多复变函数论

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)?anzn?an?1zn?1???a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）

5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）

z??二、填空题.（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?arg?arctanyx1z?________________.

?2?arctanyx??2，当x?0,y?0时，

3．函数w?将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4?a4?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)i_____

第一章 复习题

1、 设z??3?2i，则argz?_________________. A) arctg2322 B) arctg C) arctg?? D) arctg?? 32332、设z?cos??icos,则z?____________. A)1 B) cos? C)

2 D) 2cos?

3、设w1?z?z,w2?z?z,则argw1_________ argw2?Rez?0? A) = B) ? C) ? D) ? 4、设z?rei?,wk?A)

5?z?,?k?0,1,2,3,4?则argw5kk?____________.

? B)

?5?2k? C)

??2k?5 D)

??2k?5?2n?,n?0,?1

5. 若z1?iz2,则oz1与oz2的关系是__________ A)同向 B)反向 C)垂直 D)以上都不对 6.复平面上三点: 3?4i,0,1,则__________

?3?4iA)三点共圆 B)三点共线

C)三点是直

《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题.（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，每题2分） 1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零. （ ）

2．若z0是多项式P(z)?anzn?an?1zn?1???a0(an?0)的根，则z0也P(z)是的根.（ ） 3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为一常数.（ ） 4．设函数f1(z)与f2(z)在区域内D解析，且在D内的一小段弧上相等，则对任意的z?D，有f1(z)?f2(z). （ ）

5．若z??是函数f(z)的可去奇点，则Resf(z)?0. （ ）

z??二、填空题.（每题2分）

1．i2?i3?i4?i5?i6? _____________________. 2．设z?x?iy?0，且???argz??,?arg?arctanyx1z?________________.

?2?arctanyx??2，当x?0,y?0时，

3．函数w?将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线______________.

4．方程z4?a4?0(a?0)的不同的根为________________. 5．(1?i)i_____

第一章

一、1．C 2.D 3.B 4.C 5.C 6.B 7.C 8.B 9.B 10.D 11.B 12.A

13.D 14.D 15D

二、1．ACD 2.BDE 3.CDE 4.ADE 5.ABCDE 三、1. arctgyx?π 2.

nreiθ?2kπn?k?0,1,?,n?1?

3.(1).D开集 (2)D中任意两点可用全在D中的折线连接. 4.在D内无论怎样划简单闭曲线,其内部仍全含于D. 5.对E内每一复数,z有唯一确定的复数w与之对应. 6.如果z0及f?z0?之一或者它们同时取? 7.

125πe12 8. z?z0?r,z0为圆心,r为半径

9.平面上点z0的任意邻域都有E的无穷多个点.

10.(1)彼此不交 (2)I?C?是一个有界区域 (3)E?C?是一个无界区域

(4)若简单折线p的一个点属于I?C?,另一个端点属于E?C?,则p必与C有交点. 四、1.解:z4??a4 zk?4π?2kππ?2kπ??a?c

第三章 复积分

§1复积分的概念及其简单性质

教学目的与要求: 掌握复变函数积分的概念,积分存在的条件及积分计算法和性质. 重点：复变函数积分存在的条件及其计算法和性质. 难点：复变函数计算法和性质. 课时：2学时. 1.复积分的定义

为了叙述上的方便，今后如无特别声明，所提到的曲线均制光滑或逐段光滑曲线， 逐段光滑的简单闭曲线简称为围线，其方向在第一章已经作过规定，不是闭的曲线的方向，则只须指出它的起点和终点即可．

定义3.1 设有向曲线C:z?z(t)?x(t)?y(t) (t?[?,?])以a?z(?)为起点，

b?z(?)，f(z)沿C有定义，在C上从a到b的方向取分点：a?z0,z1,???,zn?1,zn?b把

曲线C分成n个弧段（图３.１）

图3.1

在从zk?1到zk（k?1,2,???,n）的每一个弧段上任取一点?k，作和数Sn?其中?zk?zk?zk?1（k?1,2,???,n）且设??max?zk(1?k?n)

若limSn?J（J为复常数），则称f(z)沿C（从a到b）可积，J称为f(z)沿C的

??0n?f(?k?1k)?zk

积分，记为J??Cf(z)dz C称为积分路径，同时?C?f(z)dz表示沿C的负方向的

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《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若f(z)在z0的某个邻域内可导，则函数f(z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若f(z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若函数f(z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f(z)的可去奇点. ( )

8.若函数f(z)在是区域D内的单叶函数，则f'(z)?0(?z?D). ( ) 9. 若f(z)在区域D内解析, 则对D

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《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若 f( z)在z0的某个邻域内可导，则函数f( z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若 f( z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f( z)的可去奇点. ( )

8.若 函数f( z)在是区域D内的单叶函数，

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《复变函数》考试试题（一）

一、 判断题（20分）：

1.若 f( z)在z0的某个邻域内可导，则函数f( z)在z0解析. ( ) 2.有界整函数必在整个复平面为常数. ( ) 3.若

{zn}收敛，则

{Re zn}{Im zn}与

都收敛. ( )

4.若 f( z)在区域D内解析，且

f'(z)?0，则f(z)?C（常数）. ( )

5.若 函数f( z)在z0处解析，则它在该点的某个邻域内可以展开为幂级数. ( ) 6.若 z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点. ( ) 7.若

z?z0limf(z)存在且有限，则z0是函数f( z)的可去奇点. ( )

8.若 函数f( z)在是区域D内的单叶函数，

我的答案 祝大家学习愉快

第一章习题解答

（一）

1．设z?1?3i，求z及Arcz。

2?解：由于z?1?3i?e?3i

2所以z?1，Arcz????2k?,k?0,?1,?。

32．设z1?1?i,z2?3?1，试用指数形式表示z1z2及z1。

2z2???ii1?i?e4,z2?3?i?2e6 解：由于z1?2?所以z1z2?e42e?ii?i6??2e(?)i46????2e12i

?5??)iiz1e41(?14612??e?e。 ??iz2222e63．解二项方程z?a?0,(a?0)。 解：z44??a?(ae)?ae2224414?i4??2k?4i,k?0,1,2,3。

4．证明 ，并说明其几何意义。 证明：由于z1?z2 z1?z22?z1?z2?2Re(z1z2)

22?z1?z2?2Re(z1z2)

2 所以z1?z2?z1?z22?2(z1?z2)2

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方的二倍。 5．设z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆证 由于

z1?z2?z3?0,z1?z2?z3?1。证明z，z，z是内

123

z?1的一个正三角形的顶点。

，知

第一章习题解答

（一）

1

．设z，求z及Arcz。

解：由于z e 3i

所以z 1，Arcz 2k ,k 0, 1, 。

3

2

．设z1z2 1，试用指数形式表示z1z2及z1。

z2

ii e4,z2 i 2e6 解：由于z1

4

所以z1z2 e2e

i

i

i6

2e

( )i46

12

2e

i

5 )iiz1e41( 14612

e e。

iz2222e6

3．解二项方程z4 a4 0,(a 0)。

解：z (ae) ae

2

2

1

4 i4

2k

4

i

,k 0,1,2,3。

4．证明z1 z2 z1 z2证明：由于z1 z2 z1 z2

2

2(z1 z2)2，并说明其几何意义。

2

2

z1 z2 2Re(z1z2)

2

2

2

z1 z2 2Re(z1z2)

2

所以z1 z2 z1 z2

2

2(z1 z2)2

其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z1，z2，z3三点适合条件：接于单位圆

z1 z2 z3 0,z1 z2 z3 1。证明z1，z2，z3是内

z 1

的一个正三角形的顶点。

，知

z

证 由于1

z2 z3 1

3

z1z2z3的三个顶点均在单位圆上。

因为

1 z3 z33

z1 z2 1 2