空间向量在立体几何中的应用题目

空间向量在立体几何中的应用

1【例1】已知三棱锥P-ABC中,PA⊥面ABC,AB⊥AC,PA=AC=AB,N为AB上一点,AB=4AN，

2M,S分别为PB,BC的中点.

(Ⅰ)证明:CM⊥SN; (Ⅱ)求SN与平面CMN所成角的大小. 证明：

设PA=1,以A为原点,射线AB,AC,AP分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图.

111则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M(1,0,),N(,0,0),S(1,,0)

222??????1???11(Ⅰ)CM?(1,?1,),SN?(?,?,0),

222?????????11因为CM?SN????0?0,

22所以CM⊥SN

????1(Ⅱ)NC?(?,1,0),

2设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量, 1?x?y?z?0,??2令x?2，得a=(2,1,-2). 则?1??x?y?0.??21????2?2 因为cosa,SN?223?2?1?所以SN与片面CMN所成角为45°

【例2】、如图,四棱锥S—ABCD中,SD?底面ABCD, AB//DC,AD?DC, AB?AD?1,DC=SD=2,E为棱 SB上的一点,平面EDC?平

空间向量在立体几何中的应用：求角和距离

1．空间中的角：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 （1）异面直线所成的角的范围是(0,]。求两条异面直线所成的角的大小一般

2

?方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下：

①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用三角形来求角。

（2）直线与平面所成的角的范围是[0,]。

2A C B D ?? 求直线和平面所成的角具体步骤如下： ①作过斜线上一点与平面垂直的直线；

②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。

注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角中的最小角，即若θ为线面角，α为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有

???；

（3）二面角的范围:(0,?].。作二面角的平面角常有三种方法

1

2．空间的距离

（1）点到直线的距离：点Ｐ到直线a的距离为点Ｐ到直线a的垂线段的长，

(2)点到平面的距离：点Ｐ到平面?的距离为点Ｐ到平面?的垂线段的长．

（3）异面直线间的距离：异面直线a,b间的距离为

第3节 空间向量在立体几何中的应用

第1部分 六年高考荟萃

2010年

一、选择题

1.（2010全国卷2理）（11）与正方体ABCD?ABC111D1的三条棱AB、CC1、AD11所在直线的距离相等的点

（A）有且只有1个 （B）有且只有2个 （C）有且只有3个 （D）有无数个 【答案】D 【解析】直线

上取一点，分别作

垂直于

于

则分别

作

定理可得，PN⊥

PM⊥

，垂足分别为M，N，Q，连PM，PN，PQ，由三垂线

；PQ⊥AB，由于正方体中各个表面、对等角全等，所以，∴PM=PN=PQ，即P到三条棱AB、CC1、A1D1.所在直线的距

离相等所以有无穷多点满足条件，故选D.

2.（2010辽宁理）(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是

(A)（0, (C) (【答案】A

【命题立意】本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力。 【解析】根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，有以下两种情况

1 法向量在立体几何中的应用

查宝才

（扬州市新华中学，江苏 225002）

向量在数学和物理学中的应用很广泛，在解析几何与立体几何里的应用更为直接，用向量的方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。将向量引入中学数学后，既丰富了中学数学内容，拓宽了中学生的视野；也为我们解决数学问题带来了一套全新的思想方法——向量法。下面就向量中的一种特殊向量——法向量，结合近几年的高考题，谈谈其在立体几何有关问题中的应用。

1 法向量的定义

1.1 定义1 如果一个非零向量n 与平面α垂直，则称向量n 为平面α的法向量。

1.2 定义2 任意一个三元一次方程：0=+++D Cz By Ax ，222(C B A ++ )0≠都表示空间直角坐标系内的一个平面，其中),,(C B A n =为其一个法向量。]1[ 事实上，设点),,(0000z y x P 是平面α上的一个定点，),,(C B A n =是平面α的法向量，设点),,(z y x P 是平面α上任一点，则总有n P P ⊥0。

∴ 00=?n P P ， 故 0),,(),,(000=---?z z y y x x C B A ，

即 0)()()(000=-+-+-z z C y

空间向量在立体几何解题中的应用

一、空间向量的基础知识

1．空间向量的坐标运算 (1)空间直角坐标系

在空间选定一点O和一个单位正交基底{i，j，k}(i，j，k按右手系排列)建立坐标系，坐标轴正方向与i，j，k方向相同．空间一点P的坐标的确定可以按如下方法：过P分别作三个坐标平面的平行平面(或垂直平面)，分别与坐标轴交于A、B、C三点，|x|=OA，|y|=OB，|z|=OC，当OA与i方向相同时，x>0，反之x<0．同理确定y、z．点P的坐标与OP坐标相同．

(2)向量的直角坐标运算

设a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则

a+b=(a1+b1，a2+b2，a3+b3)；a-b=(a1-b1，a2-b2，a3-b3)；a·b=a1b1+a2b2+a3b3， a∥b?a1=?b1，a2=?b2，a3=?b3(??R )．或a⊥b?a1b1+a2b2+a3b3=0．

(3)夹角和距离公式 ①夹角公式 cos=②距离公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 |AB|=(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2． ③定比分点公式

设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则 若M分AB为定比?(?≠-1)，则M的坐标为 x=

x1??x2y?

关于空间向量与立体几何

1 空间向量与立体几何

一、平行与垂直问题

（一） 平行

线线平行 线面平行 面面平行 注意：这里的线线平行包括线线重合，线面平行包括直线在平面内，面面平行包括面面重合。

（二） 垂直

线线垂直 线面垂直 面面垂直 注意：画出图形理解结论

二、夹角与距离问题

（一） 夹角

（二）距离

点、直线、平面之间的距离有7种。点到平面的距离是重点.

1．已知四棱锥P A B C D -的底面为直角梯形，//A B D C ，

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ∥m ?a ∥b a k b ?=

；

l ∥α?a

u ⊥ 0a u ??=

；

α∥β?u ∥v .u k v ?=

设直线,l m 的方向向量分别为

,a b ，平面 ,αβ的法向量分别为,u v ，则

l ⊥α?a ∥u a k u ?= ；

l ⊥m ?a ⊥b 0a b ??=

；

α⊥β?u ⊥v .0=??v u

设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则

①两直线l ,m 所成的角为θ(02π

θ≤≤),cos a b

a b

θ?=

；

②直线l 与平面α

第88课时 空间向量在立体几何中的应用（一）（理）

【教学目标】

1．把平面向量的有关概念及其运算推广到空间，理解空间向量的意义．

2．建立空间直角坐标系，会用坐标表示空间向量，会把空间向量的线性运算化为坐标运算． 3．掌握空间中直线的方向向量与平面的法向量，会把空间线面的平行及垂直关系为向量关系，掌握三个基础命题．

4．会在简单的空间图形中用向量方法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直关系．

5．在解决空间向量线性运算及线面关系问题的过程中，领悟类比推广和转化的数学思想．

【教学重点】

1．空间向量线性运算的坐标表示．

2．用空间向量方法探究空间中的线面平行与垂直关系．

【教学难点】

用三个基础命题证明与探究空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行与垂直．

【教学过程】

一．知识整理

1．空间两点的距离：在空间直角坐标系O?xyz中，点A、B的坐标分别为(x1,y1,z1)、(x2,y2,z2)，则|AB|?(x1?x2)?(y1?y2)?(z1?z2)．

2222．空间点的位置向量及其坐标：在空间直角坐标系O?xyz中，O为原点，A是空间一点，则向量a?OA叫做点A的位置向量，取与Ox轴、Oy轴、Oz轴正半轴方

3.2立体几何中的向量方法——空间角

1、两条直线的夹角：设直线 l , m 的方向向量分别为 a , b ,

a b 两直线 l , m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos ; 2 ab

l

l

a

m

a b

m

例： 在直三棱柱ABC A1 B1C1中，BC AC ,BC CA CC1 , 取A1 B1、A1C1的中点D1、F1, 求BD1和AF1所成的角的余弦值.zC1

解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标 系C xyz,如图所示，设CC1 1则： F11 1 1 A(1, 0, 0), B (0,1, 0), F1 ( , 0,1), D1 ( , ,1) 2 2 2

D1C

B1

A1A

1 所以： AF1 ( , 0,1), BD1 ( 1 , 1 ,1) 22 2

B

y

1 1 AF1 BD1 30 4 cos AF1, BD1 10 | AF1 || BD1 | 5 3 4 2 30 所以 BD1与 AF1 所成角的余弦值为 10

x

2、直线与平面的夹角： 设直线 l 的方向向量分别为 a ,平面 的 法向量分别为 u ,

a u 直线 l

§3.2 立体几何中的向量方法 (一>

—— 平行与垂直关系的向量证法

知识点一 求平面的法向量

已知平面α经过三点A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2，0>，试求平面α的一个法向量．

解∵A(1,2,3>，B(2,0，－1>，C(3，－2,0>，

＝(1，－2，－4>，错误!＝(1，－2，－4>， 设平面α的法向量为n＝(x，y，z>． 依题意，应有n·

=0， n·错误!=0.

即错误!，解得错误!.令y＝1，则x＝2.b5E2RGbCAP ∴平面α的一个法向量为n＝(2,1,0>．

【反思感悟】 用待定系数法求平面的法向量，关键是在平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量>即可．p1EanqFDPw 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：

是平面A1D1F的法向量.

DXDiTa9E3d 证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则的法向量．

证明

是平面A1D1F

设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0>，E错误!，RTCrpUDGiT ＝错误!..D1＝(0,0,1>，5PCzVD7HxA F错误!，A1(1,0,1>．jLBHr

Now similar concerns are being raised by the giants（巨头）that deal in data, the oil of the digital age. The most valuable firms are Google,Amazon,3.2.1 直线的方向向量与直线的向量方程

课后导练

基础达标

1.已知A（1，1，0），

=（4，0，2）,点B的坐标为（ ）

A.（7，-1，4） B.(9,1,4) C.(3,1,1) D.(1,-1,1) 答案：B 2.

=(-1,2,3)，

=（l,m,n），

=（0，-1，4），则

等于（ ）

A.（-1+l，1+m,7+n） B.(1-l,-1-m,-7-n)

C.(1-l,1-m,7-n) D.(-1+l,-1+m,-7+n) 答案：B

3.若a=(0,1,-1)，b=(1,1,0)，且(a+λb)⊥a，则实数λ的值是（ ） A.-1