概率论中的六种常用分布的期望和方差

圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名：__________班级：__________学号：__________

1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.

12．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽

3实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；

(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．

第1页 共5页

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为

圆梦教育 离散型随机变量的分布列、期望、方差专题

姓名：__________班级：__________学号：__________

1．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘，已知甲胜A，乙胜B，丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。 （Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；

（Ⅱ）用?表示红队队员获胜的总盘数，求?的分布列和数学期望E?.

12．已知某种从太空带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为，某植物研究所分两个小组分别独立开展该种子的发芽

3实验，每次实验种一粒种子，假定某次实验种子发芽则称该次实验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次实验是失败的．

(1) 第一小组做了三次实验，求实验成功的平均次数；

(2) 第二小组连续进行实验，求实验首次成功时所需的实验次数的期望； (3)两个小组分别进行2次试验，求至少有2次实验成功的概率．

第1页 共5页

3．一种电脑屏幕保护画面，只有符号“○”和“×”随机地反复出现，每秒钟变化一次，每次变化只出现“○”和“×”之一，其中出现“○”的概率为p，出现“×”的概率为

常见分布的期望和方差

x n

(0,1)

N()

概率与数理统计重点摘要

1、正态分布的计算：()()()X F x P X x μ

σ-=≤=Φ。

2、随机变量函数的概率密度：X 是服从某种分布的随机变量，求()Y f X =的概率密度：()()[()]'()Y X f y f x h y h y =。（参见P66～72）

3、分布函数(,)(,)x y

F x y f u v dudv -∞-∞=??具有以下基本性质：

⑴、是变量x ，y 的非降函数；

⑵、0(,)1F x y ≤≤，对于任意固定的x ，y 有：(,)(,)0F y F x -∞=-∞=； ⑶、(,)F x y 关于x 右连续，关于y 右连续；

⑷、对于任意的11221212(,),(,),,x y x y x x y y <<　

　，有下述不等式成立： 22122111(,)(,)(,)(,)0F x y F x y F x y F x y --+≥

4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan )(arctan )23

x y F x y πππ2=++22的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x y F x y x y x y π?==??++ 5、二维随机变量的边缘分布：

边缘概率密度

常见分布的期望与方差的计算

这些分布的期望和方差要求同学们熟记，以下是计算过程，供课下看。

1.0－1分布

已知随机变量X的分布律为

X

10

p

p1 p

则有

E(X)=1 p+0 q=p,

D(X)=E(X2) [E(X)]

2

=12

p+02

(1 p) p2

=pq.

2.二项分布

设随机变量X 服从参数为n, p 二项分布,

(法一)设Xi为第i 次试验中事件A 发生的次数，i=1,2,",n则

X=∑Xi

i=1

n

n

显然，Xi 相互独立均服从参数为p 的0－1分布，

所以E(X)=∑E(Xi)=np.

i=1

D(X)=∑D(Xi)=np(1 p).

i=1

n

(法二) X的分布律为 n k P{ X= k}= p (1 p )n k, ( k= 0,1,2,", n), k n n n k则有 E ( X )=∑ k P{ X= k}=∑ k p (1 p )n k k=0 k k=0kn!=∑ p k (1 p )n k k= 0 k ! ( n k )! np( n 1)!=∑ p k 1 (1 p )( n 1) ( k 1) k=1 ( k 1)![( n 1) ( k 1)]!n n

( n

2011理数导学案

第十三章 第一节 排列与组合

执笔：李建军 审核：理数学备考小组

【目标与要求】（1）了解排列与组合的定义；

（2）理解排列与组合数的性质，计算简单的排列与组合数； （3）解决与排列与组合有关的应用题。 【回顾与思考】

1．两点分布：对于一个随机试验，如果它的结果只有两种情况，则可以用随机变量??0，1来描述这个随机试验的结果。如果发生的概率为p，则不发生的概率为1?p，这时，称?服从两点分布，其中p称为__________。其分布列为： 期望E??_______；方差D??________。

kn?kCMCN?M2．超几何分布：P(X?k)?，k?0,1,nCN,m，其中m?___________。

3．二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数X服从二项分布，记为_________。

kkn?kP(X?k)?Cnpq(q?1?p,k?0,1,2，…n)，表示______________________，二项

分布的分布列为：

X 0 1 … … k … … n P 期望为EX?______________；方差为DX?_________________。 4．正态分布：

（1）正态曲线：如果总体密度

自然科学凌

茜北师范学院学报

年第

期

概率论的起源和发展赖景耀

溉率论历史相当悠久

,

木文将介绍概率论产生的历史背景和发展情况。

,

并论及一些优秀

的概率论学者在发展这门学科中所作的贡献

英史,

数学家格雷舍,

,

一、

曾经说过。

“

任何企图将一种科目和它的了解和研究概率论发展的历,

历史割裂开来

我确信

,

没有哪一种科目比数学的损失更大

”

有助于加深对这门学科研究对象

研究方法的了解。

有利于总结成功经验和失败教训

启迪后人更好地为这门学科的发展作出贡献

一

占典概率时期,

一,

一

七世纪,

人们对偶然现象即随机现象规律性的探求经历了相当长的历史时期甚至可以追溯到“”远古的原始社会最早人们对事物的偶然性并不重视他们认为这是微不足道的而,,只注意那些有一定必然规律的现象但是严酷的现实使人们感到这种观点是错误的因为,,。。

火灾

、

水灾

、

地震等偶然现象一当发生“

,

便给人们的生命财产带来不可估量的损失。

。

随之,

,

又认为偶然现象是

可怕的”

,

“

严重的”面,。

但是

,

在实践中人们又发现,,,

,

事物的偶然性不。

仅有可怕的一面

,

也有造福于人类的一,

例如久旱后偶遇甘霖“

就是大喜之事”,

这样”。。

人

们开始探讨偶然现象发生的规律性然现象的规律性探求进展十分缓慢

由于生产力水平科学文化知识所限长期以来人们对偶甚至有人提

一、 六种常用贸易术语（INCOTERMS2000） （一） FOB （装运港船上交货） 1. 全名和含义

FOB 全名为Free on Board (…….named port Shipment)。中文译为船上交货（指定装运港）。习惯上称为装运港船上交货。此术语是指卖方在约定的装运港将货物交到买方指定的船上即完成交货，并承担货物越过装运港船舷之前的一切费用和风险，货物越过船舷之后的风险和费用则由买方承担。此术语只适用于水运（海运和内河航运） 2. 买卖双方的基本义务 （1）卖方的基本义务

①按时交货至装运港买方指定的船上，并向买方发出已装船的通知；

②承担货物越过装运港船舷之前的一切费用与风险； ③办理出口结关手续并付费；

④向买方提交规定的各项单证（商业发票等）或相等的电子信息。 （2）买方的基本义务

①按时租妥船舶开往约定的装运港接运货物（租船订舱），支付运费，并将船名和到港装货日期及时准确通知卖方； ②办理进口结关手续并付费；

③承担货物越过装运港船舷起的一切费用和风险； ④受领交货单据，收取货物并支付货款。

3. 使用FOB术语应注意的问题 （1）“船舷为界”的确切含义

《INCOTERMS2000》对FOB术语的风险划分界定为“

概率论在生活中的应用

——以小概率事件为例

摘要

概率论缘于现实生活，同时又服务于现实生活，概率与生活是一对形影不离的好朋友，她们相互影响相互联系着。自然界中的现象分为随机现象和和必然现象，随随机现象充满了偶然因素，有许多偶然因素是人们无法事先预测的，而且会对结果造成很大的影响，特别是看似不起眼的小概率事件，往往会对生活造成很大的影响。小概率事件原理是《概率论与数理统计》中的一个简单、基本而且颇有实用意义的原理，在我们的日常生活中有着很广泛的应用。本文通过对小概率原理及其推断方法的分析、论证，结合现实日常生活中的一些实例，介绍了小概率事件原理在日常生活中的应用。我们要努力学好它，把它更好地应用于实际生活，尽量避免看似不起眼的小概率事件带来的不便。

关键词：概率论 小概率事件 应用

Probability in the application of life —Case of small probability event

Abstract：Probability due to real life, while service in real life, and life is the probability of a pair of

概率论与生活中的概率现象课程作业结课论文

Harbin Institute of Technology

概率论与数理统计

期末论文

院 系：

班 级：

作 者：

学 号：

概率论与生活中的概率现象课程作业结课论文

概率论与生活中的随机事件

哈工大XX学院 XXXX班 XXX

摘 要：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。在日常生活中经常碰到概率问题，人们凭经验和直觉也能做出判断，但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会与事实大相径庭。生活中随机事件值得进一步分析。

关键词：概率论 统计 随机事件 日常生活

概率论产生于十七世纪，本来是有保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都

概率论与生活中的概率现象课程作业结课论文

Harbin Institute of Technology

概率论与数理统计

期末论文

院 系：

班 级：

作 者：

学 号：

概率论与生活中的概率现象课程作业结课论文

概率论与生活中的随机事件

哈工大XX学院 XXXX班 XXX

摘 要：概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律。在日常生活中经常碰到概率问题，人们凭经验和直觉也能做出判断，但在某些情况下，如果不利用概率理论经过缜密的分析和精确的计算，人们的结论可能会与事实大相径庭。生活中随机事件值得进一步分析。

关键词：概率论 统计 随机事件 日常生活

概率论产生于十七世纪，本来是有保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。

在自然界，在生产、生活中，随机现象十分普遍，也就是说随机现象是大量存在的。比如：每期体育彩票的中奖号码、同一条生产线上生产的灯泡的寿命等，都