北京中考二次函数压轴题

朝阳

24．（本小题满分7分）

已知直线y=kx-3与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点C，抛物线y??32x?mx?n经过点A和点C,4动点P在x轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x轴的另一个交点B向点A运动，点Q由点C沿线段CA向点A运动且速度是点P运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式； （2）如果点P和点Q同时出发，运动时间为t（秒），试问当t为何值时，△PQA是直角三角形；

（3）在直线CA上方的抛物线上是否存在一点D，使得△ACD的面积最大，若存在，求出点D坐标；若不存在，

请说明理由．

崇文

2５．已知抛物线y?ax2?bx?1经过点A（1，3）和点B（2，1）． （1）求此抛物线解析式；

（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值；

（3）过点B作x轴的垂线，垂足为E点．点P从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F点,再沿FE到达E点，若P点在对称轴上的运动速度是它在直线FE上运动速度的2倍,试确定点F的位置,使得点P按照上述要求到达E点所用的时间最短．（要求：简述确定F点位置的方法，但不要求证明）

23．已知P（?3,m)和Q（1，m）是抛物线y?2x?bx?1上的两点

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

第1页（共90页）

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

第1页（共90页）

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P

二次函数压轴题精讲

1．二次函数综合题

（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．

（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用

将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题

从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．

第1页（共90页）

例1. 已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴、y轴的交

点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．

（1）直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；

（2）若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形？若存在，求出点P

二次函数常见压轴题型

已知y=x 2x 3

2

和最小，差最大 在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出P点坐标

在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出P点坐标

求面积最大 连接AC,在第四象限的抛物线上找一点P，使得 ACP面积最大，求出P

坐标

讨论直角三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得 ACP为直角三角形，求出P坐标

或者在抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．

讨论等腰三角 连接AC,在对称轴上找一点P，使得 ACP为等腰三角形，求出P坐标

讨论平行四边形 1、点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，

E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标

2、这里小改动，把C（0，-3）改成C（2，-3）

连接BC,在x轴上找一个点F，抛物线上找一点P，使得以B、C、F、P为顶点的四边形构成平行四边形

和最小差最大

1、如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2cm，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B和D(4, ). （1）求抛物线的解析式.

（2）如果点P由点A出发沿AB边以2cm/s的速度向点B运动，同

时点Q由点B出发沿BC边以1cm/s

页眉内容

中考二次函数综合压轴题型归类

一、常考点汇总

1、两点间的距离公式：()()22B A B A x x y y AB -+-=

2、中点坐标：线段AB 的中点C 的坐标为：???

??++22B A B A y y x x ， 直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系：

（1）两直线平行?21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交?21k k ≠

（3）两直线重合?21k k =且21b b = （4）两直线垂直?121-=k k

3、一元二次方程有整数根问题，解题步骤如下：

① 用?和参数的其他要求确定参数的取值范围；

② 解方程，求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式）

③ 分析求解：若是分式，分母是分子的因数；若是二次根式，被开方式是完全平方式。

例：关于x 的一元二次方程()0122

2＝－m x m x ++有两个整数根，5＜m 且m 为整数，求m 的值。 4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题。（方法同上）

例：若抛物线()3132

+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式。

5、方程总有固定根问题，可以通过解方程的方法求

二次函数应用题及压轴题

1．（2014?眉山）“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可售出50箱；若每箱产品涨价1元，日销售量将减少2箱． （1）现该销售点每天盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？ 2．（2014?台州）某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．

（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；

（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w关于x的函数关系式；

②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？

（3

二次求导

【理·2010全国卷一第20题】已知函数f(x)?(x?1)lnx?x?1. （Ⅰ）若xf'(x)?x?ax?1，求a的取值范围； （Ⅱ）证明：(x?1)f(x)?0

先看第一问，首先由f(x)?(x?1)lnx?x?1可知函数f?x?的定义域为?0,???，易得

211f??x??lnx??x?1??1?lnx?

xx则由xf'(x)?x?ax?1可知x?lnx?2??1?2??x?ax?1，化简得 x?xlnx?x2?ax，这时要观察一下这个不等式，显然每一项都有因子x，而x又大于零，所以两边同

乘

1可得lnx?x?a，所以有a?lnx?x，在对g?x??lnx?x求导有 x1g??x???1，即当0＜x＜1时，g??x?＞0，g?x?在区间?0,1?上为增函数；当x?1时，g?x??0；

x当1＜x时，g??x?＜0，g?x?在区间?1,???上为减函数。

所以g?x?在x?1时有最大值，即g?x??lnx?x?g?1???1。又因为a?lnx?x，所以a??1。 应该说第一问难度不算大，大多数同学一般都能做出来。再看第二问。

要证(x?1)f(x)?0，只须证当0＜x?1时，f?x??0；当1＜x时，f?x?＞0即可。

11，但用

1．如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式；

（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；

（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；

（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；

（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．

【解答】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3， ∴A（1，0），B（4，3）， ∵y=﹣x2+bx+c

中考二次函数压轴题专题分类训练

题型一：面积问题

【例1】(2009湖南益阳)如图2,抛物线顶点坐标为点C(1 , 4)，交x轴于点A(3 , 0)，交

y轴于点B

(1 )求抛物线和直线AB的解析式；

(2)求厶CAB的铅垂高CD及S A CAB；

(3 )设点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点P,使S\ PAB=

若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由

【变式练习】

1. ( 2009广东省深圳市)如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(—2, 0)，连结OA将线

段OA绕原点O顺时针旋转120°得到线段OB

(1)求点B的坐标；

(2)求经过A O B三点的抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C,使厶BOC的周长最小？若存在，求出点C

的坐标；若不存在，请说明理由.

(4)如果点P是(2)中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△ PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△ PAB的最大面积；若没有，请说明理由.

1

2

2. ( 2010绵阳)如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A (- 4, 0)、B

(2, 0),与y轴交于点C,顶点为D. E (1, 2)为线段BC的中点, BC的