为什么叫三角不等式

为什么把

a?b≥ab（a，b＞0）叫做“基本不等式” 21．从“数及其运算”的角度看，a?b是两个正数a，b的“平均数”；2从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，ab就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。

2．有多种等价形式：

代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；

几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……

函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数

y?

1

，y?x，y?x2等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，x

利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线y?x的切线，切线方程为y??x?1?，曲线y?x总位于切线的下方，故有，x≤?x?1?。令x?，代入化简即得重要不等式。

也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直

为什么把

a?b≥ab（a，b＞0）叫做“基本不等式” 21．从“数及其运算”的角度看，a?b是两个正数a，b的“平均数”；2从定量几何的角度看，ab是长为a、宽为b的矩形面积，ab就叫做两个非负数a，b的“几何平均”。因此，不等式中涉及的是代数、几何中的“基本量”。

2．有多种等价形式：

代数——涉及两个正数的运算，也就是通过加、减、乘、除、乘方、开方等运算而产生的变化。在对运算结果之间的大小关系比较中就可以得到各种表现形式；

几何——周长相等的矩形中，正方形的面积最大；或者，以a+b为斜边的直角三角形中，等腰直角三角形的高最长；或者，更直观地，等圆中，弦长不大于直径；……

函数——本质上是函数凹凸性的反映。例如，可以直接通过函数

y?

1

，y?x，y?x2等学生最熟悉的函数的凹凸性导出公式；或者，x

利用函数图像的切线（本质上是“以直代曲”），例如，过点(1,1)作曲线y?x的切线，切线方程为y??x?1?，曲线y?x总位于切线的下方，故有，x≤?x?1?。令x?，代入化简即得重要不等式。

也可以这样考虑：在一个平面内固定一条直线x+y=2A，考察曲线族xy=c（这里c是参数），画个图就可以看出，和给定直线有公共点，且使c取最大值的曲线，是和直

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

2019年04月12日136****5760的高中数学组卷

一．选择题（共2小题）

1．若直线＝1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（）A．2B．3C．4D．5

2．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z＝0．则当取得最大值时，的最大值为（）

A．0B．1C．D．3

二．解答题（共8小题）

3．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）＝|x+a|+|x﹣b|+c的最小值为4．（1）求a+b+c的值；

（2）求a2+b2+c2的最小值．

4．已知定义域在R上的函数f（x）＝|x+1|+|x﹣2|的最小值为a．

（1）求a的值；

（2）若p，q，r为正实数，且p+q+r＝a，求证：p2+q2+r2≥3．

5．已知正实数a、b、c满足条件a+b+c＝3，

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若c＝ab，求c的最大值．

6．已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，x∈R．

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝﹣x2+a在区间[0，2]有解，求实数a的取值范围．

7．设函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣a|（a＞0）．

（1）当a＝2时，求不等式f（x）＞8的解集；

（2）若?x∈R，使得f（x）≤成立，求实数a的取值范围．

8．已知函数f（x）＝|2x﹣3

(一)不等式概念和性质错解例析

初学不等式，由于对概念及性质理解不够深刻，有些同学常出现一些错误，现举例分析,望能引以为戒

一、理解概念不透致错

例1、下列给出四个式子，

①x>2 ②a≠0 ③5<3 ④a≥b 其中是不等式的是（ ）

A、①④ B、①②④ C、①③④ D、①②③④

错解、选A

分析、不等式是指形式上用“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”连接的式子，不受其是否成立的影响，5<3是不等式，只不过这个不等式不成立，另外a≠0也是不等式，因为“≠”也是不等号， 正解、选D

二、符号意义不清致错 例2、下列不等式

①2a>a ②a2+1>0 ③8≥6 ④x2≥0 一定成立的是（ ）

A、②④ B、② C、①②④ D、②③④

错解、选A

分析、导致本题错误的原因是对“≥”理解不正确，“≥”的意义是“>”或“=”，有选择功能，二者成立之一即可，事实上也只能二者取一，不等号两边的量不会既“>”又“=”，所以，对8≥6的理解应是“8大于6”，对x2≥0的理解应是，“当x=0时，x2=0；当x≠0时，x2>0” 正解、选D

例3、不等式x>-2的解集在数轴上表示正确的一项是（ ）

A B C

D

错解，选A

分析、对不等式的解集在数轴上的表示方法不清出错，在数轴上表示不等式的解集时，实心

初二数学备课组

中考专题复习

第2讲 不等式与不等式组

一级训练

1．(2012年广东广州)已知a＞b，c为任意实数，则下列不等式中总是成立的是( ) A．a＋c＜b＋c B．a－c＞b－c C．ac＜bc D．ac＞bc 2．(2012年四川攀枝花)下列说法中，错误的是( )

A．不等式x＜2的正整数解中有一个 B．－2是不等式2x－1＜1的一个解 C．不等式－3x＞9的解集是x＞－3 D．不等式x＜10的整数解有无数个

3．(2012年贵州六盘水)已知不等式x－1≥0，此不等式的解集在数轴上表示为(

)

4．(2012年湖北荆州)已知点M(1－2m，m－1)关于x轴的对称点在第一象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是(

)

2x－1≥x＋1，

5．(2012年山东滨州)不等式 的解集是( )

x＋8≤4x－1

A．x≥3 B．x≥2 C．2≤x≤3 D．空集

x－1≥0，

6．(2012年湖北咸宁)不等式组 的解集在数轴上表示为(

)

4－2x＞0

7．(2012年湖南益阳)如图2－2－2，数轴上表示的是下列哪个不等式组的解集(

)

图2－2－2

x≥－5， x＞－5， x＜5， x＜5， A. B. C. D. x＞－3

第四章 微积分中值定理与证明 4.1 微分中值定理与证明

一 基本结论

1．零点定理：若f(x)在[a,b]连续，f(a)f(b)?0，则???(a,b)，使得f(?)?0． 2．最值定理：若f(x)在[a,b]连续，则存在x1,x2使得f(x1)?m,f(x2)?M．其中

m,M分别是f(x)在[a,b]的最小值和最大值．

3．介值定理：设f(x)在[a,b]的最小值和最大值分别是m,M，对于?c?[m,M]， 都存在???[a,b]使得f(?)?c．（或者：对于?c?(m,M)，都存在???(a,b)使得

f(?)?c）

4．费玛定理：如果x0是极值点，且f(x)在x0可导， 则 f?(x0)?0．

5．罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，f(a)?f(b)，则???(a,b)使得

f?(?)?0．

6．拉格朗日定理：f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，，则???(a,b)使得

f(b)?f(a)?(b?a)f?(?)．

) 7．柯西定理：f(x)，g(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且g?(x)?0，则???(a,b使得

f(b)?f(a)f?(?)?．

g(b)?g(a)g?(?)8．泰勒公

不等式知识

目录：

三道小题

（一）一些基础。。。

（二）不等式的一些直观解释。。。 （三）谈谈放缩法。。。 （四）杂谈 关于配方法。。。 （五）杂谈 差分代换。。。

（六）杂谈 谈谈切线法及其推广 （七）介绍几个重要的不等式①。。。 （八）介绍几个重要的不等式②。。。 （九）杂谈 再谈配方法。。。。

（十）关于函数实根分别和不等式解集问题。。。。。。。

（十一）谈谈齐次形式不等式的程序化处理①对称整理类。。。 （十二）谈谈齐次形式不等式的程序化处理②Schur拆分法。。。 （十三）细化赫尔德(H?lder)不等式&引入闵可夫斯基(Minkowski)不等式。。。。 （十四）幂平均函数及其他。。。。。。。 （十五）SOS定理。。。

（十六）凸函数理论及受控理论。。。

（十七）杂谈 克劳修斯（Clausius）不等式与热力学第二定律。。。。 （十八）关于机械化方法的历史。。。 （十九）多元函数极值的偏导方法。。。。 （二十）解析——几何与代数的桥梁 小测试 A（轮换不等式） 小测试 B（含参情况） 小测试 C（对称破缺）

出三道小题，作为你们的自我检测，如果做不上来，你你还需要多练习练习。如果可以，那我们继续看：

①对于实数 x , y

不错的不等式题目

2006

1、均值不等式的理解

1．如果正数a，b，c，d满足a b cd 4，那么（ ） Ａ．ab≤c d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｂ．ab≥c d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｃ．ab≤c d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 Ｄ．ab≥c d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 答案：A

2、均值不等式的应用

1．若x，y R+，且x 4y 1，则x y的最大值是 ． 答案：

116

2．已知x 0，y 0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则最小值是（ ） Ａ．0 Ｂ．1

(a b)cd

2

的

Ｃ．2 Ｄ．4

3

是1 a和1 a的等比中项，则a 3b的最大值为（ ） A．1

B．2

C．3

2aba 2b

5

D．4

的最大值为（ ）

4．若a是1 2b与1 2b的等比中项，则

15

Ｂ．

4

Ｄ．

2

答案：B

3、其他不等式性质

1．设a，b是非零实数，若a b，则下列不等式成立的是（ ） Ａ．a b Ｂ．ab答案：C

4、解复杂不等式

1．解不等式(3x 1 1)(sinx 2) 0．

解：因为对任意x R，sinx 2 0，所以原不等式等价于3

一、高中数列基本公式：

1、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an= 2、等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数。 3、等差数列的前n项和公式：Sn=

Sn=

Sn=

当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式。

n-1n-k

4、等比数列的通项公式： an= a1 q an= ak q (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

5、等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

当q≠1时，Sn= Sn=

三、高中数学中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列。

2、等差数列{an}中，若m+n=p+q，则3、等比数列{an}中，若m+n=p+q，则

4、等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列。

5、两个等差数列{an}与{b