一道例题引发的思考

众所周知,数学命题工作是一项艰苦细致、严谨周密的工作,难免夹杂着一些值得商榷、乃至错误的题目。本文就一道最近广为流传的联考试题进行分析、探讨,以期引起读者注意和参考。

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20年第 8期 05

中学教研 (数学 )

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众所周知，数学命题工作是一项艰苦细致、严谨周密的工作，难免夹杂着一些值得商榷、乃至错误的题目本文就一道最近广为流传的联考试题进行 .分析、探讨，以期引起读者注意和参考.艇 1已知三棱锥 . A C的底面是正三角形。 s B—

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点 A在侧面 S C上的射影日是△ c的垂心，A= B船

一个阳光明媚的周末上午，我正在家里做奥数，就在这时，我遇到了一个难题：今年小华和爸爸的年龄和是45岁，5年后爸爸的年龄是小华的4倍，小华和爸爸今年各几岁？这种类似年龄差的问题出现过很多次了，可我还是理解不透彻，越是想不透我就越不想做，脑子一团乱。

于是我跑去问爸爸，爸爸略加思索后对我说：人人都有年龄，我们把年龄与年龄之间产生的许多有趣的数字问题称为年龄问题。每个人的年龄年年都在增加，但人与人之间的年龄差永远不会改变，是不是？作文”我点了点头。这道题目你只要想：5年后，爸爸和小华各增加了5岁，此时，爸爸和小华的年龄和是55岁，这样就可以运用和倍问题”思路求出1倍数，即5年后小华的年龄，进而求出今年小华和爸爸的年龄。”听了爸爸的这番话，我恍然大悟，原来奥数并不难呀！我顺着爸爸的思路，很快写出了运算过程和答案，妈妈在一旁笑着说：以此类推，你又懂得了一千道题了。”

通过这道奥数题，我不仅明白了怎样运算，还懂得了年龄之间奇妙的数学问题，体会到了解题的乐趣。

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通过一道例题对法拉第电磁感应定律教学的再思考

作者：李凯

来源：《中学物理·高中》2013年第08期

在法拉第电磁感应定律的教学中经常会遇见这样一个问题：

例 如图1所示，在磁感应强度为0.2 T的匀强磁场中，长为0.5 m的导体在金属框架上以10 m/s的速度向右匀速滑动，电阻Rl和R2的阻值都是16 Ω，导体ab的电阻为2 Ω，其他电阻不计，则流过ab的电流为多少？

参考答案 金属棒切割磁感线产生的感应电动势 E=Blv=0.2×0.5×10 V=1 V，

由于Rl和R2并联，所以流过ab的电流

有的同学提出了解题的不同观点，他认为金属棒的两边构成两个回路.当金属棒向右运动的过程中，两个回路的磁通量都会发生变化，所以根据法拉第电磁感应定律得，左侧回路磁通量变化产生的电动势为E1=Blv，右侧回路磁通量变化产生的电动势也为E2=Blv，则总电动势为E=E1+E2=2Blv=2 V.所以流过ab的电流应该为0.2 A.

这两种方法“貌似”均不违反法拉第电磁感应定律，那么哪一

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一道习题的反思

作者：金连辉

来源：《新课程·中旬》2013年第09期

以学生为本是现代课堂教学设计的基本理念，所谓以学生为本就是以学生的学为本，以学生的发展为本，一堂习题课把这句话深深地印在我的脑海里，感受颇多。

案例：这是高二时学习排列组合后的一节习题课，课前我精心准备了几道习题，讲到第三道时出现了“意外”。原题是：某班新年联欢会，节目原定的5个节目已排成节目单，开演前又增添了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同的插法的种数为（ ） A.42 B.30 C.20 D.12 备课时我准备了两种方法：

方法一：从7个位置中选择2个位置给新的节目，并且排序，剩下的5个位置给原定的5个节目，无须排序，故而为C27A22，也即A27=42。

方法二：把7个节目进行全排列，即A77，然后原先有的5个节目只能有一个顺序，故而消去之间的相对顺序A55，所以列式为■=42。

正要讲下一题时，下面突然冒出来这样一句：“老师，我的方法比你的更简单。”我一愣，全班同学的目光都投

对一道人教版高中数学例题的再思考

吴卫卫 安徽省宣城市宣城中学 （242000）

1 一道课本例题的教学反思

人教版数学必修3“几何概型”一节中，有样一道例题：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30~7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00~8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？

这是一个几何概型的例题，主要是把概率问题和几何问题的结合，利用数形结合的思想解决．教材上给出了两种解法：（1）利用几何概型的公式；（2）用随机模拟的方法．

每当笔者讲到这道例题时，心中都不免有点纠结，总感到教学效果不尽人意．而在课 后，学生完成的相关练习，更是让人感到不安，他们基本上都没有想到去设两个未知数，然后列出条件画出平面区域，利用面积的比去求解．因为教材中，根本就没有对如何刻画几何图形，给出预备的知识基础，导致学生在解题时出现了知识的空白区． 2 例题教学方法的改进

今年笔者又要教这节内容了，针对以往学生出现的这个问题，笔者再一次研读了教材，发现这道例题还可以用一个学生更容易理解的方法---分类讨论去解决．为此，笔者在讲解该例题时讲解了下面的方法：

突破：由一道排列组合题的错误

解答引起的思考

江苏省靖江职业高级中学 何纪龙

笔者日前在本校2010级单招班讲解中等职业学校国家审定教材修订版《数学》（2006年7月）第三册的第十七章“计数法”后面的“课内练习8”（P160页）中第一大题的第2小题：“将15本不同的书分给甲乙丙丁四个人，2人各得4本，1人得5本，1人得2本”时发现与其配套的《数学教学参考书》上的答案是：

c15?c11?c7，此答案存在明显的错误，这实际上就是我们平时所说的分组问题中

的“均等分组与非均等分组混合问题”，此类分配问题在本节是一个难点，许多同学在掌握上存在诸多的困难，那么如何突破这些难点呢？教师在向同学们讲授这方面知识的时候可采取对错辨析、对比讲解，归纳概括的教学方法，让同学们产生思维的冲突、升华，能自己够辨别哪些是无差异元素的分配问题，哪些是互异元素的分配问题，哪些是定向分配，哪些是非定向分配，以及各种情况的注意点，只有这样才能在解题中游刃有余、得心应手。

一、无差异元素的分配问题

1．每一个接受主体都必须接收的情况

例：将8个全国人大代表的名额分给5个市，每个市至少分得一个名额，问

445共有多少种方法？

分析：本题中8个人大代表属于8个无差

篇一：我学会做一道菜

我学会做一道菜

暑假的一个星期六，早上爸爸、妈妈都要加班，我在家里睡懒觉，再起来做作业，每天还要等妈妈做饭，她一进家门，就冲进厨房，像打仗一样。我闲着也是闲着，我就想给妈妈一个惊喜，给妈妈做一道菜---豆角炒肉片。

我首先从冰箱里拿出一扎豆角和一块花腩肉，先将豆角用手摘成长度差不多的大小，再用清水冲洗干净；猪肉清洗好后，切片。我又从厨房里找到了两颗蒜，把它们切末后，再把蒜末、肉片，加入生抽，白胡椒粉，料酒腌制5分钟左右。再给锅内加水，水烧开后加入少许盐，把沥干水分的豆角放入锅里，等到豆角颜色变深变软，就捞出来。然后在锅内加一些油加热，把腌好的猪肉片放入，煎炒至猪肉的边上发黄，再用锅铲铲起来放在碟子上面备用。锅内留余油，把蒜末爆香，把豆角放入，加一些盐继续翻炒一会，盖上锅盖，中小火慢烧2分钟左右，中途还开盖翻来覆去炒均匀，最后把煎好的肉片放入翻炒一会，再撒上少许鸡精，关掉火，我就用锅铲铲出来放在碟子里，一阵香味扑面而来，我的口水都快流出来了，一道美味的豆角炒肉片做好了！ 妈妈下班回来看见了，竖起大拇指说：“你真是一个能干的好孩子！”我的嘴巴都乐得合不拢了。

篇二：学做一道菜

导入：水果王国的水果各种各样，同学们喜欢吃水果吗？我们先观

【案例题题目】德隆事件及其所引发的深层思考

案例简介：

“德隆”作为中国最大的民营企业之一，过去的发展和当前的危机都备受媒体的关注。归纳媒体的报道，1986年7名青年大学生(唐氏四兄弟)用仅有的400元钱在乌鲁木齐创办了一家名为“朋友”的公司。当年彩扩业务一年净赚了100万元。1992年，朋友公司开始进入证券市场。正是资本市场让唐氏兄弟掘到了第一桶金，新疆德隆公司也在此时正式注册下来.当时，唐氏兄弟将企业发展的方向定在了做实业上。1994年在新疆成立了农牧业公司，从事农牧业开发，并且做到了一定规模。1997年，新疆德隆确定“要由投资于项目向投资于行业转型”。通过收购法人股权，德隆相继入主上市公司新疆屯河、沈阳合金和湘火炬，拉开了高速并购的序幕。到2003年10月，胡润排出国内“资本控制力排行榜”，掌控9家上市公司德隆系的唐氏兄弟以其控制217亿元的流通市值而雄据榜首。在2003年，德隆宣称要用3—5年的时间进入世界500强。十几年的时间，德隆的资产扩张了几千倍。被媒体概括的“德隆模式”，最核心的思想就是以资本运作为纽带，通过企业购并，整合传统产业，为传统产业引进新技术、新产品，增强其核心竞争能力；同时在全球范围内整合传统产业市场与销售通

对一道高考函数与导数解决零点问题的思考

题目：[2014年Ⅱ21]已知函数f(x)=x3?3??2+????+2，曲线y=f(x)在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为-2. （1）求a；

（2）证明：当k?1时，曲线y=f(x)与直线y?kx?2只有一个交点 解：(Ⅰ) f′ x =3x2?6??+??,??′ 0 =??，

曲线y=f(x) 在点 (0,2)处的切线方程为y=ax+2． 由题设得?a=?2，所以a=1．

(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)知，f(x)=x3?3??2+??+2． 设g(x)=f x ?kx+2=x3?3??2+ 1??? ??+4 ． 由题设知1-k>0 ．

当x≤0 时，g′ x =3x2?6??+1???>0,g(x)单调递增， g(-1)=k-1<0,g(0)=4，所以g(x)=0 在 (-∞,0]有唯一实根． 当 x>0时，令h(x)=x3?3??2+4 ，则g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x)．

h′ x =3x2?6??=3?? ???2 ,?(??)在 (0,2)上单调递减，在 (2,+∞)上单调递增，所以 g(x)=0在 (0,+∞)上没有实根．

这里也可以用h(x)=x3?3??2+4= x+1 x?2 2≥0，(x>0)简化证明g(x) >h(x)≥0。 综上，

从一道例题浅谈中考复习课中变式教学的策略86

【摘要】复习阶段教师需要重视数学学习策略、学习方法和思维策略的指导，提高每一堂数学课的数学思维价值。中考复习课变式教学应从以下几个方面进行：1．一图多换---改换题设 拓展知识深度和广度，2. 一图多换---改变图形，追求知识本质的理解；3一图多换---改换题型，增强思维的灵活性和深刻性；4.一题多联---改换角度，理清知识之间相互联系。从而形成学习的可持续发展。

【关键词】一图多换，一图多变，一题多变，一题多联

1、问题的提出

现在数学变式教学有这么两种现象：

1.1 变式教学随意性。认为数学中考漫无边际，不能预测考题，靠学生的悟性。于是，一味强调多练，多看、多想、多讲，至于怎么练，怎么看，怎么想，怎么讲却不胜了了。

1.2要求超限度。课程标准对知识的考查有着明确的要求。但是我们实际教学中，我们老师往往违背了课标的要求无限的拔高，有的把一些难度较大的压轴题一味的让学生练习，做为检测知识掌握的标准，这样势必增加学生的心理压力，使学生的学习兴趣减退。

2、具体的教学策略

以上这些现象，造成了中考复习课教学的高耗低效。怎么办呢？我在实践中采用这样的方法：巧用常见考题进行变式教学，坚持合理推进，