分式与分式方程

如何理解分式方程和分式方程的根

学习分式方程和求解分式方程的根时，容易产生一些模糊的认识，要真正弄懂学好，应注意以下几点：

1. 分式方程是分母含未知数的有理方程。这告诉我们：

x2?1与x?1是不同的两个方程，①分式方程是形式上的定义。如方程前者x为分式方程，后者为整式方程。

②分式方程强调分母是含未知数而不是含有字母，这与分式定义中分母规定不一定。如关于x的方程

1x?m?2?，它不是分式方程，而是整式方程。 m2③分式方程是有理方程。如方程

x?1不是分式方程。 x2. 解分式方程时，去分母的方法不一定要乘最简公分母，但乘以最简公分母意义在于它不仅能使去分母具有可行性，同时演算简洁，有时还可减少增根个数。

如：解方程

x2?2?1，若方程两边乘以(x?1)(x2?2x?1)，解得x?1x?2x?1x??1，而x??1为增根；若方程两边乘以x2?2x?1，解得x?1为原方程的根。

3. 分式方程与它变形之后的整式方程的关系表现在：

一方面，分式方程的根是从整式方程中求出来的，它一定是整式方程的根。但整式方程的根不一定是分式方程的根，若是它的根的条件是要使分母不为零。

另一方面，分式方程的要求解要依靠整式方程，只不过其中排除分母不为零这一因素。如

分式及分式方程复习

◆知识讲解 1．分式

用A，B表示两个整式，A÷B可以表示成的形式，若B中含有字母，式子就叫做分式． 2．分式的基本性质 AA?MAA?M=（其中M是不等于零的整式） ,?BB?MBB?MABAB3．分式的符号法则 a?aa?a=????． b?b?bb4．分式的运算 aba?bacad?bc． ,??cccbdbdacacacadad（2）乘除法：·?,???? bdbdbdbcbc（1）加减法：??anan（3）乘方（）=n（n为正整数） bb5．约分 根据分式的基本性质，把分式的分子和分母中公因式约分，叫做约分． 6．通分 根据分式的基本性质，?把异分母的分式化成和原来的分式分别相等的同分母的分式，叫做通分． 例1填空题：

x2?4（1）若分式2的值为零，则x的值为________；

x?x?2

（2）若a，b都是正数，且－=例2选择题：

（1）已知两个分式：A=

1a1b2ab,则22，则=______． a?ba?b411，其中x≠±2， ,B??x2?4x?22?x那么A与B的关系是（） （2）已知a2?b3?c4,则2a?3b?c3a?b?c的值为（）， a?1a2?41例3先化简再求值：，其中a满足a2－a

篇一：《分式方程》教学设计及教学反思

16.3．1《分式方程》教学设计

一、教学目标： 知识技能：

1．使学生理解分式方程的意义．

2．使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的基本思路和一般解法． 3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法． 数学思考：

能将实际问题的相等关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用. 解决问题：

经历“实际问题——分式方程——整式方程”的过程，发展学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。 情感态度

：在活动中培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值.二、教学重点和难点 1．教学重点：

(1)可化为一元一次方程的分式方程的解法．

(2)分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想． 2．教学难点：理解解分式方程时可能无解的原因 三、学生分析：

初二学生已经具有了一定的类比、分析、归纳能力，但是思维的严谨性仍相对薄弱，虽然他们喜爱学习活泼的内容，并乐于用自己的方式去学习，用自己的头脑去思考，但仍需老师引导其由感性认识到理性认识。同时学生已经学习了分式的意义，这对理解分式方程可能无解这一教学难点有很大帮助。

四、教材内容分析：

本节内容是在学生

辅 导 教 案学生姓名 任课老师 课 题 重 点 分式和分式方程分式的化简求值和解分式方程

年 级 上课日期

初二

科 目 时间段 教研组审批

数 学

难 点 教 学 过 程

分式的化简求值和解分式方程

一、基础知识 1、分式的定义(概念；分子、分母；有意义的条件) 、性质、运算 2、分式方程的定义、解法、关于增根 二、要点提示 1、分式值为 0、正数、负数、1、-1 的条件；分式有意义的条件 2、分式的性质(分子、分母——加减、乘除) 3、分式的约分(分子、分母必须分解因式)——最简分式的定义(分子、分母无公因式) 4、分式的通分(找最简公分母；利用分式的乘法性质变式)确定最简公分母的一般步骤： Ⅰ 取各分母系数的最小公倍数； Ⅱ 单独出现的字母(或含有字母的式子)的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ 相同字母(或含有字母的式子)的幂的因式取指数最大的。 Ⅳ 保证凡出现的字母(或含有字母的式子)为底的幂的因式都要取。 注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

5、分式的四则运算与分式的乘方 a b a b a c ad bc c c c b d bd a c a c a c a d a d b d b

篇一：2014新北师大版5.4.1分式方程导学案

课题：5.4.1分式方程（一）

---生活中的分式方程

班级 姓名 座号 第组第号 组内评价并签名：课型 新课 主备人 袁文平审核人 初二数学组 上课时间教师评价 ●学习目标：1、通过对实际问题的分析，感受分式方程是刻画现实世界的有效模型，归纳分式方程的概念。

2、在活动中培养乐于探究合作学习的习惯，培养努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

●学习重点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程，归纳出分式方程的定义 ●学习难点：根据实际问题中的数量关系列出分式方程.

●学法指导：

1课前：预习教材126-127页，按照星类要求完成活动一内容，组长进行批改！ 2课堂：订正自主预习部分，利用5分钟时间完成活动二内容，并小组讨论！ 3课后：导学案中所有的题目，徒弟向师父进行过关，将导学案中的错题抄到第4页， 再做一遍，自行批改！消化所有内容！

【活动一】课前高效自主预习

建立方程模型，解决生活中的问题

问题1（★）： 北京到福州的高铁铁路线总长度约2010km，普通快车铁路线总长度是2330km，乘坐高铁G56次列车比乘坐普通快车K46次列出少用25h，已知G56次列车的速度是K46次列车的3倍，求

你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵你是我心中最美的云朵

分式与分式方程

1.化简??xy?x?yx?yx?y1的结果是（ ）A. B. C. D. y ???yyyyxx??1?m?(m2?1)的结果是（ ） 1?mB．?m?2m?1

22.计算：1?2A．?m?2m?1 3. 当分式4.计算5.已知

C．m?2m?1

2D．m?1

2x?1的值为0时，x的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）－2 x?2 B. －

1a1+a – 的结果为（ ）A. a-1a-1a－1a C. －1 D.1－a a-1

111ab11的值是（ ）A. B.－ C.2 D.－2 ??，则

ab2a?b22xxxx6.下列式子是分式的是( )A. B. C. ?y D.

2x?123m2?n27.设m＞n＞0，m＋n＝4mn，则的值等于（ ）A.23 B. 3 C. 6 D. 3

mn2

2

8.化简（x－

2x-111x-1x）÷（1－）的结果是（ ）A． B．x－1 C． D． xxxxx-1a2

行程问题课件

分式方程应用（行程问题）

你,我,他——人人都有 创造力. 相信自己是最棒的.

行程问题课件

随时小结

列分式方程解应用题的一般步骤

1.审:分析题意,找出数量关系和相等关系.

2.设:选择恰当的未知数,注意单位和语言完整.

3.列:根据数量和相等关系,正确列出代数式和方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有两次检验.

两次检验是:

(1)是否是所列方程的解;

(2)是否满足实际意义.

6.答:注意单位和语言完整.且答案要生活化.

行程问题课件

1、在行程问题中，三个基本量是：路程、速度、时间。 它们的关系是： 路程 路程 路程= 速度×时间 ；速度= 时间 ；时间= 速度 .

基础练习： 1 x (1)小汽车的速度为x千米/时，则15分钟能行驶________千米 4

(2)甲乙两地相距300千米，客车的速度为x千米/时，

300 则乘坐该客车从甲地到乙地需_________小时. x

(3)客车从甲地开往乙地需x小时，已知甲乙两地相距450千米，

450 则该客车的速度是__________千米/时. x

在水流行程中:已知船在静水中的速度和水流速度，那么 顺水速度= 静水中的速度 + 水流速度 ；

逆水速度= 静水中的速度 － 水流速度 .

行程问题课件

例题1：某列车

分中母有未含知的方程叫做__数______分式 程方.四清航导

式分程方的念概1.3 分(预)习分完方程的式念概，小举出了以下 丽式分程，你方认为正不确的是 ( B 1)A. x=1+ 1x 4. = x-C 1 xx4x . B+ 1= 5 35x2 1 D-.= 2 x1+四清航导

2

.(3分)下面说中，正确的是(法C )A.分母中有含知数的式子就未是式分方程B.含有母的方字程叫分做式程方C 分.方程式，中分母一中定含未知有 D.分式数方程是就有含母分方程的

四清航导

x

x1 - 3x(3.分 关于 x 的)方程① -:= ;②6 2 = 93005 0 x 03 1a3 02 40 0x; ③+1= ;x④= ; ⑤ - 4;⑥== 2 2x3 x x a xx-30 -x.分3方程有____式___ ②_⑤④ (填.序) 号5 .4(3分 请你利用)数代 式x2-,+x5,3组 成一 个+x 3 5案不唯一答如， 3,= x-=2 分式程：_方______________________________. _x- x2+5清四导航

分列方程式.(5 4)(201分· 茂5名张三)李和四人两工同加一零件种，小每

分式方程的实际应用

分式方程的应用与一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用在列式没有区别，只是在解完方程后除检验是否符合实际问题后，还要检验求出的根是否使原方程式的根为0，最后才答。

一．行程问题

例1 A、B两地相距80Km，甲骑车从A地出发，1h后乙也从A地出发，其速度是甲的1.5倍，

当追到B地时甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度

例2 一列火车从车站开出，预计行程600Km，当它开出3h后，因出现特殊情况，休整耽误了

30min，后来把速度提高到原来的1.2倍，结果准时到达目的地，求这列火车原来的速度。

巩固练习：

1. 从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公

路。某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上每小时快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。

2. A、B两地距80千米，一公共汽车从A到B，2小时后又从A同方向开出一辆小汽车，小汽

车车速是公共汽车的3倍，结果小汽车比公共汽车早40分钟到达B地，求两车速度。

3. 我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必

需是原计划的

《4 分式方程》教案

第1课时

教学目标

1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．

2．经历探索分式方程概念，分式方程解法的过程，会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中分式不超过），会检验根的合理性，明确可化为一元一次方程的分式方程与一元一次方程的联系．

教学重难点

教学重点：分式方程解法的过程，检验根的合理性．

教学难点：能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型思想．

教学过程

1．创设情景，探索交流

情景一：有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000kg和15000kg．已知第一块试验田每公顷的产量比第二块少3000kg，分别求这两块试验田每公顷的产量．

你能找出这一问题中的所有等量关系吗？

如果设第一块试验田每公顷的产量为xkg，那第二块试验田每公顷的产量是_______kg． 根据题意，可行方程_____________________． 答案：等量关系包括：

第一块试验田每公顷的产量+3000kg=第二块试验田每公顷的产量．

每公顷的产量?总产量

土地面积第一块试验田的面积=第二块试验田的面积； 第二块试验田每公顷的产量是（x+3000）kg．