大学物理刚体力学公式

大学物理刚体力学基础

大学物理刚体力学基础

大学物理学 刚体力学

一.刚体运动的基本形式由无数个连续分布的质点组成的质点系,每个质点称 为刚体的一个质量元. 每个质点都服从质点力学规律. 刚体 —— 一种理想模型. 刚体内任意两质元间距离, 在运动过程中保持不变.

刚体的运动——平动和转动. 任何复杂的运动为 两者的叠加.倪忠强 第2页

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大学物理学 刚体力学

刚体的平动 刚体上任一给定直线(或任意二质点间 的连线)在运动中空间方向始终不变而 保持平行. 转轴 刚体的转动 转动 —— 刚体内各质元绕同一直线做圆周运动.

定轴转动 —— 整个转轴相对参 考系静止.定点转动 —— 转轴上只有一点 相对参考系静止, 转动方向不断 变动.倪忠强 第3页

大学物理刚体力学基础

描述刚体转动的物理量 转动平面: 定轴转动刚体上各质点的运动面. 刚体定轴转动的特点: 1. 转动平面垂直于转轴. 2. 转动平面上各点均做圆周运动, 角量相 同, 线量不同. 3. 定轴转动刚体上各点的角速度矢量 的 方向均沿轴线。角坐标: 角速度:

大学物理学 刚体力学

dt 角加速度: d (rad s 2 )dt

( rad) 角位移:

习题5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

T1?mg?ma┄②

(T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④

2Ta?r? ，J?mr/2┄⑤

联立，解得：a?14g，T?118mg 。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：??ml，在杆上取

一小质元dm??dx，有微元摩擦力： df??dmg???gdx， 微元摩擦力矩：dM???gxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：

lM?2???gxdx?2014?mgl；

td?，有：??Mdt?0dt（2）根据转动定律M?J??J?14??00Jd?，

?mglt??112ml?0，∴t?2?0l3?g。

112ml

习题5

5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为mr2/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：

2mg?T2?2ma┄①

T1?mg?ma┄②

(T2?T)r?J?┄③ (T?T1)r?J?┄④

2Ta?r? ，J?mr/2┄⑤

联立，解得：a?14g，T?118mg 。

5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为?的水平桌面上，设开始时杆以角速度?0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：??ml，在杆上取

一小质元dm??dx，有微元摩擦力： df??dmg???gdx， 微元摩擦力矩：dM???gxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：

lM?2???gxdx?2014?mgl；

td?，有：??Mdt?0dt（2）根据转动定律M?J??J?14??00Jd?，

?mglt??112ml?0，∴t?2?0l3?g。

112ml

(二)刚体力学

1．质量分布均匀的两个滑轮A和B，用细绳相缠绕，其中A轮质量为M1，半径为R1，悬挂在天花板上，B轮质量为M2，半径为R2，B轮从静止状态沿铅直方向下落，试求B轮质心的速度与下落距离的关系。（忽略轮轴间摩擦及细绳质量）

A M1 T T 2 1 B

M2 2题图 1题图 2．如图所示，一人质量为m1，站在一起重机笼内，笼的质量为m2，半径为R的滑轮质量为M，滑轮与绳之间无滑动，滑轮与轴承之间的摩擦不计，绳的质量也不计，人用力拉绳，使人与笼一起以加速度a上

第七章 刚体力学

刚体：在任何情况下，形状大小都不变的力学研究对象。

运动物体可视为刚体的条件：物体的大小形状必须考虑，但形变可以不计。 刚体的简化模型：各质点间距离始终保持不变的质点系。

一、课时安排：10学时 二、教学目的与要求：

1、了解刚体运动的描述，掌握角速度、角加速度的概念及定轴转动的运动学基本公式； 2、会计算刚体的质心、掌握刚体的动量和刚体的质心运动定理；

3、熟练掌握刚体定轴转动的转动定律、动能定理和转动惯量的概念及计算方法； 4、了解刚体平面平行运动问题的研究方法； 5、掌握刚体的平衡。了解刚体的自转与旋进。

三、教学重点与难点：

重点：

刚体运动的描述方法；刚体定轴转动的运动学与动力学；刚体的平衡。 难点：

转动惯量的理解和计算；学生学习思维方式的转变；刚体转动的角动量，应用刚体力学有关规律解决实际问题。 教材分析：（分为6个单元） 1、刚体运动学（§7—1）； 2、刚体平动的动力学（§7—2）；

3、刚体定轴转动动力学（§7—3、§7—4）是全章的重点； 4、刚体的平面平行动力学（§7—5）； 5、刚体的平衡（静力学）（§7—6）; 6、刚体的自转与旋进（7—7）

第七章 刚体力学

§7.1刚体运动的描述

一、刚体的平

第五章 刚体力学

1. 已知：R=0.2m,m=1Kg, V0=0 , h=1.5m，绳轮无相对滑动，绳不可伸长，下落

时间 t=3s. 求：轮对O轴 J=？

2. 一轻绳跨过一定滑轮，滑轮视为圆盘，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体

1和2，m1< m2 如图所示。设滑轮的质量为m ，半径为r，所受的摩擦阻力矩为

Mτ。绳与滑轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。

3. 一质量为m，长度为l的均匀细杆，可绕通过其一端O且与杆垂直的光滑水平轴转

动。若将此杆在水平位置由静止释放，求当杆转到与水平方向呈θ角时的角速度。

三种方法：

1.转动定律

2.定轴转动的动能定理 3.机械能守恒定律

4. 已知：均匀直杆m，长为l ， 初始水平静止，轴光滑，

角后，角速度 w=？

， 求：杆下摆

5. 我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点，

已知地球的平均半径为R，人造卫星距地面最近距离为l1，最远距离为l2，若人造卫星在近地点A1的速度为v1，求人造卫星在远地点A2的速度。

6. 一匀质细棒长为l ，质量为m，可绕通过其端点O的水平轴转动，如图所示。当

棒从水平位置自由释

(二)刚体力学

1．质量分布均匀的两个滑轮A和B，用细绳相缠绕，其中A轮质量为M1，半径为R1，悬挂在天花板上，B轮质量为M2，半径为R2，B轮从静止状态沿铅直方向下落，试求B轮质心的速度与下落距离的关系。（忽略轮轴间摩擦及细绳质量）

A M1 T T 2 1 B

M2 2题图 1题图 2．如图所示，一人质量为m1，站在一起重机笼内，笼的质量为m2，半径为R的滑轮质量为M，滑轮与绳之间无滑动，滑轮与轴承之间的摩擦不计，绳的质量也不计，人用力拉绳，使人与笼一起以加速度a上

习 题 四

4-1 一飞轮的半径为2m，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。当重物下落时可使飞轮旋转起来。若重物下落的距离由方程x?at2给出，其中a?2.0ms2。试求飞轮在t时刻的角速度和角加速度。

[解] 设重物的加速度为at，t时刻飞轮的角速度和角加速度分别为?和?，则

d2xat?2?2a

dt因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 at?R? 则 ??at2a2?2.0???2.0rad/s2 RR2 由题意知 t=0时刻飞轮的角速度?0?0

所以

???0??t??t?2.0trads

4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200radmin，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止转动。若该飞轮总共转了100转，求共运转了多少时间? [解] 分三个阶段进行分析

210 加速阶段。由题意知 ?1??1t1 和 ?1?2?1?1 得

?12?1t1?1??

2?1220 匀速旋转阶段。 ?2??1t2

?12?1t3?3制动阶段。?

刚体力学答案

练习一 刚体的转动定律

一、填空题

1．25π，－π，625π

2．刚体转动中惯性大小的量度，J??r2dm ，刚体的形状、质量分布、转轴的位置 3．50ml 4．157 N·m 5．1.5g 6．0.5kg·m 二、计算题

1．解：由于 α=–kw

2

2

2

d???k?即 dt

d?分离变量 ???kdt

t积分

???0d?????kdt0

ln有

???kt?0

?kt???e0t时角速度为

2．解：设绳中张力为T

对于重物按牛顿第二定律有

m2g–T=m2a (1)

对于滑轮按转动定律有

(2)

由角量线量关系有 a=ra (3)

联立以上三式解得

3．解：由转动定律得 －μNR=mR2(ω－ω0)/Δt

N=－m R2 (ω－ω0)/ μRΔt=250π

又有 0.5N－(0.5+0.75)F=0

F=100π=314(N)

4．解：各物体受力情况如图．

F－

第三章3.1 刚体的运动

刚体的转动A’A B B’ A” B”

刚体: 受力时不改变形状和体积的物体。 刚体的平动、定轴转动和复合运动 一、刚体的平动在运动过程中刚体上的任意一条 直线在各个时刻的位置都相互平行 任意质元运动都代表整体运动

刚体的平动

二、 刚体的定轴转动

用质心运动代表刚体的平动 (质心运动定理)

刚体所有质元都绕一固定直线(定轴)作圆周运动

1. 用角量描述转动 1) 角位移 θ :在 t 时间内刚体转动角度

z θ

2)角速度 :

3)角加速度 α :

刚体定轴转动

角速度

的方向按右手螺旋法则确定

2. 线量与角量关系

dS r d

ds d v r r dt dt

z

a

切向分量 法向分量

dv d a r r dt dt

v

dSP

v2 an r 2 r匀变速定轴转动 Od dt

r d

匀变速直线运动

dS v dtdv a dt

v v0 at 1 2 S v0t at 22 v 2 v0 2aS

0 t1 2 0t t 2 2 2 0 2

d dt

3.2 刚体定轴转动定律质点系的角动量定理 M 外