DFT计算离散线性卷积的方法

《 自 动 化 技 术 与 应 用 》 2009年第 28卷第 2期 通信与信息处理

Communication and Information Processing 基于 FFT 计算线性离散卷积的一种算法 田 秀 华 , 刘 文 进 , 裴 晓 敏

(辽宁工程技术大学电信学院,辽宁 阜新 123000

摘 要:介绍一种利用快速傅里叶变换计算线性离散卷积的算法,给出了此算法的原理、 数学模型、 实现方法以及进一步减少计算量

的措施等,仿真表明此算法与一般算法相比,在运算量方面优点明显。 关键词:线性;离散卷积;离散傅里叶变换;快速傅里叶变换

中图分类号:TP13 文献标识码:A 文章编号:1003-7241(200902-0056-03

An Algorithm for Calculating the Linear Discrete Convolution With FFT

TIAN Xiu-hua, LIU Wen-jin, PEI Xiao-min (Liaoning Technical University, Fuxin 123000 China

Abstract: This papers introduces a

北京理工大学,实验报告,利用FFT计算线性卷积

实验三 利用FFT计算线性卷积

实验记录

1. 比较当序列长度分别为8,16,32,64,256,512,1024时两种方法计算的时间

一、直接线性卷积

程序代码

for n1=3:10;

L=2^n1;

x=ones(1,L);

h=cos(0.2*pi.*x);

tic

y=conv(x,h);

toc

end

程序结果：

Elapsed time is 0.000104 seconds.

Elapsed time is 0.000022 seconds.

Elapsed time is 0.000018 seconds.

Elapsed time is 0.000021 seconds.

Elapsed time is 0.000031 seconds.

Elapsed time is 0.000059 seconds.

Elapsed time is 0.000152 seconds.

Elapsed time is 0.000508 seconds.

二、快速卷积

程序代码

for n0=3:10;

L=2^n0;

n=0:L;

x=heaviside(n)-heaviside(n-L);

h=cos(0.2*pi.*n);

X=fft(x)

北京理工大学,实验报告,利用FFT计算线性卷积

实验三 利用FFT计算线性卷积

实验记录

1. 比较当序列长度分别为8,16,32,64,256,512,1024时两种方法计算的时间

一、直接线性卷积

程序代码

for n1=3:10;

L=2^n1;

x=ones(1,L);

h=cos(0.2*pi.*x);

tic

y=conv(x,h);

toc

end

程序结果：

Elapsed time is 0.000104 seconds.

Elapsed time is 0.000022 seconds.

Elapsed time is 0.000018 seconds.

Elapsed time is 0.000021 seconds.

Elapsed time is 0.000031 seconds.

Elapsed time is 0.000059 seconds.

Elapsed time is 0.000152 seconds.

Elapsed time is 0.000508 seconds.

二、快速卷积

程序代码

for n0=3:10;

L=2^n0;

n=0:L;

x=heaviside(n)-heaviside(n-L);

h=cos(0.2*pi.*n);

X=fft(x)

实验五 循环卷积与线性卷积的实现

一、实验目的

（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理

两个序列的N点的循环卷积定义为

[h(n)?x(n)]N??h(m)x((n?m))N (0?n?N)k?0N?1从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环

卷积结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2，此时线性卷积结果的序列点数为N'?N1?N2?1；因此如果循环卷积的点数N小于N1?N2?1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足N?N'的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0?n?N范围内相同。

根据DFT循环卷积性质中的卷积定理

DFT{[h(n)?x(n)]N}?DFT[x(n)]?DFT[h(n)]

因此可以根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取ID

实验五 循环卷积与线性卷积的实现

一、实验目的

（1） 进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念； （2） 理解掌握二者的关系。

二、实验原理

两个序列的N点的循环卷积定义为

[h(n)?x(n)]N??h(m)x((n?m))N (0?n?N)k?0N?1从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环

卷积结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果长度则为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。

两个序列的N点循环卷积是它们的线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列h(n)的长度为N1，序列x(n)的长度为N2，此时线性卷积结果的序列点数为N'?N1?N2?1；因此如果循环卷积的点数N小于N1?N2?1，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果满足N?N'的条件，就有循环卷积与线性卷积的结果在0?n?N范围内相同。

根据DFT循环卷积性质中的卷积定理

DFT{[h(n)?x(n)]N}?DFT[x(n)]?DFT[h(n)]

因此可以根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取ID

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基于Ｍａｔｌａｂ的离散卷积

作者：刘国良

来源：《现代电子技术》2009年第05期

摘 要：卷积运算广泛用于通讯、电子、自动化等领域的线性系统的仿真、分析及数字信号处理等方面。在Matlab中可以使用线性卷积、圆周卷积和快速傅里叶运算实现离散卷积。线性卷积是工程应用的基础，但圆周卷积和快速傅里叶运算实现线性离散卷积具有速度快等优势，圆周卷积采用循环移位，在Matlab中没有专用函数，需要根据圆周卷积的运算过程编制程序代码；快速傅里叶运算(FFT)是DSP的核心算法，在序列比较长时FFT是一种最合适的方法，运算速度快、程序简单，序列越长其优势越明显。以同一个例子介绍了进行离散卷积仿真运算的两种方法与特点。

关键词：Matlab；数字信号处理；离散卷积运算；快速傅里叶运算 中图分类号：TP311文献标识码：B 文章编号：1004-373X(2009)05-125-02 Discreted Convolution Based on Matlab LIU Guoliang

实验一线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

实验报告

学号

专业班级

指导老师

分数

《数字信号处理课程设计》任务书

实验一 线性卷积与圆周卷积演示程序的设计

一、 实验目的

目的：① 熟练掌握MATLAB 工具软件在工程设计中的使用；

② 熟练掌握线性卷积与圆周卷积的关系及LSI 离散时间系统系统响应的

求解方法。

要求：① 动态演示线性卷积的完整过程；

② 动态演示圆周卷积的完整过程；

③ 对比分析线性卷积与圆周卷积的结果。

步骤：① 可输入任意2待卷积序列x1(n)、x2(n)，长度不做限定。测试数据为：

x1(n)={1,1,1,1,0,0,1,1,1,1,0,0}，

x2(n)={0,1,2,1,0,0,0,1,2,1,0,0}；

② 分别动态演示两序列进行线性卷积x1(n)﹡x2(n)和圆周卷积x1(n)⊙

x2 (n)的

过程；要求分别动态演示翻转、移位、乘积、求和的过程；

③ 圆周卷积默认使用2序列中的最大长度，但卷积前可以指定卷积长度N 用以进行混叠分析；

④ 根据实验结果分析两类卷积的关系。

⑤ 假定时域序列x1(n)、x2(n)的长度不小于10000，序列容自定义。利用 FFT 实现快速卷积，验证时域卷积定理，并与直接卷积进行效率对比。

二、实验原理

1、线性

/*-------------------------------------------* * 离散卷积 * *-------------------------------------------*/

#include

float convolute(float* f, /*离散单边信号f的序列表示*/ float* g, /*离散单边信号g的序列表示*/ unsigned int k, /*卷积的自变量*/

const int length /*信号的序列长度,本例子假设为10*/ ) {

unsigned int n = 0;

float sum = 0; /*累加的结果，最终作为返回值返回*/ if( k > length ) {

k = length; }

for( n = 0 ; n != k ; ++n ) {

sum+=( f[n]*g[k-n] ); }

return sum; }

int main() {

float f[10] = {3,5

实验二 离散傅里叶变换DFT

一、实验目的

(1)学习编制离散傅里叶变换程序。

(2)学会用计算机模拟时间抽样和重构信号。 (3)用离散傅里叶变换程序分析时间抽样信号。 (4)进行N＝64点的DFT分析

二、实验内容

(1)编制计算离散博里叶变换程序。

(2)根据实序列离散博里叶变换的对称性，初步判定程序的正确性。

(3)选定某时间信号进行N＝64点离散博里叶变换，详细记录计算时间和分析结果

(4)分析正弦抽样序列，详细记录结果。

三、实验说明

(1)根据离散傅里叶变换公式

kn X(k)??x(n)WNn?0N?1及其反变换公式

?kn x(n)??X(k)WNn?0N?1编制相应的计算程序。

计算离散傅里叶变换的参考程序如下：

function [xk]=dft(xn,N) n=[0:1:N-1]; k=[0:1:N-1];

WN=exp(-j*2*pi/N); nk=n'*k;

WNnk=WN.^nk; xk=xn*WNnk;

例如计算N=12点δ(n)的离散傅里叶变换

>>x=[1,zeros(1,11)]

x =1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >>N=12 N=12

>>

实验1 离散信号的DTFT和DFT

实验目的：加深对离散信号的DTFT和DFT的及其相互关系的理解。 实验原理：序列x[n] 的DTFT定义：X(eN点序列x[n] 的DFT定义：

jω)??x[n]e?jnω

n????X[k]?X(eN?1n?0j2?kN)??x[n]en?0N?1?j2?knN

kn??x[n]WN?j??jM?j?在MATLAB中，对形式为X(ej?)?p(e)?p0?p1e?...?pMe的DTDFT可以

D(ej?)d0?d1e?j??...?dNe?jN?用函数H=Freqz（num，den，w）计算；可以用函数U=fft（u，N）和u=ifft（U，N）计算N点序列的DFT正、反变换。

实验内容： 分别计算16点序列

x(n)?cos5?n,0?n?1516的16点和32点DFT，

绘出幅度谱图形，并绘出该序列的DTFT图形。

实验要求：讨论DTFT和DFT之间的相互关系。说明实验产生的现象的原因。

实验步骤：

①16点序列X(n)的16点及32点DFT:

>> N=16;

>> n=1:16;

>> x= sin(5*pi*n/16); >> X1=fft(x,16); >> X11=abs(X1); >>