同余理论在数学竞赛中的应用

同余理论在数学竞赛中的运用

卢军萍

杭州师范大学 数学与应用数学043班

摘要：这些年来，同余理论在数学竞赛中的应用越来越广泛。本文详细了同余理论的基础知识，并通过举例以便更好的理解。并重点对数学竞赛中有关同余理论的应用作了系统的划分。每一部分都有2-4个例题加以举例说明。 关键词：同余；数学竞赛

１ 引 言

数学竞赛已逐渐形成一门特殊的数学学科——竞赛数学。像IMO竞赛等等受到越来越大的重视。而在数学竞赛中，初等数论的有关题目占得比例越来越大，尤其是同余理论在数学竞赛中有着举足轻重的地位。下面，本文重点论述一下同余理论在数学竞赛中的运用。首先，先介绍一下同余的一些基本知识。

２ 同余的性质及几个重要的定理

２.１同余的定义、性质

[定义１] 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为

a?b?modm?,

此时也称b是a对模m的同余。

如果整数a与b之差不能被m整除，则称a与b对于模m不同余。 [定理１] 下面的三个叙述是等价的： （ⅰ）a?b?modm? ；

（ⅱ）存在正整数q，使得a?b?qm, （ⅲ）存在整数q1，q2，使得a?q1m?r[定理２] 同余具有下面的性质

同余理论在数学竞赛中的运用

卢军萍

杭州师范大学 数学与应用数学043班

摘要：这些年来，同余理论在数学竞赛中的应用越来越广泛。本文详细了同余理论的基础知识，并通过举例以便更好的理解。并重点对数学竞赛中有关同余理论的应用作了系统的划分。每一部分都有2-4个例题加以举例说明。 关键词：同余；数学竞赛

１ 引 言

数学竞赛已逐渐形成一门特殊的数学学科——竞赛数学。像IMO竞赛等等受到越来越大的重视。而在数学竞赛中，初等数论的有关题目占得比例越来越大，尤其是同余理论在数学竞赛中有着举足轻重的地位。下面，本文重点论述一下同余理论在数学竞赛中的运用。首先，先介绍一下同余的一些基本知识。

２ 同余的性质及几个重要的定理

２.１同余的定义、性质

[定义１] 给定正整数m，如果整数a与b之差被m整除，则称a与b对于模m同余，或称a与b同余，模m，记为

a?b?modm?,

此时也称b是a对模m的同余。

如果整数a与b之差不能被m整除，则称a与b对于模m不同余。 [定理１] 下面的三个叙述是等价的： （ⅰ）a?b?modm? ；

（ⅱ）存在正整数q，使得a?b?qm, （ⅲ）存在整数q1，q2，使得a?q1m?r[定理２] 同余具有下面的性质

2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)

数学竞赛辅导讲座：同余

知识、方法、技能

同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念，剩余类和完全剩余系，同余方程，整数模的阶和中国剩余定理.

Ⅰ.基本概念

定义一：设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a、b对模m同余，记为a≡b（modm）；否则，记为ab（modm）.

例如，15≡7（mod4），－12（mod7）.

同余有如下两种等价定义法：

定义一* 若m|a－b，则称a、b对模m同余.

定义一**若a=b+mt(t∈Z)，则称a、b对模m同余.

同余的基本性质：

（1）a 0(modm) m|a.

（2）a a(modm)(反身性)

a b(modm) b a(modm)(对称性)

a b(modm) a c(modm)(传递性)b c(modm)

（3）若a b(modm),c d(modm),则

①a c b d(modm);

②ac bd(modm).

（4）若ai bi(modm),i 0,1,2, ,n.则,anxn a1x a0 bnxn b1x b0(modm).特别地，设f(x) anxn a1x a0(ai

2010年中学数学竞赛辅导讲座(经典竞赛辅导资料)

数学竞赛辅导讲座：同余

知识、方法、技能

同余是数论中的重要概念，同余理论是研究整数问题的重要工作之一.本讲介绍同余的基本概念，剩余类和完全剩余系，同余方程，整数模的阶和中国剩余定理.

Ⅰ.基本概念

定义一：设m是一个给定的正整数.如果两个整数a、b用m除所得的余数相同，则称a、b对模m同余，记为a≡b（modm）；否则，记为ab（modm）.

例如，15≡7（mod4），－12（mod7）.

同余有如下两种等价定义法：

定义一* 若m|a－b，则称a、b对模m同余.

定义一**若a=b+mt(t∈Z)，则称a、b对模m同余.

同余的基本性质：

（1）a 0(modm) m|a.

（2）a a(modm)(反身性)

a b(modm) b a(modm)(对称性)

a b(modm) a c(modm)(传递性)b c(modm)

（3）若a b(modm),c d(modm),则

①a c b d(modm);

②ac bd(modm).

（4）若ai bi(modm),i 0,1,2, ,n.则,anxn a1x a0 bnxn b1x b0(modm).特别地，设f(x) anxn a1x a0(ai

初中数学兴趣班系列讲座——数论部分 唐一良数学工作室

第8讲 剩余系及其一次同余方程

一、基础知识： （1）剩余系

对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。

定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。

定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成

[0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。

例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全

{-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小

（一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质：

①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中

②整数p所属

同余的性质及应用

1 引言

数论的一些基础内容的学习，一方面可以加深对数的性质的了解，更深入的理解某些其他邻近学科，另一方面，可以加强数学训练.而整数论知识是学习数论的基础，其中同余理论有时整数论的重要组成部分，所以学好同余理论是非常重要的.

在日常生活中，我们所要注意的常常不是某些整数，而是这些数用某一固定的数去除所得的余数，例如我们问现在是几点钟，就是用24去除某一个总的时数所得的余数；问现在是星期几，就是问用7去除某一个总的天数所得的余数，假如某月2号是星期一，用7去除这月的号数，余数是2的都是星期一.

我国古代孙子算经里已经提出了同余式xb1(modm1),xb2(modm2),?,

xbk(modmk)这种形式的问题，并且很好地解决了它.宋代大数学家秦九韶在他的《数

学九章》中提出了同余式x?Mi1(modmi), i?1,2,...,k, mi是k个两两互质的正整数，

m?m1m2...mk,m?miMi的一般解法.

同余性质在数论中是基础，许多领域中一些著名的问题及难题都是利用同余理论及一些深刻的数学概念，方法，技巧求解.例如，数论不定方程中的费尔马问题，拉格朗日定理的证明堆垒数论中的华林问题，解析数论中，特征函数基本性质的推导等等

反例在数学中的应用

指导教师：姜雷 课题组组长：白雨璐

课题组组员：2018届高一（15）班白雨璐 张栩源 申杰 杨菊 调查时间：2013年7月20日—8月15日 调查方法：调查法、查阅资料法

调查对象：数学反例在解决数学问题中的应用

调查目的：了解数学反例在解决数学问题中的意义及其作用，开阔思路 一、研究性学习开展的背景

课题的意义与价值（为什么要进行本课题的研究）：

反例不仅可以帮助人们深入地理解有关数学对象的性质，而且对于推动数学科学发展，促进人的辩证思维方式的形成，具有的深刻意义。

二、研究性学习小组成员分工（具体到每一个成员）

查找资料（白雨璐，张栩源）；完成论文（杨菊）；活动记录（申杰）

三、研究的目标与内容

课题研究所要解决的主要问题是什么，通过哪些内容的研究来达成这一目标： 针对数学分析中的一些概念，运用恰当的反例从另一侧面抓住概念的本质，从而加深对知识的理解。

预期成果及其表现形式（研究的最终成果以什么样的形式展现出来，是论文、实验报告、实物还是其他形式）：

小论文

四、预期成果及其表现形式（研究的最终成果以什么样的形式展现出来，是论文、实验报告、实物还是其他形式）：

通过参与本次研究性学习活动，所取得的研究成果是

MATLAB在数学教学中的应用

张兴元

1．MATLAB简介

1.1 简介

MATLAB是Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写，是由美国MathWorks公司开发的集数值计算、符号计算和图形可视化三大基本功能于一体的、功能强大的、操作简单的语言，是国际公认的优秀数学应用软件之一。

其产品Logo为，目前该产品已经发展到R2009版。

Cleve B.Mole是其创始者和首席科学家，他曾任密歇根大学、斯坦福大学

和新墨西哥大学的数学系或计算机系教授，也曾

在Intel和Ardent Computers公司工作过，他还是

矩阵计算软件包LINPACK和EISPACK的作者之

一，撰写过两本MATLAB方面的著作：

Numerical Computing with MATLAB，

Experiments in MATLAB。

MATLAB现在已经发展成为适合多学科的大

型软件，在世界许多高校，它已经成为线性代

数、数值分析、数理统计、自动控制、数字信号

处理、动态系统仿真等课程的基本教学工具。

一年一度的全国大学生数学建模竞赛活动，使得它在国内很快普及。

【演示例子】：分形蕨[1]。

【程序】：【Fern.m】。

1.2 软件学习使用方法

学习的方法：

●一本基础的MATL

一、LINGO简介

LINGO[1]是美国LINDO系统公司开发的求解数学规划系列软件中你的一个,它的主要功能是求解大型线性、非线性和整数规划问题,LINGO的不同版本对模型的变量总数、非线性变量数目、整型变量数目和约束条件的数量做出不同的限制.

LINGO的主要功能特色为:

(1)既能求解线性规划问题,也有较强的求解非线性规划问题的能力; (2)输入模型简练直观; (3)运行速度快、计算能力强.

(4)内置建模语言,提供几十个内部函数,从而能以较少语句,较直观的方式描述较大规模的优化模型;

(5)将集合的概念引入编程语言,很容易将实际问题转换为LINGO模型; (6)能方便地与EXCEL、数据库等其他软件交换数据.

LINGO像其他软件一样,对他的语法有规定,LINGO的语法规定如下: （1） 求目标函数的最大值或最小值分别用MAX=?或MIN=?来表示;

(2) 每个语句必须以字母开头,由字母、数字和下划线所组成,昌都不超过32个字符,不区分大小写;

(3)每个语句必须以分号“;”结束,每行可以有多个语句,语句可以跨行; (4)如果对变量的取值范围没有特殊说明,则默认所有决策变量都非负;

(5)LINGO模型以语句“MODEL”开头,以

MATLAB在数学建模中的应用

Matlab在数学建模中的应用明巍 数学与统计学院 13597722904(62904)湖北师范学院数学与统计学院

MATLAB在数学建模中的应用

讲座内容一、MATLAB概述与运算基础 二、MATLAB的数值计算 三、MATLAB的符号计算 四、MATLAB绘图形功能 五、MATLAB程序设计

湖北师范学院数学与统计学院

MATLAB在数学建模中的应用

一、MATLAB概述与运算基础

湖北师范学院数学与统计学院

MATLAB在数学建模中的应用

MATLAB语言是一种广泛应用于工程计 算及数值分析领域的新型高级语言，自1984 年由美国 MathWorks 公司推向市场以来，历 经十多年的发展与竞争，现已成为国际公认 的最优秀的工程应用开发环境。MATLAB功 能强大、简单易学、编程效率高，深受广大 科技工作者的欢迎。

湖北师范学院数学与统计学院 4

MATLAB在数学建模中的应用

在欧美各高等院校，MATLAB已经成为线性代 数、自动控制理论、数字信号处理、时间序列 分析、动态系统仿真、图像处理等课程的基本 教学工具，成为大学生、硕士生以及博士生必 须掌握的基本技能。

MATLAB:是英文MATrix LABorotory(矩阵实