圆中的最值问题公开课

拔高专题 圆中的最值问题

一、基本模型构建 常见模型 图(1) 图（2） 思考 图（1）两点之间线段 最短 ； 图（2）垂线段 最短 。 .在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的 对称 点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点． 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题

例1：如图，A点是⊙O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P点是MN上一动点，⊙O的半径为3，求AP+BP的最小值。

解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′． ∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， ∴∠A′ON=∠AON=60°，PA=PA′，∵点B是弧AN的中点，

∴∠BON=30°，∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=90°，又∵OA=OA′=3， ∴A′B=32．∵两点之间线段最短，∴PA+PB=PA′+PB=A′B=32．

【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置．根据轴对称和两点之间线段最短的知识，把两条线段的和转化为一条

“一师一优课”

《动态最值问题——圆内最值问题》教学设计

西安爱知中学 郭晏铖

【学情分析】

在运动变化中求最值的问题灵活性较强，涉及的知识面较广，对学生思维能力要求较高，经常令学生束手无策。因此如何正确快速的求解成为学生学习中的难点。本节课前,学生已经学习了圆的基本知识,以及点和圆、直线和圆的位置关系。四班的同学在年级中属中等偏上水平，对于基本知识的学习掌握的较快，但缺乏应用的灵活性。与圆有关的最值问题可以变零散的知识为学生整体的认识，变重复枯燥的学习为新奇有趣的探索，在训练学生逻辑思维的同时，还能培养学生的探索能力 【教学方法】

对于圆中求最值问题,学生经常感到无从下手，处理此类题目首先要明确题目中运动的对象，然后就是根据按照题目要求作出运动过程中某一时刻的图象。现在学生普遍欠缺作图能力，因此我在题目的设置上也遵循由易到难的原则，从给出图形到简单作图再到复杂作图，让学生在这个过程中体会作图的重要性。

任何运动变化问题中总隐含着定量和不变关系，这也是解决这类问题的关键。在设计时我也注重设计情境，引导学生自己挖掘题目中的信息，找到这些关键点。从例1中的定量过渡到不变的位置关系再到不变的数量关系，剥茧抽丝，层层递进，从而体会探究的乐趣。

圆中最值问题

类型一 圆上一点到直线距离的最值问题

22(x?3)?y?1上任一点，则PQ的最小例1 已知P为直线y=x+1上任一点，Q为圆C：

值为 .

变题1：已知A(0,1),B(2,3),Q为圆C(x?3)2?y2?1上任一点，则SVQAB的最小值为 .

变题2：由直线y=x+1上一点向圆C：(x?3)2?y2?1引切线，则切线长的最小值为

变题3：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则当PC= 时，?APB最大．

变题4：已知P为直线y=x+1上一动点，过P作圆C：(x?3)2?y2?1的切线PA，PB,A、B为切点，则四边形PACB面积的最小值为 .

例2已知圆C：x2?y2?2x?4y?3?0，从圆C外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM=PO,求使得PM取得最小值的点P坐标．

y C O x

类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义）

例3若实数x、y满足x2?y2?2x?4y?0，求x-2y的最大值． 如在上例中，改为求

y?1，(

小学数学《圆的认识》公开课教案

课前与同学谈话省略

师：今天上课我们学什么？大声地说“学什么”

生齐：圆的认识

师：从哪里看到的？只给我看，生指屏幕

师：屏幕上有，还有呢？师：说，哪有？

师：没错，圆片，还有吗？生：圆规

师：没错，还有圆规。小朋友们都很善于观察、善于联想。老师的信封里还有一个圆，想看看吗？生齐：想

师出示一个信封，摸出一个圆片，师：是圆吗？

生：是

师：听说咱们班的同学特别的聪明，所以，一会儿老师要把这个圆片放进信封了，让同学们把他摸出来，有没有信心？

生齐：有

师：我不会轻易的给你们这样一个简单的问题的，这里面不只仅有着一个圆，还有其他的图形，想看看吗？

第 1 页

师：好，现在看谁的反应最快？师从信封里摸出一个长方形生：长方形

师：男孩的反应快，状态也不错。师从信封里摸出一个正方形生：正方形

师：还有一个图形

师从信封里摸出一个三角形生：三角形

师：猜猜还有吗？

师从信封里摸出一个平行四边形生：平行四边形

师从信封里摸出一个梯形生：梯形

师：行了行了，小朋友们，都别你们猜到了。教师课件演示各种图形，

师；同学们能不能从各种图形中把圆摸出来？你觉得有难度吗？

生齐：没有

师：为什么？

生：因为圆是由曲线围成。师：而其他图形呢？

第 2 页

生：都是由直线，哎！线

4.1.1 圆的标准方程

一、教学分析

在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前几节内容的基础上，进一步运用解析法研究圆的方程、它与其他图形的位置关系及其应用。同时，圆是特殊的圆锥曲线，因此，学习了圆的方程，就为后面学习其他圆锥曲线的方程奠定了基础。也就是说，本节内容在教材体系中起到承上启下的作用，具有重要的地位，在许多实际问题中也有着广泛的应用。

由于“圆的方程”一节内容的基础性和应用的广泛性，对圆的标准方程要求层次是“掌握”，为了激发学生的主体意识，培养学生的创造和应用意识，本节内容我采用“引导探究”型教学模式进行教学设计。 二、三维目标

1、掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程，能根据圆的标准方程写出圆的圆心坐标和半径，进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想。

2、用待定系数法和几何法求圆的标准方程，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，形成代数方法处理几何问题的能力。 三、教学重点

圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程的应用。 四、教学难点

会根据不同的已知条件，会利用待定系数法和几何法求圆的标准方程。 五、课时安排 1课时 六、教学过程设计 问题 师生活动 设计意图 方程引出圆

小学数学《圆的认识》公开课教案

课前与同学谈话省略

师：今天上课我们学什么？大声地说“学什么”

生齐：圆的认识

师：从哪里看到的？只给我看，生指屏幕

师：屏幕上有，还有呢？师：说，哪有？

师：没错，圆片，还有吗？生：圆规

师：没错，还有圆规。小朋友们都很善于观察、善于联想。老师的信封里还有一个圆，想看看吗？生齐：想

师出示一个信封，摸出一个圆片，师：是圆吗？

生：是

师：听说咱们班的同学特别的聪明，所以，一会儿老师要把这个圆片放进信封了，让同学们把他摸出来，有没有信心？

生齐：有

师：我不会轻易的给你们这样一个简单的问题的，这里面不只仅有着一个圆，还有其他的图形，想看看吗？

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师：好，现在看谁的反应最快？师从信封里摸出一个长方形生：长方形

师：男孩的反应快，状态也不错。师从信封里摸出一个正方形生：正方形

师：还有一个图形

师从信封里摸出一个三角形生：三角形

师：猜猜还有吗？

师从信封里摸出一个平行四边形生：平行四边形

师从信封里摸出一个梯形生：梯形

师：行了行了，小朋友们，都别你们猜到了。教师课件演示各种图形，

师；同学们能不能从各种图形中把圆摸出来？你觉得有难度吗？

生齐：没有

师：为什么？

生：因为圆是由曲线围成。师：而其他图形呢？

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生：都是由直线，哎！线

8时间的脚印

1．理清文章的思路，弄清说明的层次，体会本文单句成段的作用。

2．品味本文生动有趣的语言。

3．学会用辩证的观点看问题，认识岩石记录时间的奇异功能及其意义，培养学生的探索意识和科学精神。

一、导入新课

播放导入视频。

如视频中所言，通过一撮沙子，就能得知地球的年龄。这看起来十分不可思议，岩石真的有如此强大的记录历史的力量吗？它是怎么记录那些已逝的时间的？让我们在《时间的脚印》一文中寻找答案。

二、教学新课

目标导学一：关注单句成段，把握文章内容

1．请同学们花三十秒迅速扫读课文，说说本文在形式上有什么特点。

明确：有不少单句成段。

2．在说明文中，单句成段很有可能意味着这个句子起着总结性作用，把握这些句子，能让我们更加迅速、清晰地把握文章内容。请同学们给正文部分的自然段标上序号，重点关注这些单句成段的句子，把握文章内容，给课文划分层次。

明确：重点单句引导把握：

第1段：“时间一年一年地过去。”引出后文，后三段文字都在记叙如何记录时间的痕迹。

第5段：“岩石是怎样记下时间的呢？”这是一个总起句，与下段一问一答说明了岩石在被破坏与重生的过程中记录时间。

第7段：“真的有‘海枯石烂’的时候。”这是一句提示语，后文则围绕岩石如何被破坏展开。

第11段与第13段：“水

8时间的脚印

1．理清文章的思路，弄清说明的层次，体会本文单句成段的作用。

2．品味本文生动有趣的语言。

3．学会用辩证的观点看问题，认识岩石记录时间的奇异功能及其意义，培养学生的探索意识和科学精神。

一、导入新课

播放导入视频。

如视频中所言，通过一撮沙子，就能得知地球的年龄。这看起来十分不可思议，岩石真的有如此强大的记录历史的力量吗？它是怎么记录那些已逝的时间的？让我们在《时间的脚印》一文中寻找答案。

二、教学新课

目标导学一：关注单句成段，把握文章内容

1．请同学们花三十秒迅速扫读课文，说说本文在形式上有什么特点。

明确：有不少单句成段。

2．在说明文中，单句成段很有可能意味着这个句子起着总结性作用，把握这些句子，能让我们更加迅速、清晰地把握文章内容。请同学们给正文部分的自然段标上序号，重点关注这些单句成段的句子，把握文章内容，给课文划分层次。

明确：重点单句引导把握：

第1段：“时间一年一年地过去。”引出后文，后三段文字都在记叙如何记录时间的痕迹。

第5段：“岩石是怎样记下时间的呢？”这是一个总起句，与下段一问一答说明了岩石在被破坏与重生的过程中记录时间。

第7段：“真的有‘海枯石烂’的时候。”这是一句提示语，后文则围绕岩石如何被破坏展开。

第11段与第13段：“水

数学组卷圆的最值问题

一．选择题（共7小题） 1．（2014春?兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是（ ） A．m≥0 B．

C．

D．

2．（2013?武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（ ） A．3

B．6

C．

D．

3．（2014?武汉模拟）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（ ）

A．2 B．3 C． D．3 4．（2015?黄陂区校级模拟）如图，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，点P为弧AD上任意一点（不与点A和D重合），PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ的内心，过O，I和D三点的圆的半径为r．则当点P 在弧AD上运动时，r的值满足（ ）

A．0＜r＜3 B．r=3 C．3＜r＜3 D．r=3 5．（2010?苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别

“与圆有关的最值问题”教学案例 余浩平

教学背景： 本节课是与圆有关的一节复习课，由于在初中学习中接触过圆的一些基本知识，因而课前安排了两道有关圆的最值问题让学生练，为后面的教学奠定了基础。在随后的教学中，采取变式教学、一题多解、自主探索的教学方式，培养学生研究性学习。

教学目标：

从学生的实际出发，依据数学思维规律，提出恰当的富于启发性的问题，去启迪和引导学生积极思维，同时采用多种方法，引导学生通过观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。

重点与难点：

学生通过观察、分析、猜想、类比等思想方法主动地发现问题和解决问题。

教学过程： 一、 引入新课 练习：

已知圆x2?y2?8x?2y?12?0内一点A(3,0)，求经过点A的最长弦和最短弦所在的直线方程。

二、 新课

例: 已知圆的方程x2?y2?2及一点P(2,4)，求圆上的动点与点P连线斜率

的最值？

题变: 将上面例题中的点P(2,4)改为P(0,4)，则圆上的动点与点P连线斜率的

最值是否存在？若存在求出