高等几何课后详细答案

高几习题集及参考解答

第一章 仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与

一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D' （图1）。∵T保留简比不变， 即（BCD）=（B'C'D'）= -1，

∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC中，β=γ。

设T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD?BC，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。

由于

系 专业 班 学号 姓名 ┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉密┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉封┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉线┉┉┉┉┉┉┉┉┉┉ 试卷类型： A 高等几何 使用专业年级 考试方式：开卷（ ）闭卷（√） 共 6 页 题号 一 二 三 四 五 六 合计 得分 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1、设P1(1)，P2(-1)，P1P2P3)? 。 3(?)为共线三点，则(P2、写出德萨格定理的对偶命题： 。 3、若共点四直线a,b,c,d的交比为(ab,cd)=-1，则交比(ad,bc)=______。 4、平面上4个变换群，射影群，仿射群，相似群，正交群的大小关系为：

一、选择题（共15分，每小题3分）

1、下列关于射影平面的论述正确的是 ――――――――――――――――― （ ）

A,无穷远直线视为普通的直线； B,所有直线都是封闭的； C,任意两直线必相交于一点； D,一条直线分射影平面为两部分。

2、下列到直线自身的射影对应属于双曲型对合的是 ―――――――――――（ ） A, ???

3、下列哪个几何性质或图形不属于仿射几何的研究范围――――――――――（ ）

A, 平行四边形； B,简比； C, 三角形的垂心； D,接合性；

224、二次曲线3x1?2x2?x1x2?x1x3?x2x3?0在射影观点下的基本类型是――

??2??1；B, ?????????4?0； C, ?????21?? D, ????2??3?0；

（ ）

A，虚的常态二阶曲线；B,实的常态二阶曲线；C,两条虚直线； D,两条实直线

5、由几对对应元素可以确定平面上任意的一个射影变换――――――――――（ ）

1

A, 1 B, 2 C, 3 D, 4

一、填空题（每题2分，共计20分）

?x??3x?y?4?y??4x?2y的自对应点为 .

1.仿射变换?2.交比是 不变量.

3.如果两个三点形的对应边的交点共线，则这条线叫做 . 4.点（1，1，3）的方程是 .

5.已知

(p1p2,p3p4)?12,则(p1p3,p2p4)= .

6.若a,b,c为线束S中的三直线，则(abc)? .

7.若已知两个点列的三对对应点，则可以唯一决定一个 . 8.若Ox轴上的射影变换式为

x??x?13x?2，则原点的对应点为 .

9.已知某对合的二重元素的参数为2与3，则这个对合的方为 . 10.在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为 . 二、判断题（对的打√，错的打×，每题2分，共计20分）

1.在仿射变换下等腰三角形仍对应等腰三角形. （ ）

2.任意三点不共线的同一平面的五点，可确定一

高等几何复习

第三章 射影变换与射影坐标

1. 交比及基本性质 2. 交比的计算公式

（要求每一个公式配上一个例题。如：C≡A+λB，D≡A+μB，则(AB,CD)?设A（1,1,1），B（1，– 1，1），C（1, 0, 1），D（0，1，0），求（AB，CD）。 解 因为 C = 2（A + B），D = 2（A – B），所以λ= 1，μ= – 1。所以

?。 ?(AB,CD)?1） ??1。

?13. 线束的交比

（只要给出2中的对偶。在计算中，只要用线坐标代替直线方程，就可应用2中的公式。） 4. 完全四点形的调和性

（四点形的调和性在初等几何的应用中有两个重要的定理：

（i） （AB，CD）= – 1，则C是线段AB的中点等价于D是直线AB的无穷远点。（这和平行性有关）

（ii） (ab, cd) = – 1，则c,d平分∠(a, b)等价于c⊥d。 ）

5. 一维基本型的透视对应与射影对应 （1）透视对应的定义； （2）一维射影定应的定义；

（3）从一一对应中判别射影对应的判别定理； (4) 从射影对应中判别透视对应的判别定理；

（5）一维射影对应的代数表示 （要求配上例题）；

（6）一维射影变换的不变点的性质：设E

高几习题集及解答

第一章 仿射几何的基本概念

1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。

证明：设T为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T可使等腰△ABC（AB=AC）与

一般△A'B'C'相对应，设点D为线段BC的中点，则AD⊥BC，且β=γ，T（D）=D' （图1）。∵T保留简比不变， 即（BCD）=（B'C'D'）= -1，

∴D'是B'C'的中点。因此线段中点是仿射不变性。 ∵在等腰△ABC中，β=γ。

设T（ β）= β'，T（ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。 ∴角平分线不是仿射不变性。

在等腰△ABC中，设D是BC的中点，则AD?BC，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。 由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。

3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。

证明：设仿射变换T将△ABC 变为△A'B'C'，D、E、F分别是BC、CA，AB边的中点。

由于仿射

2014届高联高级钻石卡基础阶段学习计划

《高等数学》 上册 （一----七）

第一单元、函数极限连续

使用教材： 同济大学数学系编；《高等数学》；高等教育出版社；第六版； 同济大学数学系编；《高等数学习题全解指南》；高等教育出版社；第六版； 核心掌握知识点：

1. 函数的概念及表示方法；

2. 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性； 3. 复合函数、分段函数、反函数及隐函数的概念； 4. 基本初等函数的性质及其图形；

5. 极限及左右极限的概念，极限存在与左右极限之间的关系； 6. 极限的性质及四则运算法则；

7. 极限存在的两个准则，会利用其求极限；两个重要极限求极限的方法；

8. 无穷小量、无穷大量的概念，无穷小量的比较方法，利用等价无穷小求极限； 9. 函数连续性的概念，左、右连续的概念，判断函数间断点的类型；

10. 连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最

小值定理、介值定理），会用这些性质.

第 3 二 h 天

第 1 章 第 2 节 数 列 的 极 限 第 1 章 第 3 节 函 数 的 极 限 第 1 章 第 4 节 无 穷 小 与 无 穷 大

数列极限的定义 数列极限的性质(唯一 性

微分几何主要习题解答

微分几何参考答案：

P51页

?1. 求曲线r = { tsint,tcost,tet } 在原点的密切平面、法平面、从切面、切

线、主法线、副法线。

解 原点对应t=0 , r'(0)={ sint+tcost,cost- tsint,et+tet}t?0={0,1,1}，

?r''(0)?{2cost+ tcost,cost- tsint,2et+tet}t?0 ={2,0,2} ，

?所以切线方程是

xyz?? ，法面方程是 y + z = 0 ； 011xyz密切平面方程是011=0 ，即x+y-z=0 ，

202?x?y?z?0yxz? ； 主法线的方程是? 即?2?11?y?z?0从切面方程是2x-y+z=0 ,副法线方程式2．求以下曲面的曲率和挠率

?⑴ r?{acosht,asinht,at},

xyz?? 。 11?1?⑵ r?{a(3t?t3),3at2,a(3t?t3)}(a?0)。

???解 ⑴r'?{asinht,acosht,a}，r''?{acosht,asinht,0}，r'''?a{sinht,cosht,0}，

????|r'?r''|2a2cosht1r'?r''?a{?sinht,

实用翻译教程，刘季春，中山大学出版社

翻译练习答案（仅供参考）

P45

1 .The stereo radio is now a standard feature. 立体收音功能现在已经是一种标准功能了。

2. If water is cold enough,it changes to ice. 水温降到一定程度就会结成冰。

3. There is clue to the identity of the murderer. 没有确定窃贼身分的线索。

4. Lower temperatures are associated with lower growth rate. 温度一降低,生长速度就会慢下来。

5. We had barely dropped off to sleep when the doorbell began to ring. 我们刚睡着的时候门铃就响了。

6. Mankind has always reverenced what Tennyson called \n\

人类一直以来对Tennyson称为“雨带来的有用的麻烦”怀有敬畏。

7. The new rates will apply f

高中数学总复习立体几何主题

119. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CC1的中点，求异面直线AE和BF所成 角的大小．

解析：取DD1的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BF∥AG， 则∠GAE是异面直线AE与BF所成的角．连GF，设正方体棱长为a，

D1

1E

C1

a． GE B1D1 2a，AE AG 2

在△AEG中，由余弦定理得

A1

GF

C

55 2222

AG AE GE1

cos GAE

2 AG AE55

2 22

∴ GAE arccos

A

B

1． 5

120. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面

BCD上的射影

A′落在

BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

高中数学总复习立体几何主题

在Rt

△AA

′O中，∠AA′O=90°，

121. 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a

，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：因为 AB∥CD，CD 所以 AB∥平面CPD．

平面CPD，AB 平面CPD．

又 P∈平面APB，且