欧氏几何公理

星火教育学生个性化辅导授课案

填写时间 2014年 月 日 教 学生姓名 师 年高一 学科 数学 上课时间 2014年 月 日 级 阶基础（ √） 提高（ ） 强化（ ） 课时计划 第（ ）次课 共（ 2 ）次课 段 教 学 目标 教学 难点 知识梳理 集合的语言 我们把空间看做点的集合，即把点看成空间中的基本元素，将直线与平面看做空间的子集，这样便可以用集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系： 点A在直线l上，记作：A?l；点A不在直线l上，记作A?l； 点A在平面?内，记作：A??；点A不在平面?内，记作A??； 教 学 过 程 直线l在平面?内（即直线上每一个点都在平面?内），记作l??； 直线l不在平面?内（即直线上存在不在平面?内的点），记作l??； 直线l和m相交于点A，记作lm?{A}，简记为lm?A； 平面?与平面?相交于直线a，记作? ??a． 平面的三个公理 ⑴ 公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所 有的点都在这个平面内． 图形语言表述：如右图： 1

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三角形三内角和

——欧氏几何、罗氏几何、黎曼几何的比较

1840年，俄国数学家罗巴切夫斯基发表了一种新几何学．尽管高斯、波尔约和罗巴切夫斯基几乎同时各自独立地发现了这种新几何学，但由于罗巴切夫斯基第一个无所畏惧地公开发表了他的结果，所以，今天人们把这种新几何称为“罗氏几何”．

罗巴切夫斯基从1815年开始试图证明平行公理，几年的努力都失败了，失败使他逐渐认识到证明平行公理或第五公设是不可能的．1826年，身为大学教授的年轻的罗巴切夫斯基勇敢地抛弃了第五公设，提出了与欧几里得几何（简称欧氏几何）完全相反的公设：“过一点至少可以引两条直线与已知直线平行．”后来人们把这个公设叫做“罗氏公理”．由罗氏公理很容易推出以下结论：“过已知直线外一点可以引无数条直线与已知直线平行．”

罗巴切夫斯基保留了除平行公理以外的欧几里得的全部公理．如果不涉及与平行有关的内容，罗巴切夫斯基的新几何与欧几里得几何学没有任何不同．但是只要与平行有关，那么结果就相差甚远．下表对罗巴切夫斯基几何（简称罗氏几何）、欧氏几何不同的定理作了说明．

图7－11

欧氏几何 三角形的三内角和等于180 o． 罗氏几何 三角形的三内角和小于180 o；

第九章 欧氏空间

9.1 基本内容与基本结论

9.1.1 基本内容 1．欧几里得空间

设V是实数域R上一线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(?,?)，它具有以下性质：

(1) (?,?)?(?,?)； (2) (k?,?)?k(?,?)； (3) (???,?)?(?,?)?(?,?)；

(4) (?,?)?0，当且仅当??0时，(?,?)?0。

这里?，?，?是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为欧几里得空间。

2．酉空间

设V是复数域C上一线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作(?,?)，它具有以下性质：

(5) (?,?)?(?,?)，这里(?,?)是(?,?)的共轭复数； (6) (k?,?)?k(?,?)； (7) (???,?)?(?,?)?(?,?)；

(8) (?,?)?0，当且仅当??0时，(?,?)?0。

这里?，?，?是V中任意的向量，k是任意复数，这样的线性空间称为酉空间。

3．向量的长度

非负实数(?,?)称为向量?的长度，记为?。 4．向量的夹角

非零向量?，?的夹角??,??规定为 ??,???arccos5．向量的正交

如果向量?，?的

命题、定理、公理

一、定义界定某个对象含义的句子叫做定义。如，三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形 。 因式分解(分解因式),把一个多项式化为几个整式 的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫作分解因式。

关键词：叫做，称为。

二、命题

判断一件事情的句子叫做命题。 判断为正确的命题叫做真命题。 3,4,5 判断为错误的命题叫做假命题。 2

不是命题

1.下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？ ⑴对顶角相等； 是 ⑵画一个角等于已知角； 不是

⑶两直线平行，同位角相等； 是 ⑷a、b两条直线平行吗？ 不是 ⑸温柔的李明明。 不是⑹玫瑰花是动物。 是 ⑺若a2=4,求a的值。 不是 ⑻若a2= b2,则a=b。 是

三、公理通过操作实验，归纳出以下基本事实： 两点确定一条直线

两点之间线段最短。过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直。两直线平行，同位角相等。

人们从长期实践中总结出来的真命题叫做公理。

公理可以作为判断其他命题真假的原始依据。

四、定理从公理和其他真命题出发，用推理的方法证明为正确 的，并进一步作为判断其他命题的真假的依据，这样 的真命题叫做定理。

第八章 欧氏空间练习题

1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量?,?,以下等式成立:

(1)|???|2?|???|2?2|?|2?2|?|2； (2)?,??11|???|2?|???|2. 44在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间Rn里,求向量??(1,1,?,1)与每一向量

?i?(0,?,0,1,0,?,0),i?1,2,?,n

的夹角.

3．在欧氏空间R4里找出两个单位向量,使它们同时与向量

(i)??(2,1,?4,0)??(?1,?1,2,2) ??(3,2,5,4)中每一个正交.

4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形．

5．设?,?是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:

|???|2?|?|2?|?|2(勾股定理)

6．设?1,?2,?,?n,?都是一个欧氏空间的向量,且?是?1,?2,?,?n的线性组合.证明：如果?与?i正交,i?1,2,?,n,那么??0. 7．设?1,?2,?,?n是欧氏空间的n个向量. 行列式

??1,?1?G(?1,?2,?,?n)???1,?2????1,?n???2,?1???2,?2????2,?n?

???

据《汉书地理志》云，自交趾以至会稽七八千里，百越杂处，各有种姓。在百家姓中，欧姓是一个望族族中有声誉，而为族人仰望。它出于伏羲，传至勾践。伏羲有孙勾芒氏，官为木正。其后有共工氏，子句龙，佐禹治水有功，世为土正。夏少康中兴，封其裔于会稽，遂有越国。春秋时传至勾践，图强并吴，遂有今江浙及山东东部之地。越自勾践至七世无彊立国一百六十三年, 其间，欧姓由此而生。

战国时期，越王无彊在位，整军经武，逐鹿中原。任儿子蹄为军中统帅，与齐国作战，迫使敌方订城下之盟。后来，蹄被封于乌程欧余山，在浙江吴兴（今湖州市）东部，子孙遂以欧为姓，其著名者有善于铸剑的欧冶子。是故《唐书·宰相世系表》称，欧氏以地名为姓。是故《唐书·宰相世系表》称，欧氏以地名为姓。南宋罗泌撰的《路史》说得较详细，越王无彊之次子，封乌程欧余山之阳，后有欧氏，望出平阳（郡）。又据史籍载，蹄受封欧余山之阳，为欧阳亭侯，其子孙一支，以爵号为氏，取姓欧阳。对欧余山，《环宇记》亦有载： “欧余山一名欧亭山，王羲之为吴兴太守时，尝登临此山，题记其盛。”

欧氏族谱及祠堂书联，对此事都有记载。如广东雷州市东里镇霞湖村欧氏宗祠大门对联，概括了欧氏源流的起因：世族始夏朝大禹少康帝皇是祖；毫光冲斗极纯钩巨阙天地为炉

2010 office办公试题

一：单选

1为了防止意外掉电等事件，最好：（ C ） A： 经常用鼠标点击快速存盘按钮 B： 几分钟就关闭文件，再打开 C： 设置自动保存功能 D： 经常保存备份

2、标题栏显示可显示的内容错误的是（D） A: 窗口标示 B: 可显示软件名称和文档名称 C: 窗口控制按钮 D: 窗口显示比列

3演示文稿运行于那种操作系统下：（ D） A： UNIX B： MACINTOSH C： DOS

D： WINDOWS 4以下说法正确的（B） A: word2010文档的后缀名是.doc B: word2010文档的后缀名是.docx C: word2010文档的后缀名是.dot D: word2010文档的后缀名是.dotx

5要快速将一个已经修改的word的文件保存到到另外一个文件夹里，最快捷的方法：(A) A: F12 B: ctrl + s C: 文件——保存 D: F11

6字符格式化总可以给字体添加：（A） A: 单删除线，双删除线 B: 项目符号 C: 拼音指南 D: 加圈

7哪项不是文本格式化内容：（ B） A： 文本颜色 B： 文本的保存 C： 文本大小 D： 文本的字体

第九章欧氏空间习题

一、填空题

1．设V是一个欧氏空间，??V，若对任意??V，都有(?,?)?0，则??______。 2．在n维欧氏空间V中，向量?在标准正交基?1,?2,?,?n下的坐标是(x1,x2,?,xn)，那么(?,?i)?____，|?|?____。

3．若A?(aij)3?3?a11x1?a12x2?a13x3?b1?是一个正交矩阵，则方程组?a21x1?a22x2?a23x3?b2的解

?ax?ax?ax?b?3113223333为 。

?1?10???4.已知三维欧式空间V中有一组基(a1,a2,a3)，其度量矩阵为A??120，则

???003???向量??2?1?3?2??3的长度为 。

5.设?2中的内积为(?,?)??'A?，A???21??则在此内积之下的度量矩阵?12?为 。

6．设?1?(0,1,)?，若?与?2正交，则k? 。 ?2?(2,1,?2)，??k?1??2，

?200???7．若欧氏空间V在某组基下的度量矩阵为031，某向量在此组基下的坐标为

???011???(1,1,1),则它的长度为 ，在

2010 office办公试题

一：单选

1为了防止意外掉电等事件，最好：（ C ） A： 经常用鼠标点击快速存盘按钮 B： 几分钟就关闭文件，再打开 C： 设置自动保存功能 D： 经常保存备份

2、标题栏显示可显示的内容错误的是（D） A: 窗口标示 B: 可显示软件名称和文档名称 C: 窗口控制按钮 D: 窗口显示比列

3演示文稿运行于那种操作系统下：（ D） A： UNIX B： MACINTOSH C： DOS

D： WINDOWS 4以下说法正确的（B） A: word2010文档的后缀名是.doc B: word2010文档的后缀名是.docx C: word2010文档的后缀名是.dot D: word2010文档的后缀名是.dotx

5要快速将一个已经修改的word的文件保存到到另外一个文件夹里，最快捷的方法：(A) A: F12 B: ctrl + s C: 文件——保存 D: F11

6字符格式化总可以给字体添加：（A） A: 单删除线，双删除线 B: 项目符号 C: 拼音指南 D: 加圈

7哪项不是文本格式化内容：（ B） A： 文本颜色 B： 文本的保存 C： 文本大小 D： 文本的字体

程序理论第八章 第 1 页 共 12 页 1

8. Hoare的公理化方法

该方法的主要思想是给出公理系统，包含赋值公理规则、复合推理规则、条件推理规则、循环推理规则和推论规则。

8.1 Hoare逻辑和Hoare演算 定义8.1 （Hoare逻辑的语法）

令B是谓词逻辑的基，B上的Hoare公式是形如{p}S{q}的表达式，其中p, q?WFFB是谓词逻辑里的公式，S?L2B是一个循环程序。 基B上的Hoare公式全体记为HFB。

定义8.2 （Hoare逻辑的语义）

给定谓词逻辑的基B，令I是B的一个解释，?是相应的状态集合。每个Hoare公式{p}S{q}?HFB都被一语义范函，亦记为I，映射成一个函数：I({p}S{q}):??Bool，此函数定义为：对于???， I({p}S{q})(?)=true 当且仅当

若I(p)(?)=true且MI(S)(?)有定义，则有I(q)(MI(S)(?))=true。

RMK.

（1） 每当I(p)(?)为假或MI(S)(?)没定义，I({p}S{q})(?)就为真。这就

是说，“Hoare公式{p}S{q}在某解释下恒真”恰恰就是说“S关于公式p和q是部分正确的”。

（2）