空间平行关系的向量表示

第二章 平面向量 2.4.3 向量平行的坐标表示

复习回顾回答下列问题向量共线定理

b λa向量的坐标表示？

b a

向量的坐标运算？

当向量用坐标表示时，向量的和、 差向量数乘都可以用相应的坐标来表示。

两个共线的向量能否用坐标来表示 呢？两平行向量的坐标之间有什么关系？

1 向量坐标表示：2 加、减法坐标运算法则：a + b=( x2 , y2) + (x1 , y1)= (x2+x1 , y2+y1) a - b=( x2 , y2) - (x1 , y1)= (x2- x1 , y2-y1) ( x1 , y1 ) λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =

3一个向量坐标重要性质：若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)则 AB =(x2 - x1 , y2 – y1 )

有向线段 P1 P2 的定比分点坐标公式与定比分值公式。

注意：x x 2 x 1 1 y y1 y 2 1

= x x1 或 = y y1x2 x

y2 y

( 1)

在 运 用 公 式 时 ， 要 注分 清 起 点 坐 标 、 终 点标 和 分 点 意 坐 坐

课时作业(十八)

[学业水平层次]

一、选择题

1．l1的方向向量为v1＝(1,2,3)，l2的方向向量v2＝(λ，4,6)，若l1∥l2，则λ＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4 12

【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则λ＝4，∴λ＝2. 【答案】 B

→→→

2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是

( )

A．相交 C．在平面内

B．平行

D．平行或在平面内

→→→→→→

【解析】 ∵AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．

【答案】 D

3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )

A．(1，－1,1) 3??

C.?1，－3，2?

?

?

?

3??

??1，3，B.2? ?3??

D.?－1，3，－2?

?

?

?

→?1?

??－1，4，－【解析】 对于B，AP＝2，

→1??

?－1，4，－?＝0， 则n·AP＝(3,1,2)·2

?

?

→3??

∴n⊥AP，则点P?1，3，2?在平面α内．

?

?

【答案】 B

4．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量

好

空间中的平行关系

一、证明题

例1：如图，O 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1底面对角线AC 与BD 的交点，求证：B 1O//平面A 1C 1D 。

例:2：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是棱11B A 、11D A 、11C B 、11D C 的中点。

求证：平面//AMN 平面EFDB 。

例3：（2006四川理19 ）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面11ADD A 。

练习：1、如图，在四棱锥P – ABCD 中，M,N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．

求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行.

好

2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，

求证：MN ∥平面BCE

10.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是A

好

空间中的平行关系

一、证明题

例1：如图，O 是长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1底面对角线AC 与BD 的交点，求证：B 1O//平面A 1C 1D 。

例:2：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 、E 、F 分别是棱11B A 、11D A 、11C B 、11D C 的中点。

求证：平面//AMN 平面EFDB 。

例3：（2006四川理19 ）如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，,E P 分别是11,BC A D 的中点，,M N 分别是1,AE CD 的中点，1,2AD AA a AB a ===，求证：//MN 面11ADD A 。

练习：1、如图，在四棱锥P – ABCD 中，M,N 分别是侧棱PA 和底面BC 边的中点，O 是底面平行四边形ABCD 的对角线AC 的中点．

求证：过O 、M 、N 三点的平面与侧面PCD 平行.

好

2、两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，

求证：MN ∥平面BCE

10.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中．(1)求证：平面A 1BD ∥平面B 1D 1C ；(2)若E 、F 分别是A

高二理科数学

班别： _____________

导学案

空间向量与平行关系

学号： _____________

姓名： ___________

§3.2立体几何中的向量方法（2）

一、学习目标

1．掌握运用方向向量和平面法向量证明平行问题的方法．

2．能用向量语言表达线线、线面、面面的平行关系． 二、问题导学

问题1：怎样证明两个向量平行？

?????问题2：若两条直线l1、l2的方向向量分别为a1、a2，怎样证明两条直线平行？

?????问题3：若两个平面?1、?2的法向量向量分别为n1、n2，怎样证明两个平面平行？

????问题4：若直线l1的方向向量分别为a1，平面?1的法向量向量分别为n1，怎样证明直线

和平面平行？ 三、例题探究

例1．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M、N分别是棱BB1和对角线CA1的中点，求证：MN∥BD.

例2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.

1

变式：在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.

例3．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．求证

张喜林制

1.2.2 空间中的平行关系

教材知识检索

考点知识清单

1．平行直线

(1)在空间中两条不重合的直线有三种位置关系： 、 、 . (2)在同一平面内不相交的两条直线叫做 ． (3)过直线外一点 一条直线与已知直线平行． (4)公理4． .

(5)等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别 ，并且____相同，那么这两个角____． 2．直线与平面平行

(1)直线与平面的位置关系有：

如果一条直线和一个平面有两个公共点，则这条直线 ，记作____；

如果一条直线和一个平面有且只有一个公共点，则这条直线 ，记作____； 如果一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线____，记作 ． (2)直线与平面平行： a．判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线____，那么这条直线和这个平面____． b．性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面与这

第十讲—空间中的平行关系

一．课标要求：

1．平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面； ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行； ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行；

3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系

学习目标 1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.

知识点一 直线的方向向量与平面的法向量

思考 怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？

答案 (1)点：在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P的位置就可以用→→

向量OP来表示.我们把向量OP称为点P的位置向量.

(2)直线：①直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.

→→

②对于直线l上的任一点P，存在实数t，使得AP＝tAB，此方程称为直线的向量参数方程. (3)平面：①空间中平面α的位置可以由α内两条相交直线来确定.对于平面α上的任一点

P，a，b是平面α内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得OP＝xa＋yb.

②空间中平面α的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示. 梳理 (1)用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量) →

→→形式 在直线l上取→AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP＝tAB

普通高中课程标准实验教科书—数学 [人教版]

高三新数学第一轮复习教案（讲座10）—空间中的平行关系

一．课标要求：

1．平面的基本性质与推论

借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理： ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内； ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面；

◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；

◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；

◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 2．空间中的平行关系

以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定。通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理：

◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行； ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； 通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明：

◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直

课时作业(十九)

[学业水平层次]

一、选择题

1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )

A．4 B．－4 C．5 D．－5

【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0. ∴k＝－5.

【答案】 D

→2．在菱形ABCD中，若PA是平面ABCD的法向量，则以下等式

中可能不成立的是( )

→→A.PA⊥AB

→→C.PC⊥BD →→B.PA⊥CD →→D.PC⊥AB

【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB、CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．

【答案】 D

→→→→→3．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )

3315A.7，－74

40C.7，－2,4 4015B.7，－7，4 40D．4，715

→→→→【解析】 ∵AB⊥BC，∴AB·BC＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，

→→→→又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，

x－1 ＋