组合数学讲义答案

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组合数学作业答案

标签:文库时间:2025-03-17
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第二章作业答案

7. 证明,对任意给定的52个整数,存在两个整数,要么两者的和能被100整除,要么两者的差能被100整除。

证明 用100分别除这52个整数,得到的余数必为0, 1,?, 99这100个数之一。将余数是0的数分为一组,余数是1和99的数分为一组,?,余数是49和51的数分为一组,将余数是50的数分为一组。这样,将这52个整数分成了51组。由鸽巢原理知道,存在两个整数分在了同一组,设它们是a和b。若a和b被100除余数相同,则a?b能被100整除。若a和b被100除余数之和是100,则a?b能被100整除。

11. 一个学生有37天用来准备考试。根据过去的经验,她知道她需要不超过60小时的学习时间。她还希望每天至少学习1小时。证明,无论她如何安排她的学习时间(不过,每天都是整数个小时),都存在连续的若干天,在此期间她恰好学习了13小时。 证明 设从第一天到第i天她共学习了ai小时。因为她每天至少学习1小时,所以

a1,a2,?,a37和a1?13,a2?13,?,a37?13都是严格单调递增序列。因为总的学习时间

不超过

60

小时,所以a37?60,a37?13?73。a1,a2,?,a37,

a1?13,a2?13,?,a37?

组合数学讲义 5章 抽屉原理

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《组合数学》 第五章 抽屉原理和Ramsey理论

第五章 抽屉原理和Ramsey理论

抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理,是组合数学中两大基本原理之一,是一个极其初等而又应用较广的数学原理。其道理并无深奥之处,且正确性也很明显。但若能灵活运用,便可能得到一些意料不到的结果。

抽屉原理要解决的是存在性问题,即在具体的组合问题中,要计算某些特定问题求解的方案数,其前提就是要知道这些方案的存在性。

1930年英国逻辑学家F. P. Ramsey将这个简单原理作了深刻推广,即Ramsey定理,也被称为广义抽屉原理。它是一个重要的组合定理,有许多应用。

5.1 抽屉原理

(一)基本形式

定理5.1.1 (基本形式)将n+1个物品放入n个抽屉,则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。

证 反证之。将抽屉编号为:1,2, ?,n,设第i个抽屉放有qi个物品,则 q1?q2???qn?n?1 但若定理结论不成立,即qi从而有

?1,即有q1?q2???qn≤n,

n?1?q1?q2???qn?n

矛盾。

例 5.1.1 一年365天,今有366人,那么,其中至少有两人在同一天过生日。

注:与

组合数学讲义 5章 抽屉原理

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《组合数学》 第五章 抽屉原理和Ramsey理论

第五章 抽屉原理和Ramsey理论

抽屉原理又称鸽巢原理或重叠原理,是组合数学中两大基本原理之一,是一个极其初等而又应用较广的数学原理。其道理并无深奥之处,且正确性也很明显。但若能灵活运用,便可能得到一些意料不到的结果。

抽屉原理要解决的是存在性问题,即在具体的组合问题中,要计算某些特定问题求解的方案数,其前提就是要知道这些方案的存在性。

1930年英国逻辑学家F. P. Ramsey将这个简单原理作了深刻推广,即Ramsey定理,也被称为广义抽屉原理。它是一个重要的组合定理,有许多应用。

5.1 抽屉原理

(一)基本形式

定理5.1.1 (基本形式)将n+1个物品放入n个抽屉,则至少有一个抽屉中的物品数不少于两个。

证 反证之。将抽屉编号为:1,2, ?,n,设第i个抽屉放有qi个物品,则 q1?q2???qn?n?1 但若定理结论不成立,即qi从而有

?1,即有q1?q2???qn≤n,

n?1?q1?q2???qn?n

矛盾。

例 5.1.1 一年365天,今有366人,那么,其中至少有两人在同一天过生日。

注:与

组合数学引论课后答案

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习题二

2.1 证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。 证明:

假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识,则认识的人数为0的至少有两人。

2.2 任取11个整数,求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明:对于任意的一个整数,它除以10的余数只能有10种情况:0,1,…,9。现在有11个整数,由鸽巢原理知,至少有2个整数的余数相同,则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3 证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明:

有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ; 偶数+偶数=偶

组合数学题库答案

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填空题

1.将5封信投入3个邮筒,有_____243 _种不同的投法.

2.5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻,有 43200 方法.

3.22件产品中有2件次品,任取3件,恰有一件次品方式数为__ 380 ______. 4.(x?y)6所有项的系数和是_64_ _.答案:64 5.不定方程x1?x2?x3?2的非负整数解的个数为_ 6 ___.

6.由初始条件f(0)?1,f(1)?1及递推关系f(n?2)?f(n?1)?f(n)确定的数列

{f(n)}(n?0)叫做Fibonacci数列

7.(3x-2y)20 的展开式中x10y10的系数是

c1020310(?2)10.

8.求6的4拆分数P4(6)? 2 .

?5,f(5)?,试求89.已知在Fibonacci数列中,已知f(3)?3,f(4)Fibonacci数f(20)?10946

10.计算P4(12)?

P4(12)??Pk(12)?P1(8)?P2(8)?P3(8)?P4(8)k?14?P1(8)?P2(8)??Pk(5)??Pk(4)?1?4?5?5?15

k?1k?13411

组合数学课后答案

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习题二 证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。证明: 假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识,则认识的人数为0的至少有两人。

任取11个整数,求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明:对于任意的一个整数,它除以10的余数只能有10种情况:0,1,…,9。现在有11个整数,由鸽巢原理知,至少有2个整数的余数相同,则这两个整数的差必是10的整数倍。证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明:有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ; 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明:

组合数学引论课后答案

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习题二

2.1 证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。 证明:

假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识,则认识的人数为0的至少有两人。

2.2 任取11个整数,求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明:对于任意的一个整数,它除以10的余数只能有10种情况:0,1,…,9。现在有11个整数,由鸽巢原理知,至少有2个整数的余数相同,则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3 证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明:

有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ; 偶数+偶数=偶

组合数学引论课后答案

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习题二

2.1 证明:在一个至少有2人的小组中,总存在两个人,他们在组内所认识的人数相同。 证明:

假设没有人谁都不认识:那么每个人认识的人数都为[1,n-1],由鸽巢原理知,n个人认识的人数有n-1种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识:那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2],由鸽巢原理知,n-1个人认识的人数有n-2种,那么至少有2个人认识的人数相同。

假设至少有两人谁都不认识,则认识的人数为0的至少有两人。

2.2 任取11个整数,求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。

证明:对于任意的一个整数,它除以10的余数只能有10种情况:0,1,…,9。现在有11个整数,由鸽巢原理知,至少有2个整数的余数相同,则这两个整数的差必是10的整数倍。 2.3 证明:平面上任取5个坐标为整数的点,则其中至少有两个点,由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 2.3证明:

有5个坐标,每个坐标只有4种可能的情况:(奇数,偶数);(奇数,奇数);(偶数,偶数);(偶数,奇数)。由鸽巢原理知,至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数,则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ; 偶数+偶数=偶

组合数学引论课后答案(部分)

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组合数学引论课后答案

习题一

1.1

任何一组人中都有两个人,它们在该组内认识的人数相等。

1.2

任取11个整数,求证其中至少有两个数,它们的差是10的倍数

1.3

任取n+1个整数,求证其中至少有两个数,它们的差是n的倍数

1.4

在1.1节例4中证明存在连续的一些天,棋手恰好下了k盘棋(k=1,2,…,21).问是

否可能存在连续的一些天,棋手恰好下了22盘棋

1.5

将1.1节例5推广成从1,2,…,2n中任选n+1个数的问题

1.6

从1,2,…,200中任取100个整数,其中之一小于16,那么必有两个数,一个能被另

一个整除

1.7

从1,2,…,200中取100个整数,使得其中任意两个数之间互相不能整除

1.8

任意给定52个数,它们之中有两个数,其和或差是100的倍数

1.9

在坐标平面上任意给定13个整点(即两个坐标均为整数的点),则必有一个以它们

中的三个点为顶点的三角形,其重心也是整点。

1.10 上题中若改成9个整点,问是否有相同的结论?试证明你的结论

1.11 证明:一个有理数的十进制数展开式自某一位后必是循环的。

1.12 证明:对任意的整数N,存在着N的一个倍数,使得它仅有数字0和7组成。(例如,

N=3,我们有3

组合数学(1)数论

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ACM暑期集训 组合数学(1) 数论

1 约数和倍数

设 a,b为整数,a≠0.

若有一整数c,使得 b = ac,则称 a是b的因数 或称a是b的约数 称b为是a的倍数

并称a整除b,记为a|b

整数的整除性有下列基本性质: ① 1|a ② a|0 ③ a|a

④ 若a|b且b|c,则a|c.

⑤ 若a|b,则对任意整数m,有am|bm ⑥ 若ac|bc且c≠0,则a|b

⑦ 若a|b且a|c,有 a|(b+c) 整数的表示法:

带余形式 b=aq+r 0≤r<|a|

十进制表示形式 b?ann?1n10?an?110????a0

标准分解式 b?pa1aan1p22??pn 2的乘方与奇数之积式 b?2mt(t为奇数)

2 最大公约数和最小公倍数 最大公约数GCD(a,b)

若GCD(a,b)=1,称a与b互素。 最小公倍数LCM(a,b)

ab = GCD(a,b)×LCM(a,b)

辗转相除法(Euclid算法)

如果m除以n的商是q,余数是r,即 m=nq+r,则 GCD(m,n)=GCD(n,r) int gcd(int a,int b) int GCD(in