初中数学一线三角模型

相似三角形判定的复习： 1.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形的判定定理：

(1)两角对应相等两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 (3)三边对应成比例，两个三角形相似。 3.直角三角形相似的判定定理：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。

相似三角形的性质：

要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 要点2：相似三角形的性质定理：

相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方

要点3：知识架构图

对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比． 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 相似三角形的性质 1、如图，锐角?ABC的高CD和BE相交于点O，图中相似三

相似三角形判定的复习： 1.相似三角形的预备定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截成的三角形与原三角形相似。 2.相似三角形的判定定理：

(1)两角对应相等两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。 (3)三边对应成比例，两个三角形相似。 3.直角三角形相似的判定定理：

(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

(2)一直角三角形的斜边和一条直角边与另一直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两三角形相似。

相似三角形的性质：

要点1：相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例 要点2：相似三角形的性质定理：

相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方

要点3：知识架构图

对应角相等、对应边成比例 对应高之比、对应中线之比、对应角平分线之比都等于相似比． 周长之比等于相似比 面积之比等于相似比的平方 相似三角形的性质 1、如图，锐角?ABC的高CD和BE相交于点O，图中相似三

专题17 一线三等角模型

破解策略

在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．

1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．

DC1A3P2B

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．

CD3APB

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD

（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．

C1A3P2BD

2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．

C3BPA12D

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD

3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．

CP3A12BD

证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠

专题17 一线三等角模型

破解策略

在直线AB上有一点P，以A，B，P为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB上，另一条边在AB同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C，D．

1．当点P在线段AB上，且∠3两边在AB同侧时． （1）如图，若∠1为直角，则有△ACP∽△BPD．

DC1A3P2B

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP∽△BPD．

CD3APB

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2，∴△ACP∽△BPD

（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP∽△BPD．

C1A3P2BD

2．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB同侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．

C3BPA12D

证明：∵∠DPB＝180°－∠3－∠CPA，∠C＝180°－∠1－∠CPA，而∠1＝∠3 ∴∠C＝∠DPB，

∵∠1＝∠2＝∠PBD，∴△ACP∽△BPD

3．当点P在AB或BA的延长线上，且∠3两边在AB异侧时． 如图，则有△ACP∽△BPD．

CP3A12BD

证明：∵∠C＝∠1－∠CPB，∠BPD＝∠3－∠CPB，而∠

专题17 一线三等角模型

破解策略

在直线AB 上有一点P ，以A ，B ，P 为顶点的∠1，∠2，∠3相等，∠1，∠2的一条边在直线AB 上，另一条边在AB 同侧，∠3两边所在的直线分别交∠1，∠2非公共边所在的直线于点C ，D ．

1．当点P 在线段AB 上，且∠3两边在AB 同侧时．

（1）如图，若∠1为直角，则有△ACP ∽△BP D ．

321

D

B

P A C

（2）如图，若∠1为锐角，则有△ACP ∽△BP D ．

3

C

D

B

P A

证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3 ∴∠C ＝∠DPB ，

∵∠1＝∠2，∴△ACP ∽△BPD

（3）如图，若∠1为钝角，则有△ACP ∽△BP D ．

231

D

B P A C

2．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB 同侧时．

如图，则有△ACP ∽△BP D ．

3

2

1C

P D

B A

证明：∵∠DPB ＝180°－∠3－∠CP A ，∠C ＝180°－∠1－∠CP A ，而∠1＝∠3

∴∠C ＝∠DPB ，

∵∠1＝∠2＝∠PBD ，∴△ACP ∽△BPD

3．当点P 在AB 或BA 的延长线上，且∠3两边在AB

三角形（二）——特殊三角形

【等腰三角形】

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形。 2．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。

3．等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边。（常称为“三线合一”）。 4．如果一个三角形有两个内角相等，则它是等腰三角形。

姓 名： 【典型例题】

例1.已知?ABC中，那么?ABC一定是（ ） ?B与?C的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上， （A）直角三角形 （B）等边三角形 （C）等腰三角形 （D）等腰直角三角形

第12届（2001年）初二培训

例2.如图2，在?ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，它们相交于F点，是图中等腰三角形的个数是（ ）

第14届（2003年）初二培训

图2

例3.等腰三角形的一条腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（ ）。

图1

（A）30° （B）30°或150° （C）120°或150° （D）30°或120°或150°

第10届（1999年）初二第

第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

【选题明细表】 知识点、方法 同角三角函数关系 诱导公式 诱导公式在三角形中的应用 综合应用问题 题号 1,5,7,10,11 2,3,9,12 6,14,15 4,8,13,16 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016吉林模拟)已知α是第四象限角,且tan α=-,则sin α等于( A ) (A)- (B) (C) (D)- 解析:因为tan α=

=-,

所以cos α=-sin α,

因为sin2α+cos2

α=1, 所以sin2

α+sin2

α=1,

即sin2

α=, 因为α是第四象限角, 所以sin α=-=-,故选A.

2.(2016成都模拟)若cos(2π-α)= 且α∈(-,0),则sin(π-α)等于( B (A)- (B)- (C)- (D)±

解析:因为cos(2π-α)=cos α=,α∈(-,0),

所以sin α=-=-,

则sin(π-α)=sin α=-,故选B.

3.若cos(+α)=-,则sin(α-)等于( A ) (A) (B)-

(C)

(D)-

解析:因为(+α)-(α-)=,

)

1

即α-=(+α)-, 所以sin(α-) =sin[(+α)-) =

第2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式

【选题明细表】 知识点、方法 同角三角函数关系 诱导公式 诱导公式在三角形中的应用 综合应用问题 题号 1,5,7,10,11 2,3,9,12 6,14,15 4,8,13,16 基础对点练(时间:30分钟) 1.(2016吉林模拟)已知α是第四象限角,且tan α=-,则sin α等于( A ) (A)- (B) (C) (D)- 解析:因为tan α=

=-,

所以cos α=-sin α,

因为sin2α+cos2

α=1, 所以sin2

α+sin2

α=1,

即sin2

α=, 因为α是第四象限角, 所以sin α=-=-,故选A.

2.(2016成都模拟)若cos(2π-α)= 且α∈(-,0),则sin(π-α)等于( B (A)- (B)- (C)- (D)±

解析:因为cos(2π-α)=cos α=,α∈(-,0),

所以sin α=-=-,

则sin(π-α)=sin α=-,故选B.

3.若cos(+α)=-,则sin(α-)等于( A ) (A) (B)-

(C)

(D)-

解析:因为(+α)-(α-)=,

)

1

即α-=(+α)-, 所以sin(α-) =sin[(+α)-) =

§ 4.2 三角恒等变换

1.(2015山东菏泽期中,8)已知锐角α,β满足sin α=,cos β=,则α+β=( ) A. B.π C.或π D.

2.(2014吉林一中质量检测,5)已知sin α=,则sinα-cosα的值为( ) A.- B.- C. D.

3.(2014河北衡水中学测试,5)已知sin α-cos α=,则tan α+=( ) A. B. C. D.

4.(2015北京朝阳期中,10)已知tan=,α∈,则tan α的值是 ;cos α的值是 .

5.(2014山东济宁4月,13)若tan(π-α)=2,则sin 2α= . 6.(2014湖北七市(州)测试,9)若tan θ=,θ∈,则sin= .

7.(2014云南昆明一模,15)若cos(α+β)=,cos(α-β)=,则tan αtan β= .

1.(2014天津南开3月,6)当0

C.2 D.4

2.(2015辽宁抚顺二中期中,14)若

2021

年高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时达标23解三角形

应用举例

［解密考纲］本考点考查利用正弦定理、余弦定理求解三角形，解决实际应用问题.题型一般为填空题或解答题，题目难度中等偏难.

一、选择题

1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( B)

A．北偏东10°B．北偏西10°

C．南偏东10°D．南偏西10°

解析依题意作出图形可知，A在B北偏西10°的地方.

2．有一长为1千米的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改为10°，则斜坡长为( C)

A．1千米B．2sin 10° 千米

C．2cos 10° 千米D．cos 20° 千米

解析由题意知DC＝BC＝1，∠BCD＝160°，

∴BD2＝DC2＋CB2－2DC·CB·cos 160°＝1＋1－2×1×1×cos(180°－20°)＝2＋2cos 20°＝4cos210°，∴BD＝2cos 10°.

3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°方向直线航行，30分钟后到达B处.在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是