生的平均成绩是80分，女生的平均成绩是多少分。

5、某次考试，A、B、C、D、E五人的平均成绩是90分，A、B两人的平均成绩是96分，C、D两人的平均成绩是92.5分，A、D两人的平均成绩是97.5分，且C比D得分少15分，则B的分数是多少？

6、商店用相同的费用购进甲、乙

第七讲 年龄问题 【 基本概念和有关知识】

年龄问题是小学数学中常见的一类问题.例如：已知两个人或若干个人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等.年龄问题又往往是和倍、差倍、和差等问题的综合.它有一定的难度，因此解题时需抓住其特点。

年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同.我们可以抓住差不变这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件，解答这类应用题。

解答年龄问题的一般方法是：

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄，

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差。 【 例题讲解】

例1 爸爸妈妈现在的年龄和是72岁；五年后，爸爸比妈妈大6岁.今年爸爸妈妈二人各多少岁？

例2 在一个家庭里，现在所有成员的年龄加在一起是73岁.家庭成员中有父亲、母亲、一个女儿和一个儿子.父亲比母亲大3岁，女儿比儿子大2岁.四年前家庭里所有的人的年龄总和是58岁.现在家里的每个成员各是多少岁？

例3 父亲现年50岁，女儿现年14岁.问：几年前父亲年龄是女儿的5倍？

例4 6年前，母亲的年龄是儿子的5倍.6年后母子年龄和是7

和差倍问题

知识结构

已知条件 公式适用范围 ①(和－差)÷2=较小数 较小数＋差=较大数 和－较小数=较大数 ②(和＋差)÷2=较大数 较大数－差=较小数 和－较大数=较小数 和与差 和差问题 几个数的和与差 和倍问题 几个数的和与倍数 已知两个数的和，差，倍数关系 差倍问题 几个数的差与倍数 公式 和÷(倍数＋1)=小数 小数×倍数=大数 和－小数=大数 差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 小数＋差=大数 关键问题 求出同一条件下的 和与倍数 差与倍数 例题精讲 例题1 学校图书馆有文艺书与科技书共605本，文艺书的本数比科技书的3倍多50本，图书馆有文艺书和科技书各多少本？

练习

1、 禽养场今年养鸡和鸭共4600只，养的鸡比鸭的4倍还多100只，禽养场今年的鸡鸭各多

少只？

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2、姐姐和妹妹共做了340朵小红花，后来姐姐把她做的红花送给了小明30朵，妹妹自己又做了20朵，这时姐姐做的小红花是妹妹的5倍。问原来姐姐，妹妹各做了多少朵红花？

例题2

一根电线长240米，把它截成三段，使第一段比第二段长20米，第三段长是第一段的2倍。这三段电线各长多少米？

?婺源飞哥教你学数学

第一讲 和差、和倍、差倍问题

一、精典例题

例1：妈妈买了一套套装用了456元，上衣比裤子贵66元，那么买一件上衣和一条裤子分别需要多少钱？

上衣价格（456+66）÷2=261（元）

裤子价格（456－66）÷2=195（元） 或 261-66＝195（元）

例2：小明家有公鸡和母鸡一共45只，公鸡是母鸡的4倍，各有多少只？ 母鸡只数：45÷（4＋1）＝9（只）

公鸡只数：9×4＝36（只） 或 45-9＝36（只）

例3：某工厂有两个车间，第一车间比第二车间多做210个零件，第一车间做的零件数是第二车间的3倍。两个车间各做零件多少个？ 第二车间：210÷（3-1）＝105（个）

第一车间：105×3＝315（个） 或 105＋210＝315（个）

二、知识要点

1、和差问题：大数＝（和+差）÷2 小数＝（和-差）÷2 2、和倍问题：小数（1倍数）＝和÷（倍数+1） 3、差倍问题：小数（1倍数）＝差÷（倍数-1）

三、练习题

1、两个数的和是36，差是22，求大、小两数各是多少？

2、林红和李强共有170张画片，林红比李强多20张，林红和李强各有多少张画片？

3、两筐苹果共重55千克，

1激发兴趣，教给方法，培养习惯，塑造品格

和差倍分问题

提问1：复习巩固已经熟悉的两个等量关系式 两个基本的相等关系:

(1) 总量=所有分量之和（2）表示同一个量的两个式子相等 提问2：一元一次方程解实际问题的一般步骤 1 审题

2 设未知数 3 找相等关系 4 列方程 5 解方程

6 答题（先检验再答） 1.和差倍分问题

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数(和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数)

问题1.顾客用540元买了两种布料共138尺，其中蓝布料每尺3元，黑布料每尺5元，两种布料各买了多少？ 解：设买蓝布x俄尺，则买黑布（138-x）俄尺。

3x + 5（138-x）= 540

练习1：学校组织初一年级79名同学捐旧报纸，1班每人捐5斤，二班每人捐4斤，总共捐了354斤，求两班各有多少人？

问题2.把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本. 这个班有多少学生？

一、和倍问题

和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。

和÷(倍数+1)=小数（1倍数）

小数×倍数=大数

或：和-小数=大数

例1、甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

解析：160÷（3+1）=40本…乙

40×3=120本… 甲

例2、光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 解析：（760+40）÷（1+3）=200…女

760-200=560…男

例3、 大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个，后来大白兔吃了20个，而小灰兔又采了10个，这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的蘑菇的5倍，原来小灰兔采了多少个蘑菇？（南京2届兴趣杯邀请赛预赛A卷）

解析：（160-20+10）25个

25-10=15个

例4、甲、乙、丙、丁4个数的和是549，如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？

解析：549÷9=61…丙 61×2-2=120…甲

61&

小学奥数典型问题

第三讲 差倍问题

【专题导引】

已知两个数量的差以及它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的问题，叫做差倍问题 (如：甲比乙多30，且甲是乙的4倍，求甲乙两数各是多少？)

解答差倍应用题的基本数量关系是： 差是多少？

小数 = 差÷（倍数－1） 倍数是多少？ 大数 = 小数×倍数 （或=小数+差）

解答差倍应用题时，先要求出与两个数的差及对应的倍数。在一般情况下，它们往往不会直接告诉我们，这就需要我们根据题目的具体特点将它们求出。往往出现以下变式：

A．如果甲給乙数量n后，甲乙数量相等，则甲乙数量相差2?n

1差变 ○

2倍变 ○

B．如果甲給乙数量n后，甲乙还相差m，则甲乙数量相差2?n?m C．如果甲减少m与乙减少n后，两者数量相等，则甲乙数量相差n-m

D．如果甲减少m与乙增加n后，两者数量相等，则甲乙数量相差n?m E．甲乙数量原本相同，若甲减少m，乙减少n后，两者所剩数量相差m-n A．n倍多多少，则减去多的构成整数倍 B．n倍少多少，则补足多的构成整数倍 C．整除也是一种倍数关系

当题中出现三个或三个以上的数量时，一般把题中有关数量转化为两个量之间的差及倍数关系。

【典型例题】

【例1】学校去年有12人