全等三角形作辅助线常见题型
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全等三角形几种常见辅助线精典题型
全等三角形几种常见辅助线精典题型
一、截长补短
1、已知?ABC中,?A?60,BD、CE分别平分?ABC和.?ACB,BD、CE交于点O,试判断BE、CD、BC的数量关系,并加以证明.
A
EO
BDC2、如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),作射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N,?DMN?60?,DM与MN有怎样的数量关系?
3、如图,AD⊥AB,CB⊥AB,DM=CM=a,AD=h,CB=k,∠AMD=75°,∠BMC=45°,求AB的长。
4、已知:如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.
1
AMBEDNDCAMB
5、以?ABC的AB、AC为边向三角形外作等边?ABD、?ACE,连结CD、BE相交于点O.求证:OA平分?DOE.
BDAEDADFBCEAFEOCBOC6、如图所示,?ABC是边长为1的正三角形,?BDC是顶角为120?的等腰三角形,以D为顶点作一个60?的?MDN,点M、N分别在AB、AC上,求?AMN的周长.
NMBDCA
7、如图所示,在?ABC中,AB?AC,D是底边BC上的一点,E是线段AD 上的一
全等三角形经典题型——辅助线问题
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(含答案)
总论:全等三角形问题最主要的是构造全等三角形,构造二条边之间的相等,构造二个角之间的相等
【三角形辅助线做法】
图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线
合一”的性质解题
2.倍长中线:倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3.角平分线在三种添辅助线 4.垂直平分线联结线段两端
5.用“截长法”或“补短法”:遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长, 6.图形补全法:有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形
7.角度数为30、60度的作垂线法:遇到三角形中的一个角为30度或60度,可
以从角一边上一点向角的另一边作垂线,目的是构成30-60-90的特殊直角三角形,然后计算边的长度与角的度数,这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计
全等三角形辅助线做法讲义
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全等三角形问题中常见的辅助线的作法
巧添辅助线一——倍长中线
【夯实基础】
例:ABC ?中,AD 是BAC ∠的平分线,且BD=CD ,求证AB=AC 方法1:作D E ⊥AB 于E ,作D F ⊥AC 于F ,证明二次全等
方法2:辅助线同上,利用面积
方法3:倍长中线AD
【方法精讲】常用辅助线添加方法——倍长中线
△ABC 中
方式1: 延长AD 到E
,
AD 是BC 边中线
使DE=AD ,
连接BE
方式2:间接倍长
作CF ⊥AD 于F ,延长MD 到N , 作BE ⊥AD 的延长线于使DN=MD , 连接BE 连接CD
【经典例题】
例1:△ABC 中,AB=5,AC=3,求中线AD 的取值X 围
例2:已知在△ABC 中,AB=AC ,D 在AB 上,E 在AC 的延长线上,DE
交BC 于F ,且DF=EF ,求证:BD=CE
例3:已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE=AC ,延长BE 交AC 于
F ,求证:AF=EF
提示:倍长AD 至G ,连接BG ,证明ΔBDG ≌ΔCDA
三角形BEG 是等腰三角形
例4:已知:如图,在ABC ?中,AC AB ≠,D 、
专题:全等三角形常见辅助线做法及典型例题
《全等三角形》辅助线做法总结
图中有角平分线,可向两边作垂线。 也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。 角平分线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。 要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。 三角形中有中线,延长中线等中线。
一、截长补短法(和,差,倍,分)
截长法:在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段,证明剩余的线段与另一段相 等(截取----全等----等量代换)
补短法:延长其中一短线段使之与长线段相等,再证明延长段与另一短线段相等(延长 ----全等----等量代换)
例如:1,已知,如图,在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2。求证:AB=AC+CD。 2,已知:如图,AC∥BD,AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA,CD过点E. 求证:(1)AE⊥BE; (2)AB=AC+BD.
二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等(或图形不完整)时,添加公共边(或一其中 一个图形为基础,添加线段)构建图形。
全等三角形中的常见辅助线的添加(1)
全等三角形中的常见辅助线的添加(1)
全等三角形中的常见辅助线的添加(1)
一 、连接已知点,构造全等三角形。
例1已知:AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:∠A=∠D
AOBDC
二、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例2如图:AB‖CD,AD‖BC 求证:AB=CD
ADBC
三、延长已知边构造三角形。
例3如图已知AC=BD,AD与BC不平行,∠CAD=∠CBD,求证:AD=BC
ABDC
四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。
例4如图AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF〉EF
AE123D4FBC
五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形。 例5如图AD为△ABC的中线,求证:AB+AC〉2AD
ABDC
1
全等三角形中的常见辅助线的添加(1)
练习:1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD取值
ABDC
2、已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边上的中线,分别以AB边,AC边为直角边各向形外作等腰三角形,求证:EF=2AD
全等三角形中的常见辅助线的添加(超全) - 图文
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全等三角形中的常见辅助线的添加
一 、连接已知点,构造全等三角形。
例1已知:AC、BD相交于O点,且AB=DC,AC=BD,求证:∠A=∠D
AOBDC
二、连接四边形的对角线,把四边形的问题转化成为三角形来解决。 例2如图:AB‖CD,AD‖BC 求证:AB=CD
ADBC
三、延长已知边构造三角形。
例3如图已知AC=BD,AD与BC不平行,∠CAD=∠CBD,求证:AD=BC
四、有以线段中点为端点的线段时,常延长加倍此线段,构造全等三角形。
例4如图AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4,求证:BE+CF〉EF
五、有三角形中线时,常延长加倍中线,构造全等三角形。 例5如图AD为△ABC的中线,求证:AB+AC〉2AD
全等三角形中的常见辅助线的添加
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八年级上册同学当堂检测 我的个性化教案
1、已知,如图△ABC中,AB=5,AC=3,则中线AD取值
2、如图,已知在?ABC中,AD是BC边上的中线,E是AD上一点,延长BE交AC于F,AF?EF,求证:AC?BE.
A
FE
BDC
3、已知△ABC,AD是BC边上的中线,分别以AB边上的
三角形中的常用辅助线
三角形中的常用辅助线
例1、倍长中线(线段)造全等
已知:如图3所示,AD为 △ABC的中线,
求证:AB+AC>2AD。
BADCE图?3变式练习 如图所示,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交于F,且
AE=EF。
求证:AC=BF。
例2、截长补短
如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),
作?DMN?60?,射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系?
DNAMBE
变式练习 1. 如图,点M为正方形ABCD的边AB上任意一点,MN?DM且与∠ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系?
DCADNFBCAMBEE (1题)
(2题)
2.已知如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.
例3、已知:如图3,AB=AC,∠1=∠2. 求证:AO平分∠BAC.
13AO变式练习 如图8,在△ABC中,点E在BC上,点BD在AE上,已知∠ABD=∠CACD,
∠BDE=∠CDE.求证:BD=CD. A
D例4、如图,AB∥CD,E为A
三角形中的常用辅助线
三角形中的常用辅助线
例1、倍长中线(线段)造全等
已知:如图3所示,AD为 △ABC的中线,
求证:AB+AC>2AD。
BADCE图?3变式练习 如图所示,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交于F,且
AE=EF。
求证:AC=BF。
例2、截长补短
如图,点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点(点B除外),
作?DMN?60?,射线MN与∠DBA外角的平分线交于点N,DM与MN有怎样的数量关系?
DNAMBE
变式练习 1. 如图,点M为正方形ABCD的边AB上任意一点,MN?DM且与∠ABC外角的平分线交于点N,MD与MN有怎样的数量关系?
DCADNFBCAMBEE (1题)
(2题)
2.已知如图,ABCD是正方形,∠FAD=∠FAE. 求证:BE+DF=AE.
例3、已知:如图3,AB=AC,∠1=∠2. 求证:AO平分∠BAC.
13AO变式练习 如图8,在△ABC中,点E在BC上,点BD在AE上,已知∠ABD=∠CACD,
∠BDE=∠CDE.求证:BD=CD. A
D例4、如图,AB∥CD,E为A
专题训练:全等三角形问题中常见的辅助线的作法
专题训练:全等三角形问题中常见的辅助线的作法
常见辅助线的作法有以下几种: 姓名 1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”. 2) 遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的思维模式
是全等变换中的“旋转”.
3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线,利用的思维模式是三角形全等变
换中的“对折”,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻
转折叠”
5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长,
是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线(线段)造全等
例1、(“希望杯”试题)已知,如图△ABC中,AB=5,A
作三角形及利用三角形全等测距离
作三角形及利用三角形全等测距离
【知识要点】
1、根据简单图形书写作法
2、作一个三角形与已知三角形全等 3、利用三角形全等测距离
【典型例题】
已知两边和夹角作三角形:
1、已知三角形的两边及其夹角,求作这个三角形.
已知:线段a,c,∠α。
求作:ΔABC,使得BC= a,AB=c,∠ABC=∠α。 作法与过程:
(1)作一条线段BC=a,
(2)以B为顶点,BC为一边,作角∠DBC=∠a; (3)在射线BD上截取线段BA=c;
(4)连接AC,ΔABC就是所求作的三角形。 已知两角和夹边作三角形:
2、已知三角形的两角及其夹边,求作这个三角形.
已知:线段∠α,∠β,线段c 。
求作:ΔABC,使得∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c。
作法:(1)作____________=∠α;
(2) 在射线______上截取线段_________=c; (3) 以______为顶点,以_________为一边,
作∠______=∠β,________交_______于 点_______.ΔABC就是所求作的三角形.
已知三边作三角形:
3、已知三角形的三边,求作这个三角形.
已知:线段a,b,c。
求作:ΔABC