直线与圆的综合问题
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直线和圆综合问题题型分类全面
第九讲 直线和圆问题 一、直线与圆
(一)直线和圆的位置关系及其特点
1.直线和圆相交:直线和圆有两个公共点. 2.直线和圆相切:直线和圆有一个公共点. 3.直线和圆相离:直线和圆没有公共点. (二)直线和圆的位置关系的判断
几何法:利用圆心O(a,b)到直线Ax?By?C?0的距离d?Aa?Bb?CA?B22与半径r的大
小来判断.
代数法:联立直线与圆的方程组成方程组,消去其中一个未知量,得到关于另外一个未知量的一元二次方程,通过根的判别式??b?4ac来判断.
直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2图形 圆心到直线的距离d ??b?4ac 2(三)相交弦长 1.定义:当直线和圆相交时,我们把两个交点的距离叫做相交弦长. 2.求相交弦长的两种方法 几何法:如图,半径r,弦心距d,弦长l的一半构成直角三角形,满足勾股定理:__________.
代数法:若直线y?kx?b与圆有两个交点A(x1,y1)、B(x2,y2),则弦长公式AB=_______________________________________________.
或___________________
点与圆 圆与圆 直线与圆的位置关系 -
点与圆、圆与圆、直线与圆的位置关系
姓名: 日期: 指导老师:
知识点一:点与圆的位置关系
平面内,设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则有d>r?点P在⊙O______;
d=r?点P在⊙O______;d
1、 ⊙O的半径为5,O点到P点的距离为6,则点P( ) A. 在⊙O内 B. 在⊙O外 C. 在⊙O上 D. 不能确定 2、 若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部,则△ABC是( )
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 无法确定
3、直角三角形的两条直角边分别是12cm、5cm,这个三角形的外接圆的半径是( ).
A.5cm B.12cm C.13cm D.6.5cm
4、若⊙A的半径为5,圆心A的坐标是(3,4),点P的坐标是(5,8),你认为点P的位置为( )
A.在⊙A内 B.在⊙A上 C.在⊙A外 D.不能确定
5、Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=4,如果以点A为圆心,AC为半径作⊙A,?那么斜边中点D与⊙O的位置关
系是( )
A.点D在⊙A外
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系整合
教学目标 (一)教学知识点
1.进一步理解和掌握点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.不同位置关系所体现的数量关系,为以后与圆有关的计算、证明做铺垫. (二)能力训练要求
1.经历探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程,培养学生的探索能力. 2.通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”的对应与等价,从而实现位置关系与数量关系的相互转化.
(三)情感与价值观要求
通过探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程,体验数学活动充满着探索与创造,感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.在数学学习活动中获得成功的体验,锻炼克服困难的意志,建立自信心.
教学重点
经历探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程.理解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系.掌握其对应与等价。
教学难点:经历探索点与圆、直线与圆、圆与圆位置关系的过程,归纳总结出三种位置关系下的对应与等价.
教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
[师]我们在前面学过点和圆的位置关系,请大家回忆它们的位置关系有哪些?通过观看ppt课件,谈谈射击是如何计算成绩的?
[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.即圆上的点到圆心的距离等
专题24--直线与圆的最值问题
专题24--直线与圆的最值问题
主干知识整合
直线与圆中的最值问题主要包含两个方面
1.参量的取值范围
由直线和圆的位置关系或几何特征,引起的参量如k,b,r的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.
2.长度和面积的最值
由于直线或圆的运动,引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于参数如k或b,r的函数,运用函数或基本不等式求最值.
探究点一 有关长度的最小值
直线与圆中有关长度的问题主要包括直线被坐标轴截得的长度、弦长、切线长等.其中弦长、切线长都可以与半径构造直角三角形来求解.
例1 (1)如图24-1,已知圆x2+y2=1的一条切线与x轴、y轴分别交于点A、B,则线段AB长度的最小值为________.2
22 (2)直线2ax+by=1与圆x+y=1相交于A,B两点
(其中a,b是实数),且△AOB是直角三角形(O是坐标原点),
则点P(a,b)与点(0,1)之间距离的最大值为________. 2+1
探究点二 有关面积的最值问题
圆形成的多边形及动圆的面积.
例2 已知圆C通过不同的三点P(m,0)、Q(2,0)、R(0,1),且CP率为-1.
(1)试求⊙C的方程;
x2+y2+x+5y-6=0
(2)过原点O作两条互相
8019直线与圆及圆与圆的位置关系(北)
同步讲解
直线与圆及圆与圆的位置关系
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
直线与圆及圆与圆的位置关系
二. 学习目标:
1、能根据给出的直线和圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系; 2、在学习过程中,进一步体会用代数方法处理几何问题的思想; 3、进一步体会转化、数形结合等数学思想和方法。
三. 知识要点:
1、直线和圆的位置关系
设△是联立直线方程与圆的方程后得到的判别式,dO-L是圆心O到直线L的距离,则有:
直线与圆相交:有两个公共点——△>0——dO-L∈[0,R]; 直线与圆相切:有一个公共点——△=0——dO-L=R; 直线与圆相离:无公共点——△<0——dO-L>R.
2、圆与圆的位置关系
两圆相交:有两个公共点——△>0——dO-O’∈[|R-r|,R+r]; 两圆外切:有一个公共点——△=0——dO-O’=R+r; 两圆内切:有一个公共点——△=0——dO-O’=|R-r|; ④两圆相离:无公共点——△<0——dO-O’>R+r; ⑤两圆内含:无公共点——△<0——dO-O’<|R-r|.
同步讲解
【典型例题】
考点一 研究直线与圆的位置关系
例1 已知直线L过点(-2,0),当直线L与圆
直线与圆锥曲线的综合问题
第32练 直线与圆锥曲线的综合问题
[题型分析·高考展望] 本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.预测在今后高考中,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和数量积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高.
常考题型精析
题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用
x2y2例1 (1)(2015·福建改编)已知椭圆E:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为
ab4
M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若AF+BF=4,点M到直线l的距离不小于,5则椭圆E的离心率的取值范围是________________.
x2y22
(2)设焦点在x轴上的椭圆M的方程为+2=1 (b>0),其离心率为.
4b2①求椭圆M的方程;
②若直线l过点P(0,4),则直线l何时与椭圆M相交?
K12学习2019高考数学 考点突破 - 直线与圆:直线与圆、圆与圆的位置关系学案
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直线与圆、圆与圆的位置关系
【考点梳理】
1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d
d>r?相离.
(2)代数法:联立直线l与圆C的方程,消去y(或x),得一元二次方程,计算判别式Δ=
b2-4ac,Δ>0?相交,Δ=0?相切,Δ<0?相离.
2.圆与圆的位置关系
设圆O1:(x-a1)+(y-b1)=r1(r1>0), 圆O2:(x-a2)+(y-b2)=r2(r2>0).
方法 几何法:圆心距d与r1,r2的位置关系 相离 外切 相交 内切 内含 【考点突破】
考点一、直线与圆的位置关系
【例1】(1)直线l:mx-y+1-m=0与圆C:x+(y-1)=5的位置关系是( ) A.相交 C.相离
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
代数法:联立两个圆的方程组成方程组的解的情况 关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r2-r1|
(2)圆x+y=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是________. [答案] (1) A (2) -3<k<3
[解析] (1)法一:∵圆心(0,1)到直线l的距离d=
|m|
2<1<5. m+1
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故直线l与圆相交.
法二
考向3直线与椭圆的综合问题
考向3 直线与椭圆的综合问题(高频考点)
命题视角 直线与椭圆的综合问题,是近年来高考命题的热点,主要命题角度有: (1)由已知条件求椭圆的方程或离心率; (2)由已知条件求直线的方程; (3)中点弦或弦的中点问题; (4)弦长问题;
(5)与向量结合求参变量的取值.
31,?的【典例3】 (2014·南京市、盐城市高三第一次模拟考试)在平面直角坐标系xOy中,已知过点??2?x2y2
椭圆C:2+2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A,B两点,点
abB关于坐标原点的对称点为P,直线PA,PB分别交椭圆C的右准线l于M,N两点.
(1)求椭圆C的标准方程;
833?(2)若点B的坐标为?,,试求直线PA的方程;
?55?(3)记M,N两点的纵坐标分别为yM,yN,试问yM·yN是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
[思路点拨] (1)根据椭圆定义求出a的值,再由c=1求出b的值,就可得到椭圆的标准方程,(2)根据条件分别解出A,P点坐标,就可写出直线PA的方程,(3)先根据直线AB垂直x轴的特殊情况下探求yM,yN的值,再利用点共线及点在椭圆上条件,逐步消元,直到定值.本题难点在如
直线与圆的方程练习二
直线、圆方程 综合练习
1 直线与圆的方程练习二
一、选择题:
1、方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)
B.(32-,2)
C.(-2,0)
D.(-2,3
2) 2、圆(x -3)2+(y -4)2=1关于直线x +y =0对称的圆的方程为( )
A.(x +3)2+(y -4)2=1
B.(x +4)2+(y +3)2=1
C.(x +4)2+(y -3)2=1
D.(x -3)2+(y -4)2=1
3、直线x +2y +1=0被圆(x -2)2+(y -1)2=25所截得的弦长等于 ( ) A.52 B. 53 C. 54 D. 35
4、.直线3y x =绕原点逆时针旋转090,再向右平移1个单位,所得到的直线为( ) (A)113y x =-+ (B)1133y x =-+ (C)33y x =- (D)113
y x =+ 5、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2-6x +5=0相切,则k 的值等于( )
A.1或-19
B.10或-10
C.-1或-19
D.-1或19
6、(2006四川高考)已知两定点
直线与圆的方程练习二
直线、圆方程 综合练习
1 直线与圆的方程练习二
一、选择题:
1、方程x 2+y 2+ax +2ay +2a 2+a -1=0表示圆,则a 的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2)
B.(32-,2)
C.(-2,0)
D.(-2,3
2) 2、圆(x -3)2+(y -4)2=1关于直线x +y =0对称的圆的方程为( )
A.(x +3)2+(y -4)2=1
B.(x +4)2+(y +3)2=1
C.(x +4)2+(y -3)2=1
D.(x -3)2+(y -4)2=1
3、直线x +2y +1=0被圆(x -2)2+(y -1)2=25所截得的弦长等于 ( ) A.52 B. 53 C. 54 D. 35
4、.直线3y x =绕原点逆时针旋转090,再向右平移1个单位,所得到的直线为( ) (A)113y x =-+ (B)1133y x =-+ (C)33y x =- (D)113
y x =+ 5、若直线3x +4y +k =0与圆x 2+y 2-6x +5=0相切,则k 的值等于( )
A.1或-19
B.10或-10
C.-1或-19
D.-1或19
6、(2006四川高考)已知两定点