高中数学三角函数图像与性质

高中数学知识点津3抽象函数与三角函数的图像与性质

21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法）

如：（1）x?R，f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)，证明f(x)为奇函数。 （先令x?y?0?f(0)?0再令y??x，??）

（2）x?R，f(x)满足f(xy)?f(x)?f(y)，证明f(x)是偶函数。 （先令x?y??t?f?(?t)(?t)??f(t·t) ∴f(?t)?f(?t)?f(t)?f(t) ∴f(?t)?f(t)??）

（3）证明单调性：f(x2)?f??x2?x1??x2???? 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？

（二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。）

如求下列函数的最值： （1）y?2x?3?13?4x；（2）y?2x?4x?3

（3）x?3，y?9x2x2x?3； （4）y?x?4?9?x2?，???0，??? ?设x?3cos （5）y?4x?，x?(0，1]

23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角为α，半径为R的弧长公式

三角函数的图象和性质

三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来.本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用.

●难点磁场

(★★★★)已知α、

http://www.gkxx.com

β为锐角，且x(α+β－

?2)＞0,试证不等式

f(x)=(cos?xcos?x)?()＜2对一切非零实数都成立. sin?sin?●案例探究

2

［例1］设z1=m+(2－m)i,z2=cosθ+(λ+sinθ)i,其中m,λ,θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范围.

命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属★★★★★级题目.

知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决. 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题.

技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.

解法一：∵z1=2z2，

?m?2cos?2

∴m+(2－m)i=2cosθ+(2λ+2sinθ)i,∴? 2?2?m?2??2si

走进高考·数学（第1轮） 知识梳理 2013年7月

第8章 三角函数

08—01 三角函数的图像与性质

一、点一点——高考目标明示

1.通过实例和利用函数定义，形成正弦函数和余弦函数的概念并理解其意义

2.知道一般周期函数的解析描述和图像特征，掌握正弦函数和余弦函数的奇偶性、周期性、对称性、单调性、最大值和最小值等性质.

3.掌握正弦函数和余弦函数的图像，会用“五点法”画正弦函数和余弦函数的图像. 4.类比正弦函数的研究方法，掌握正切函数的性质和图像.

二、试一试——高考真题点击

1．（2012杨浦模拟）“tanx??5π3”是“x?”的 ( )

63 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

C.充要条件 D.既非充分也非必要条件

2.（2013崇明模拟）设函数f(x)?sinx,x?R，则下列结论错误的是 （ ）

A.f(x)的值域为[0,1] C

三角函数的图像与性质

考点1 函数的周期性 1. 求下列函数的周期

(1)y?cos2x; (2)y?2sin(x??1?); (3)y?5tan(?x). 36622. (1) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?a)?f(x?b)，求证:函数y?f(x)是周期函数. (周期T?a?b)

(2) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?c)??f(x);(c?0)，求证:函数y?f(x)是周期函数. (周期T?2c) (3) 已知定义在R上的函数y?f(x)满足f(x?c)??1;(c?0)，求证:函数f(x)y?f(x)是周期函数. (周期T?2c)

以上是函数周期性描述的若干变式，请同学们认真记忆！

3.(1) 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为?，当

5?3??? . x??0,?时，f(x)?sinx，则f()的值是 322??(2)设函数f(x)?2cos(wx??)对任意的x?R，都有f(

高一数学辅导三角函数（一）

【任意角】

1、时间经过了6小时30分钟，则钟表的分针所转过的角的度数为 ，时针所转过的角的度数为 。

2、已知α=-18450

，在与α 终边相同的角中，最小的正角的度数为 ；最大的负角的度数为 。

3、若α 是第一象限角，则 α

2 终边所在的位置是 。

4、若α 是第一象限角，β 是第二象限角，试确定α+β

2终边所在的位置 。

5、已知集合A=﹛α︱α为小于900

的角﹜，B=﹛α︱α为第一象限的角﹜，则A∩B=( )

A. ﹛α︱α为锐角﹜ B. ﹛α︱α为小于900

的角﹜ C. ﹛α︱α为第一象限的角﹜ D.以上都不对

6、若α与β的终边互相垂直，则α－β＝ 。

7、已知角α，β的终边关于x+y=0对称，且α=-600

，则β= 。 8、已知角β的终边在直线??= 3??上。 （1）写出角β的集合S；

（2）写出S中适合不等式-3600＜β＜7

三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数y?Asin(?x??)的简图； 2、 理解A,?,?的物理意义，掌握由函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图. 2.函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2.给出图象求y?Asin(?x??)?B的解析式的难点在于?,?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，

三角函数的图象和性质（一）

教学目标：

1、 了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和

函数y?Asin(?x??)的简图； 2、 理解A,?,?的物理意义，掌握由函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换原理;

3、 掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心.

教学重点：函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的变换方法．

一、知识点归纳：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图. 2.函数y?sinx的图象到函数y?Asin(?x??)的图象的两种主要途径． 3.掌握正弦、余弦、正切函数图象的对称轴或对称中心. 4.会由三角函数图象求出相应的解析式.

二、知识点解析：

1.“五点法”画正弦、余弦函数和函数y?Asin(?x??)的简图，五个特殊点通常都是取

三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2.给出图象求y?Asin(?x??)?B的解析式的难点在于?,?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T，

三角函数的图像与性质

1、函数y?cosx?1的定义域为（ ） 2??????（A）[?,] （B）[k??,k??]，k∈Z （C）[2k??,2k??]，k∈Z （D）R

333333?2、下列函数中，以?为最小正周期的偶函数，且在(,?)上为减函数的是（ ）

2（A）y＝sin2x＋cos2x （B）y＝|sinx| （C）y＝cos2x （D）y＝tanx 3、函数y?sin2x?sinx?1的值域为（ ）

555（A）[?1,1] （B）[?,?1] （C）[?,1] （D）[?1,]

44414、函数y?sin2x的最小正周期T?

2??5、函数y?sin(x?)在区间[0,]上（ ）

42（A）单调递增且有最大值 （B）单调递增但无最大值 （C）单调递减且有最大值 （D）单调递减但无最大值

?6、已知函数f(x)?sin(2x?)，若存在??(0,?)，使得f(x??)?f(x??)恒成立，则?的值是（ ）

6ππππ（A） （B） （C） （D）

6342

7、若x为三角形

《三角函数图象及其性质》课标分析

一 、课程标准内容：

1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化. 2. 借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. 3. 借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(

?2??, ???)的正弦、余弦、正切，

能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx的图象，了解三角函数的周期性.

4. 借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（-（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）.

225. 理解同角三角函数的基本关系式：sinx+cosx=1，tan????， ）上的性质22sin? . cos?6. 结合具体实例，了解y=Asin（?x+?）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin（?x + ?）的图象，观察A，?，?对函数图象变化的影响.

7. 会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 二、教学目标：

知识与技能:通过复习，使学生熟练掌握求函数的值域、最值、周期、单调区间、对称轴、

对称中心等与三角函数的性质有关的问题；

过程与方法:体会知识之间的联系，通过例题和自主探究学习题的解决，掌握解决三角函数

性质

课 题：小结与复习（4）

知识目标：

1任意角的三角函数、任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数的概念、同角三角函数间的关系、诱导公式；

2两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数； 3三角函数的图象和性质、已知三角函数值求角 教学目的：

1理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算； 2掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，并会利用与单位圆有关的三角函数线表示正弦、余弦和正切；了解任意角的余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；

3掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式；

4能正确运用三角公式，进行三角函数式的化简、求值及恒等式证明； 5会用与单位圆有关的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义；并通过它们的图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y＝Asin(ωx＋?)的简图，理解A、ω、?的物

理意义；

6会用已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示 教学重点：三角函数的知识网络结构及各部分知