微分方程作业答案

P10习题

1.用Euler法和改进的Euler法求u’=-5u (0≤t≤1),u(0)=1的数值解，步长h=0.1,0.05;并比较两个算法的精度。

解：function du=Euler_fun1(t,u) du=-5*u;clear;

h=0.1;tend=1;N=1/h;t(1)=0;u(1)=1; t=h.*(0:N); for n=1:N

u(n+1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); end

plot(t,u,'*');hold on for n=1:N

v(1)=u(n)+h*Euler_fun1(t(n),u(n)); for k=1:6

v(k+1)=u(n)+h/2*(Euler_fun1(t(n),u(n))+Euler_fun1(t(n+1),v(k))); end

u(n+1)=v(k+1); end

plot(t,u,'o');

sol=dsolve('Du=-5*u','u(0)=1'); u_real=eval(sol); plot(t,u_real,'r');

将上述 h 换为0.05得：

由图像知道:

显然改进的Euler法要比Euler法

课程安排：2学期，周学时 4 , 共 96 学时. 主要内容：定积分的计算 要求：听课 、复习 、 作业 本次课题（或教材章节题目）：第七章 微分方程 第一讲 微分方程的基本概念 教学要求： 微分方程的基本概念以及微分方程阶的概念。 重 点：微分方程的基本概念，微分方程阶的概念 难 点： 微分方程的概念； 微分方程阶的概念 教学手段及教具：讲授为主 讲授内容及时间分配： 1 复习 15分钟 2 微分方程的问题举例 30分钟 3 微分方程概念以及阶数练 45分钟 课后 作业 参考 资料 定积分的概念与性质 一、复习导数和高阶导数的概念 二、微分方程问题举例及引出 函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映?利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究?因此如何寻找出所需要的函数关系?在实践中具有重要意义?在许多问题中?往往不能直接找出所需要的函数关系?但是根据问题所提供的情况?有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式?这样的关系就是所谓微分方程?微分方程建立以

第十二章 微分方程

一、内容提要

（一）主要定义

【定义12.1】 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做微分方程.未知函数是一元函数的叫做常微分方程； 未知函数是多元函数的叫做偏微分方程.

【定义12.2】 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.

一般形式为： Fx,y,y?,y??,?,y标准形式为：y?n??(n)??0.

??fx,y,y?,?,y?n?1?.

?【定义12.3】 微分方程的解 若将函数y???x?代入微分方程使其变成恒等式 即 F?x,??x?,???x????n???x????0,

或者 ??n??x????x?,?,??n?1??x?? f?x,?x,?????则称y???x?为该方程的解.

根据y?y?x?是显函数还是隐函数 ,分别称之为显示解与隐式解.若解中含有任意常数,当独立的任意常数的个数正好与方程的阶数相等时该解叫做通解(或一般解)；不含有任意常数的解叫特解.

【定义12.4】 定解条件 用来确定通解中任意常数的条件称为定解条件,最常见的定解条件是初始条件.

例

【例1

1.答：对于底坡i=0、 i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理，可知q=常量。

那么，由裘布依微分方程

q??Kh?H ?x

可知??H沿流向将变大，即水头线越来越弯曲,其形状H为一上凸的曲线。?x

由此，可知习题6-1图所示的水头线形状不正确，图中红色曲线为正确的水头线形状。

(a) (b)

习题6-1图

2.答：

(a)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流向变小。而根据渗流连续性原理，可知q=常量。 那么，由裘布依微分方程

q??Kh?H ?x

可知?

?H沿流向将变大，即水头线越来越弯曲, 其形状为一上凸的曲线。?x

(a) (b)

习题6-2图

(b)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流向不变。根据渗流连续性原理，可知q=常量。 那么，由裘布依微分方程

q??Kh?H ?x可知??H沿流向将不变，水头线H为一斜直线。?x

(c)对于底坡i>0条件下均质潜水含水层二维流，渗流宽度不变，而渗流厚度h沿流

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

第三节 微分方程模型

本节介绍确定性动态系统的微分方程建模。首先回顾物理领域的微分方程模型，然后介绍今非物理领域的微分方程模型。

一、徽分方程应用举例

人们对于微分方程的研究，早在十六七世纪微积分建立的时候就已经开始了，在17世纪和18世纪初得到了迅速的发展，成为研究自然现象的有力的工具。早期的研究与几何及力的研究关系密切。在17、18世纪，人们借助于微分方程，在力学、天文学、物理学等领域中，取得了重要的成就。

在一些应用问题中， 往往不能直接找出所需要的函数关系。 但是，可以根据问题所提供的线索，列出含有待定函数及其导数的关系式，称这样的关系式为微分方程模型。给出微分方程模型之后，对它进行研究，找出未知函数这一过程称为解微分方程。

下面给出的几个问题都是与时间t有关。对于一个依赖于时间t的量y的情况， 建立一个关于

，y与t的关系式， 它在任何时刻均成立。对这个方程积分， 便得到一个只含

的新方程。新方程中含有积分常数， 并且对于任何特定的t仍然成立。

。对于任何确

有y和t而不含

然后，利用问题中的一些特定信息，确定这些积分常数，于是，得函数定的t0，都可以算出

。

一般来说，求解一个应用问题时，可以按照如下步骤：

同济大学五版高等数学学习资料

第六章 常微分方程

一． 求解下列微分方程： 1. y' ex y

+ex=0.

解.

dydx=ex(e y 1), dye y 1

=exdx ln1 ey

=ex, 1 ey=cee xc

y=ln(1 ce

e x

).

2. dy dx

=(1 y2

)tanx

y(0)=2

解.

dy

1 y

2

=tanxdx

11+12lncy1 y= lncosx, y(0) = 2, 2lnc1+21 2=0, ln

1+y13+cos2x

3(1 y)=lncos2x, y=3 cos2x

二. 求解下列微分方程：

1. x x

1+ey 1 x

dx+ey

y dy=0 xey

x

1 解. dx y dy

=x

. 1+ey

令

x

y

=u,x=yu.(将y看成自变量) dxdy=u+ydudy

, 所以 u+ydudy=eu(u 1)

1+eu duueu euudy1+eu u= +eu

y=1+eu

c= 1

3

同济大学五版高等数学学习资料

u+eu 1dyd(u+eu)dy1+eu

ln= ln=ln= , = , ydu c yu+euyyu+eu

x

cc1u+euy

习题5.3

1、 假设A是n?n矩阵，试证：

a) 对任意常数c1、c2都有

exp(c1A+c2A)=expc1A·expc2A

b) 对任意整数k,都有

(expA)=expkA

(当k是负整数时，规定(expA)＝[(expA)

证明：a) ∵（c1A）·（c2A）＝（c2A）·（c1A）

∴ exp(c1A+c2A)= expc1A·expc2A b) k>0时，(expA)＝expA·expA……expA ＝exp（A+A+……+A）

＝expkA k<0时，-k>0

(expA)＝[(expA)

k?1kk?1k]

?k)

]

?k=[exp(-A)]

?k = exp(-A)·exp(-A)……exp(-A)

＝exp[(-A)(-k)] ＝expkA

故?k，都有(expA)=expkA

2、 试证：如果?(t)是x=Ax满足初始条件?(t0)＝?的解，那么

'k?(t)＝[expA(t-t0)]?

-1

证明：由定理8可知?(

《常微分方程》习题答案

习题4.2

1. 解下列方程

(4)x 5x 4x 0 （1）

解：特征方程 4 5 2 4 0有根 1 2， 2 2， 3 1， 4 1

2t 2tt t

ce ce ce ce故通解为x=1 234

23

x 3ax 3ax ax 0 (2)

解：特征方程 3 3a 2 3a2 a3 0

有三重根 a

故通解为x=c1eat c2teat c3t2eat

(5)x 4x 0 （3）

解：特征方程 5 4 3 0

有三重根 0， 4 2， 5 -2 故通解为x c1e

2t

c2e c3t c4t c5

2t2

（4）x 2x 10x 0

解：特征方程 2 2 10 0有复数根 1 -1+3i, 2 -1-3i

故通解为x c1e tcos3t c2e tsin3t (5) x x x 0

解：特征方程 2 1 0有复数根 1 1 故通解为x c1e

1

t2

3i

2

, 2

1 i

, 2

cost c2e

2

1 t2

3sint

2

《常微分方程》习题答案

(6) s a2s t 1

解：特征方程 2 a2 0有根

1 a, 2 -a

当a 0时，齐线性方程的通解为s=c1eat c2e at

~s A Bt

代入原方程解

多元函数微分学习题五

?2z1、设函数z?z(x,y)由方程yz?ln(xyz)?2(yz?1)所确定，求 。 2?y?z??2zx2、设函数z?z(x,y)由方程?ln??所确定，求。

?x?yzy???2z3、设函数z?z(x,y)由方程e?z?xsiny?2所确定，求。

?x?yz?2z4、设函数z?z(x,y)由方程1?x?2y?z?e所确定，求。

?x?yz?2z5、设函数z?z(x,y)由方程e?xz?y?1所确定，求。

?x?yz2?2z6、设函数z?z(x,y)由方程x?y?z?z?x?y?9所确定，求。

?x?y222?2z7、设函数z?z(x,y)由方程e?z?xy?1所确定，求。

?x?yz?2u8、设函数u?u(x,y)由方程u?e?xy所确定，求。

?x?yu232229、设u?xyz,其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?3xyz?0所确定的可微函数，

,)?1,求且z(11?u?yx?1y?1。

10、设函数y?y(x)由方程1?xy?ln(exy?e?xydyd2y和 。 )?0所确定，求 2dxdx11、设函数y?y(x)由方程x?y?ex?ydyd2y所确定，求 和 。

dxdx2d2y12、